NOIP2009 最优贸易(反向建图 spfa)

阳光穿透心脏的1/2处 2021-11-11 14:48 291阅读 0赞

# 题目描述 #

C国有n个大城市和m 条道路，每条道路连接这 n个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1条。

C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C国有 5个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

![1734676-20190711205153524-1258333741.png][]

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4,3,5,6,1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2号城市以3 的价格买入水晶球，在 3号城市以5的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路1->4->5->4->5，并在第1次到达5 号城市时以 1的价格买入水晶球，在第 2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为55。

现在给出 n个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

# 输入格式： #

第一行包含 2 个正整数n和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有3个正整数x,y,z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市x到城市y之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市 x和城市y之间的双向道路。

# 输出格式： #

一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。

# 题解： #

首先很容易想到贪心，买最便宜的，去最贵的地方卖，（真不要face）。

但是有单向边，所以很可能在追逐利益的同时误入歧途，不能达到最终的净土。

我们先用第一遍spfa求出1到每个城市的路径上可以买的最便宜的水晶。

那么我们现在我们已经有了水晶，接下来就要在去n的路上卖掉它，可是不能每个点都求一遍到n的最大值，

既然正着不行，那就倒着来，思考n到每个点的路径上最大值，这样就需要反向建图（读入时可处理）再跑一遍spfa即可。

最后for一遍每个城市即可。

值得注意的是，在spfa时，起点初值不是0.。这道题只是用的spfa的思想而已。

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    const int maxn=100005;
    int n,m,ans;
    int v[maxn],mx[maxn],mi[maxn];
    vector<int>e[maxn],a[maxn];
    
    template<class T>inline void read(T &x){
        x=0;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
        while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    }
    
    int min(int x,int y){
         return x<y ? x : y ;}
    int max(int x,int y){
         return x>y ? x : y ;}
    
    queue<int> q;
    bool vis[maxn];
    
    void spfa(){
        memset(mi,0x3f,sizeof(mi));
        q.push(1);
        vis[1]=true;mi[1]=v[1];
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();
            q.pop();
            vis[x]=false;
            for(unsigned int i=0;i<e[x].size();i++){
                int y=e[x][i];
                if(mi[y]>min(v[y],mi[x])){
                    mi[y]=min(v[y],mi[x]);
                    if(!vis[y]) q.push(y),vis[y]=true;
                }
            }
        }
    }
    
    void sspfa(){
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        q.push(n);
        vis[n]=true;mx[n]=v[n];
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();
            q.pop();
            vis[x]=false;
            for(unsigned int i=0;i<a[x].size();i++){
                int y=a[x][i];
                if(mx[y]<max(v[y],mx[x])){
                    mx[y]=max(v[y],mx[x]);
                    if(!vis[y]) q.push(y),vis[y]=true;
                }
            }
        }
    }
    
    int main(){
        read(n);read(m);
        for(int i=1;i<=n;i++) read(v[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y,z;
            read(x);read(y);read(z);
            e[x].push_back(y);a[y].push_back(x);
            if(z==2) {e[y].push_back(x);a[x].push_back(y);}
        }
        spfa();
        sspfa();
        for(int i=1;i<=n;i++)
         ans=max(mx[i]-mi[i],ans);
        printf("%d",ans);
    }

转载于:https://www.cnblogs.com/sto324/p/11172781.html

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