【算法】大数乘法问题及其高效算法

Myth丶恋晨 2021-06-30 09:49 450阅读 0赞

## 题目 ##

编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。比如：

> 题目描述： 输出两个不超过100位的大整数的乘积。  
> 输入： 输入两个大整数，如1234567 和 123  
> 输出： 输出乘积，如：151851741

或者

求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果

分析  
所谓大数相乘（Multiplication algorithm），就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。  
参考了很多资料，包括维基百科词条[Multiplication algorithm][]，才知道目前大数乘法算法主要有以下几种思路：

1.  **模拟小学乘法**：最简单的乘法竖式手算的累加型；
2.  **分治乘法**：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
3.  **快速傅里叶变换FFT**：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照[Schönhage–Strassen algorithm][Sch_nhage_Strassen algorithm]；
4.  **中国剩余定理**：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
5.  **Furer’s algorithm**：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科[Fürer’s algorithm][F_rer_s algorithm]

## 解法 ##

我们分别实现一下以上算法，既然不能直接使用乘法做运算，最简单最容易想到的办法就是模拟乘法运算。

### 1、模拟乘法手算累加 ###

7 8 9 6 5 2
    ×         3 2 1 1
    -----------------
          7 8 9 6 5 2   <---- 第1趟 
        7 8 9 6 5 2     <---- 第2趟 
       ..........       <---- 第n趟 
    -----------------
      ? ? ? ? ? ? ? ?   <---- 最后的值用另一个数组表示 
    ---------------------

如上所示，乘法运算可以分拆为两步：

*  第一步，是将乘数与被乘数逐位相乘；
 *  第二步，将逐位相乘得到的结果，对应相加起来。

这有点类似小学数学中，计算乘法时通常采用的“竖式运算”。用Java简单实现了这个算法，代码如下：

/**
     * 大数相乘 - 模拟乘法手算累加
     */
    public static Integer[] bigNumberMultiply(int[] arr1, int[] arr2){
        ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();  //中间求和的结果
    
        //arr2 逐位与arr1相乘
        for(int i = arr2.length - 1; i >= 0; i--){
            int carry = 0;
            ArrayList<Integer> singleList = new ArrayList<>();
    
            //arr2 逐位单次乘法的结果
            for(int j = arr1.length - 1; j >= 0; j--){
                int r = arr2[i] * arr1[j] + carry;
                int digit = r % 10;
                carry = r / 10;
    
                singleList.add(digit);
            }
            if(carry != 0){
                singleList.add(carry);
            }
    
            int resultCarry = 0, count = 0;
            int k = 0;
            int l = 0;
            int offset = arr2.length - 1 - i;       //加法的偏移位
            ArrayList<Integer> middleResult = new ArrayList<>();
    
            //arr2每位乘法的结果与上一轮的求和结果相加，从右向左做加法并进位
            while (k < singleList.size() || l < result.size()) {
                int kv = 0, lv = 0;
                if (k < singleList.size() && count >= offset) {
                    kv = singleList.get(k++);
                }
                if (l < result.size()) {
                    lv = result.get(l++);
                }
                int sum = resultCarry + kv + lv;
                middleResult.add(sum % 10);     //相加结果从右向左（高位到低位）暂时存储，最后需要逆向输出
                resultCarry = sum / 10;
                count++;
            }
            if(resultCarry != 0){
                middleResult.add(resultCarry);
            }
            result.clear();
            result = middleResult;
        }
    
        Collections.reverse(result);    //逆向输出结果
        return result.toArray(new Integer[result.size()]);
    }

看了以上的代码，感觉思路虽然很简单，但是实现起来却很麻烦，那么我们有没有别的方法来实现这个程序呢？答案是有的，接下来我来介绍第二种方法。  
2、模拟乘法累加 - 改进  
简单来说，方法二就是先不算任何的进位，也就是说，将每一位相乘，相加的结果保存到同一个位置，到最后才计算进位。  
例如：计算98×21,步骤如下：

9  8
    ×       2  1
    -------------
           (9)(8)  <---- 第1趟: 98×1的每一位结果 
      (18)(16)     <---- 第2趟: 98×2的每一位结果 
    -------------
      (18)(25)(8)  <---- 这里就是相对位的和，还没有累加进位

这里唯一要注意的便是进位问题，我们可以先不考虑进位，当所有位对应相加，产生结果之后，再考虑。从右向左依次累加，如果该位的数字大于10，那么我们用取余运算，在该位上只保留取余后的个位数，而将十位数进位（通过模运算得到）累加到高位便可，循环直到累加完毕。

