P2512 [HAOI2008]糖果传递

港控/mmm° 2021-09-30 07:04 339阅读 0赞

## 题目描述 ##

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

## 输入输出格式 ##

输入格式：

小朋友个数n 下面n行 ai

输出格式：

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

## 输入输出样例 ##

样例输入：

样例输出：

# #

## 思路： ##

本题是一道很单纯的贪心题，类似于有环的[均分纸牌][Link 1]。

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。 对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

…… 对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

##    标程： ##

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<cstdlib>
    #include<string>
    using namespace std;
    #define sx(i,a,b) for(register long long i=a;i<=b;i++)
    #define maxn 1000001
    long long que[maxn],jl[maxn],tot,sum,n,m=0;
    int main()
    {
        cin>>n;
        sx(i,1,n)
        {
            cin>>que[i];
            tot+=que[i];
        }
        sum=tot/n;
        sx(i,1,n)
        {
            jl[i]=jl[i-1]-que[i]+sum;//维护
        }
        sort(jl+1,jl+n+1);//取中位数 
        long long mid=jl[(n+1)>>1];
        sx(i,1,n)
        {
            m+=abs(jl[i]-mid);
        }
        cout<<m<<endl;
    return 0;
    }//没开long long 就爆了70分

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