POJ3422 K方格取数（最大费用最大流 + 拆点）

客官°小女子只卖身不卖艺 2021-11-10 05:54 319阅读 0赞

## 题意：**有一个n\*n的矩阵，格子中的元素是费用，KaKa从左上角开始出发要到达右下角，但是他只能向下走或者向右走，且走过的格子赋值为0，可以走K次，问K次后KaKa能获得的最大费用是多少？** ##

## 分析：二方格取数问题的扩展，非常好的一道建图题，应用了很多技巧，详见《算法竞赛进阶指南》P449-450。 ##

## 代码： ##

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<queue>
    using namespace std;
    const int N = 5010, M = 200010;
    int ver[M], edge[M], cost[M], Next[M], head[N];
    int d[N], incf[N], pre[N], v[N];
    int n, k, tot, s, t, maxflow, ans;
    
    void add(int x, int y, int z, int c) {
    	// 正向边，初始容量z，单位费用c
    	ver[++tot] = y, edge[tot] = z, cost[tot] = c;
    	Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
    	// 反向边，初始容量0，单位费用-c，与正向边“成对存储”
    	ver[++tot] = x, edge[tot] = 0, cost[tot] = -c;
    	Next[tot] = head[y], head[y] = tot;
    }
    
    int num(int i, int j, int k) {
    	return (i - 1)*n + j + k*n*n;
    }
    
    bool spfa() {
    	queue<int> q;
    	memset(d, 0xcf, sizeof(d)); // -INF
    	memset(v, 0, sizeof(v));
    	q.push(s); d[s] = 0; v[s] = 1; // SPFA 求最长路
    	incf[s] = 1 << 30; // 增广路上各边的最小剩余容量
    	while (q.size()) {
    		int x = q.front(); v[x] = 0; q.pop();
    		for (int i = head[x]; i; i = Next[i]) {
    			if (!edge[i]) continue; // 剩余容量为0，不在残量网络中，不遍历
    			int y = ver[i];
    			if (d[y]<d[x] + cost[i]) {
    				d[y] = d[x] + cost[i];
    				incf[y] = min(incf[x], edge[i]);
    				pre[y] = i; // 记录前驱，便于找到最长路的实际方案
    				if (!v[y]) v[y] = 1, q.push(y);
    			}
    		}
    	}
    	if (d[t] == 0xcfcfcfcf) return false; // 汇点不可达，已求出最大流
    	return true;
    }
    
    // 更新最长增广路及其反向边的剩余容量
    void update() {
    	int x = t;
    	while (x != s) {
    		int i = pre[x];
    		edge[i] -= incf[t];
    		edge[i ^ 1] += incf[t]; // 利用“成对存储”的xor 1技巧
    		x = ver[i ^ 1];
    	}
    	maxflow += incf[t];
    	ans += d[t] * incf[t];
    }
    
    int main() {
    	cin >> n >> k;
    	s = 1, t = 2 * n * n;
    	tot = 1; // 一会儿要从2开始“成对存储”，2和3是一对，4和5是一对
    	for (int i = 1; i <= n; i++)
    		for (int j = 1; j <= n; j++) {
    			int c; scanf("%d", &c);
    			add(num(i, j, 0), num(i, j, 1), 1, c);
    			add(num(i, j, 0), num(i, j, 1), k - 1, 0);
    			if (j<n) add(num(i, j, 1), num(i, j + 1, 0), k, 0);
    			if (i<n) add(num(i, j, 1), num(i + 1, j, 0), k, 0);
    		}
    	while (spfa()) update(); // 计算最大费用最大流
    	cout << ans << endl;
    }