核心代码如下：

/**
     * 大数相乘方法二
     */
    public static int[] bigNumberMultiply2(int[] num1, int[] num2){
        // 分配一个空间，用来存储运算的结果，num1长的数 * num2长的数，结果不会超过num1+num2长
        int[] result = new int[num1.length + num2.length];
    
        // 先不考虑进位问题，根据竖式的乘法运算，num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上
        for (int i = 0; i < num1.length; i++){
            for (int j = 0; j < num2.length; j++){
                result[i + j + 1] += num1[i] * num2[j];	 // (因为进位的问题，最终放置到第i+j+1位)
            }
        }
    
        //单独处理进位
        for(int k = result.length-1; k > 0; k--){
            if(result[k] > 10){
                result[k - 1] += result[k] / 10;
                result[k] %= 10;
            }
        }
        return result;
    }

**\*\*！！注意：\*\*这里的进位有个大坑，因为result\[\]数组是从左到右记录相对位的和（还没有进位），而最后的进位是从右向左累加进位，这样的话，如果最高位，也就是最左侧那一位的累加结果需要进位的话，result\[\]数组就没有空间存放了。**

而正好result\[\]数组的最后一位空置，不可能被占用，我们就响应地把num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上的这个结果往后顺移一位（放到第i+j+1位），最后从右向左累加时就多了一个空间。

### 3、分治 - Karatsuba算法 ###

以上两种模拟乘法的手算累加型算法，他们都是模拟普通乘法的计算方式，时间复杂度都是O(n^2)，而这个Karatsuba算法，时间复杂度仅有 O(nlog23)![20190715184048713.png][]，下面，我就来介绍一下这个算法。  
Karatsuba于1960年发明在 ![20190715184048713.png][] 步骤内将两个n位数相乘的Karatsuba算法。它反证了安德雷·柯尔莫哥洛夫于1956年认为这个乘法需要  $ \\Omega (n^\{2\})$ 步骤的猜想。  
首先来看看这个算法是怎么进行计算的，见下图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3o2OTE4Mzc4Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

图中显示了计算5678 \* 1234的过程，首先是拆分成abcd四个部分，然后分别计算ac, bd, (a+b)\*(c+d)，最后再用第三个算式的结果减去前面两个（其实得到的就是bc+ad，但是减少了乘法步骤），然后，计算式1后面加4个0，计算式2后面不加，计算式3后面加2个0，再把这三者相加，就是正确结果。

接下来，就来证明一下这个算法的正确性。这是一幅来自[Karatsuba Multiplication Algorithm – Python Code][Karatsuba Multiplication Algorithm _ Python Code]的图，我们来看看：

[![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3o2OTE4Mzc4Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]][Karatsuba Multiplication Algorithm _ Python Code]

我们假设要相乘的两个数是x \* y。我们可以把x，y写成：

![2019071518444749.png][]

这里的n是数字的位数。如果是偶数，则a和b都是`n/2`位的。如果n是奇数，则你可以让a是`n/2+1`位，b是`n/2`位。（例如a = 12，b = 34；a = 123，b = 45），那么`x*y`就变成了：

![20190715184506196.png][]

进一步计算，

![20190715184519159.png][]

对比之前的计算过程。结果已经呼之欲出了。这里唯一需要注意的两点就是：

> 1.  `(a * d + b * c)`的计算为了防止两次乘法，应该使用之前的计算
> 2.  这些乘法在算法里应该是递归实现的，数字很大时，先拆分，然后拆分出来的数字还是很大的话，就继续拆分，直到a \* b已经是一个非常简单的小问题为之。这也是分治的思想。

我们举例来尝试一下这种算法，比如计算`12345 * 6789`，我们让`a = 12`，`b = 345`。同时`c = 6`，`d = 789`。也就是：

![20190715184608387.png][]

那么`a*c`，`b*d`的结果如下：

KaTeX parse error: No such environment: align\* at position 8:   
\\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\*̲\}̲  
& z\_2 = a\*c = …  
最终结果就是：  
KaTeX parse error: No such environment: align\* at position 8:   
\\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\*̲\}̲  
& result = z\_2…  
以上就是使用分治的方式计算乘法的原理。上面这个算法，由 Anatolii Alexeevitch Karatsuba 于1960年提出并于1962年发表，所以也被称为 Karatsuba 乘法。  
根据上面的思路，实现的Karatsuba乘法代码如下：

