递归求斐波那契数列

左手的ㄟ右手 2021-11-17 12:34 386阅读 0赞

斐波那契数列

题目描述：编写一个函数，求斐波那契数列的第n项的值。

首先，对于斐波那契数列，我们是非常熟悉了，对斐波那契定义为如下：f(0)=0,f(1)=0,f(2)=1,……f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中n>1。对于这种求斐波那契数列第n项的问题，我们大多采用递归来解决。那什么是递归呢？递归即是在一个函数的内部调用这个函数自身的一种方法。比如斐波那契数列中，我们如果想计算第4项的值，那么就必须计算第3项的值，要计算第3项的值，就要计算第2项的值，依次计算，直到找到函数的出口，即上面所写出的n=0和n=1时的斐波那契数列的值。

所以，我们要使用递归来解决这道题的话，最简单的也是最容易被大家想到的代码为：

long long fib(unsigned int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            return 0;
        }
        if (n == 1)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
            return fib(n - 1) + fib(n - 2);
        }
    }

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这种代码简单倒是简单，但它并不是解决此题的最好的最优的代码。我们以求解Fib(10)为例，来分解一下代码可知，要想求得Fib(10)，需要先求得Fib(9)和Fib(8)。那么要想求得Fib(9)，就得先求Fib(8)和Fib(7)……但是我们在求Fib(10)的时候已经求过Fib(8)了啊，由于没有保存所求得的结果，所以导致还得再求一次Fib(8)，这样一来，无形中增加了算法的时间复杂度。计算量会随着n的增大而急剧增大。而事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数方式递增的。

改进：此种方法是因为重复计算太多，导致当n很大时，拖慢程序运行时间，我们只要避免这些重复计算就可以大大减少程序运行时间了。于是，我们决定，从前往后计算，首先根据Fib(0)和Fib(1)计算出Fib(2)，之后再根据Fib(1)和Fib(2)计算出Fib(3)……以此类推，计算出Fib(n)，此种方法的时间复杂度为O(n)。

代码如下：

long long Fib(unsigned int n)
    {
        //存储结果的数组，初始化为0，1，即Fib(0)和Fib(1)
        int res[2] = { 0, 1 };
        if (n <= 1)
        {
            return res[n];
        }
        long long Fib_1 = 1;
        long long Fib_2 = 0;
        long long Fib_n = 0;
        for (unsigned i = 2; i <= n; i++)
        {
            Fib_n = Fib_1 + Fib_2;
            Fib_2 = Fib_1;
            Fib_1 = Fib_n;
        }
        return Fib_n;
    }

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常见的与斐波那契数列相关类型的题还有跳台阶问题，即上台阶的基本方法有两种，一是一步跨一个台阶，一是一步跨两个台阶，问跨上一个n阶台阶有多少种方法。此题完全是斐波那契数列求第n项，只是换了个描述而已。

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