《剑指offer刷题笔记》 2、不修改数组找出重复的数字【c++详细题解】

野性酷女 2021-07-25 00:29 315阅读 0赞

### **题目** ###

给定一个长度为  n + 1 n+1 n\+1 的数组`nums`，数组中所有的数均在  1 ∼ n 1∼n 1∼n 的范围内，其中  n ≥ 1 n≥1 n≥1。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

**样例**

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。
    
    返回 2 或 3。

**思考题**：如果只能使用  O ( 1 ) O(1) O(1)的额外空间，该怎么做呢？

### **思路** ###

**(分治，抽屉原理)**  O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

> 抽屉原理：n+1 个苹果放在 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 n+1 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的**取值的区间**\[1, n\]划分成\[1, n/2\]和\[n/2+1, n\]两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。  
注意这里的区间是指 **数的取值范围**，而不是 **数组下标**。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。  
这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于n，和有n+1个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

### **图示** ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_6_color_FFFFFF_t_70]

如果左区间的数的个数大于区间长度,说明左区间有重复元素，我们让`r = mid`,缩小区间范围。

**复杂度分析**

1.  时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小  O ( l o g n ) O(logn) O(logn)次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是  O ( n ) O(n) O(n)。所以总时间复杂度是  O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
2.  空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是  O ( 1 ) O(1) O(1)。

### **代码1** ###

class Solution { 
    public:
        int duplicateInArray(vector<int>& nums) { 
            int l = 1, r = nums.size() - 1;  
            while (l < r) { 
                int mid = l + r >> 1; // 划分的区间：[l, mid], [mid + 1, r]
                int s = 0;
                for (auto x : nums) s += x >= l && x <= mid;
                if (s > mid - l + 1) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            return r;
        }
    };

### **代码2** ###

class Solution { 
    public:
        int duplicateInArray(vector<int>& nums) { 
            int l = 1,r = nums.size()-1;  //二分数的取值范围
            while( l < r)
            { 
                int mid = (l + r)/2;
                int s = 0;
                for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
                { 
                    if(nums[i] >= l&&nums[i] <= mid) s++; //统计左区间的元素个数
                }
                if(s > mid - l + 1) r = mid;  //说明左区间有重复元素，我们让r = mid,缩小区间范围
                else l = mid + 1; //否则右区间有重复元素
            }
            return r;
        }
    };

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