/**
     * Karatsuba乘法
     */
    public static long karatsuba(long num1, long num2){
        //递归终止条件
        if(num1 < 10 || num2 < 10) return num1 * num2;
    
        // 计算拆分长度
        int size1 = String.valueOf(num1).length();
        int size2 = String.valueOf(num2).length();
        int halfN = Math.max(size1, size2) / 2;
    
        /* 拆分为a, b, c, d */
        long a = Long.valueOf(String.valueOf(num1).substring(0, size1 - halfN));
        long b = Long.valueOf(String.valueOf(num1).substring(size1 - halfN));
        long c = Long.valueOf(String.valueOf(num2).substring(0, size2 - halfN));
        long d = Long.valueOf(String.valueOf(num2).substring(size2 - halfN));
    
        // 计算z2, z0, z1, 此处的乘法使用递归
        long z2 = karatsuba(a, c);
        long z0 = karatsuba(b, d);
        long z1 = karatsuba((a + b), (c + d)) - z0 - z2;
    
        return (long)(z2 * Math.pow(10, (2*halfN)) + z1 * Math.pow(10, halfN) + z0);
    }

总结：  
Karatsuba 算法是比较简单的递归乘法，把输入拆分成 2 部分，不过对于更大的数，可以把输入拆分成 3 部分甚至 4 部分。拆分为 3 部分时，可以使用下面的Toom-Cook 3-way 乘法，复杂度降低到 O(n^1.465)。拆分为 4 部分时，使用Toom-Cook 4-way 乘法，复杂度进一步下降到 O(n^1.404)。对于更大的数字，可以拆成 100 段，使用快速傅里叶变换FFT，复杂度接近线性，大约是 O(n^1.149)。可以看出，分割越大，时间复杂度就越低，但是所要计算的中间项以及合并最终结果的过程就会越复杂，开销会增加，因此分割点上升，对于公钥加密，暂时用不到太大的整数，所以使用 Karatsuba 就合适了，不用再去弄更复杂的递归乘法。

## 测试程序 ##

public class LeetcodeTest {
    
        public static void main(String[] args) {
    //        String a = "1234567891011121314151617181920";
    //        String b = "2019181716151413121110987654321";
    
    //        String a = "999999999999";
    //        String b = "999999999999";
    
    //        String a = "24566";
    //        String b = "452053";
    
            String a = "98";
            String b = "21";
    
            char[] charArr1 = a.trim().toCharArray();
            char[] charArr2 = b.trim().toCharArray();
    
            // 字符数组转换为int[]数组
            int[] arr1 = new int[charArr1.length];
            int[] arr2 = new int[charArr2.length];
            for(int i = 0; i < charArr1.length; i++){
                arr1[i] = charArr1[i] - '0';
            }
            for(int i = 0; i < charArr2.length; i++){
                arr2[i] = charArr2[i] - '0';
            }
    
            // 开始计算
            int[] result = LeetcodeTest.bigNumberMultiply2(arr1, arr2);
            System.out.println(a + " * " + b + " = " + Arrays.toString(result).replace(", ", ""));
        }
    }

最后，是测试用例输出结果：

1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 = [02492816912877266687794240983772975935013386905490061131076320]
    
    999999999999 * 999999999999 = [999999999998000000000001]
    
    24566 * 452053 = [11105133998]
    
    98 * 21 = [2058]

[Multiplication algorithm]: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_algorithm
[Sch_nhage_Strassen algorithm]: https://en.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nhage%E2%80%93Strassen_algorithm
[F_rer_s algorithm]: https://en.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCrer%27s_algorithm
[20190715184048713.png]: /images/20210527/ec2ae7fdb50c4372853f287eaff9b01d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3o2OTE4Mzc4Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20210527/3a0cea27644e4bf195f281815332b413.png
[Karatsuba Multiplication Algorithm _ Python Code]: https://pythonandr.com/2015/10/13/karatsuba-multiplication-algorithm-python-code/
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3o2OTE4Mzc4Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20210527/5b0fa8b83123435e82977464600787df.png
[2019071518444749.png]: /images/20210527/96c75a26a499436d957d378d6864641c.png
[20190715184506196.png]: /images/20210527/5f49c6ed80d7437797e428f9fc1ae598.png
[20190715184519159.png]: /images/20210527/13bf0a239e32462086ccdd1de871d877.png
[20190715184608387.png]: /images/20210527/eb3245810c2946f8b89689a486305192.png