将军饮马求最值

朱雀 2024-05-07 17:09 56阅读 0赞

模型引入：

“将军”饮马问题主要利用构造对称图形化折为直解决求路径、两线段和差、三角形、四边形周长最值等一系列问题，经常和直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在中考和联考中常出现，而且大多以压轴题的形式出现.几何解题的过程中要善于套用模型，把问题转化成与之对应的模型.

方法原理：

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.点到直线的距离，垂线段最短.

模型分类：

模型一：定直线与两定点（一动两定型）

（一）距离之和最短：同侧和两侧;

（二）距离之差的绝对值最大：同侧和两侧;

（三）距离之差的绝对值最小（即动点P到两点的距离相等）：同侧和两侧.

模型二：角与定点（两动一定型）

（一）距离之和最短：定点在角的内部、定点在角的外部;

（二）周长最小：三角形周长(一定两动)、四边形周长(两定两动)、两动两定变式.

模型一：定直线与两定点（一动两定型）

（一）距离之和最短（化折为直）

1.两侧型：两点分别在直线两侧（基础本质型）

![在这里插入图片描述][1ec241bbe2cb4ae6ae9e8be20cc1fb14.gif_pic_center]

已知：如图①，定点A、B分别位于直线L的两侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：连接AB与直线L交于点P,点P即为所求作的点，PA+PB的最小值即为线段AB的长度.

证明：在直线L上任取一点动点P’，连接AP’，BP’.

在△ABP’中，

∵AP’+BP’≥AB,即AP’+BP’≥PA+PB，

∴当线段AB与直线L相交于点P时，PA+PB最小.

结论：PA+PB最小(AB)

2.同侧型：两点在直线同侧（将军饮马）

![在这里插入图片描述][4f3afebe7a2e49f09a37cffbb0167b14.gif_pic_center]

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB’交直线L于点P，则点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB’的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB’,要使PA+PB最小，则需PA+PB’最小，从而转化为两侧型.

结论：PA+PB最小(AB’).

（二）距离之差的绝对值最大

1.同侧型：

![在这里插入图片描述][ab1729ed9c0f44d78a9c9838829a60f9.gif_pic_center]

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧（A、B两点到L的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：连接AB并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：在L上任取一点P’(异于点P),连接P’A，P’B.由三角形三边关系知|P’A-P’B|<AB，即|P’A-P’B|≤|PA-PB|.

结论：|PA-PB|最大(AB).

2.同侧型：

![在这里插入图片描述][448b70697adb480badb007944899ba10.gif_pic_center]

已知：如图①，定点A、B位于直线L的两侧（A、B两点到l的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB’并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB’的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB’,要使|PA-PB|最大，则需|PA-PB’|最大，从而转化为同侧型.

结论：|PA-PB|最大为AB’.

（三）距离之差的绝对值最小（垂直平分线性质定理应用）  
![在这里插入图片描述][00793ab5a2ee46649bc7e06a2a3b8a2d.gif_pic_center]

要求：如图①、②，在直线L上找一点P,使得|PA-PB|有最小值.

作图：连接AB,作线段AB的垂直平分线与直线L交于点P，

点P即为所求作的点.

证明：由中垂线的性质得PB=PB,要使|PA-PB|最小为0.

结论：|PA-PB|的最小值为0.

模型二：角与定点（两动一定型）

（一）距离之和最短

1.定点在角的外部

![在这里插入图片描述][3edffd08d673418d83b25fa82cc5d4d6.gif_pic_center]

已知：如图①，P点为锐角∠MON外一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，过点P作PB⊥ON于点B,PB与OM相交于点A.此时，AP+AB最小.

证明：AP+AB≥PB,当且仅当A，P，B三点共线时，AP+PQ取得最小值PB,根据点到直线的距离，垂线段最短，当PB⊥ON时，PB最短.

结论：PA+AB的最小值为PB.

2.定点在角的内部

![在这里插入图片描述][a4581d46ef0c4c9683bd743b95d77245.gif_pic_center]

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，作点P关于OM的对称点P’，过点P’作ON的垂线分别交OM、ON于A、B.点A、B即为所求作的点.

证明：由轴对称的性质得PA=P’A,要使PA+AB最小，只需P’A+AB最小，从而转化为定点在角外部模型.

结论：PA+AB的最小值为P’B.

3.三角形周长最小

![在这里插入图片描述][a5a474a56bd04bb1b3a34736d528bef4.gif_pic_center]

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得△PAB的周长最小.

作图：如图②，分别作P点关于直线OM的对称点P’，关于ON的对称点P’‘，连接P’P’‘交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求，此时△PAB的周长最小，最小值为线段P’P’'的长度.

证明：由轴对称的性质可知AP=AP’,BP=BP’‘,△APB的周长AP+AB+BP=AP’+AB+BP’‘,当P’、A、B、P’'四点共线时，其值最小.

结论：△PAB的周长最小为P’P’'.

4.四边形周长最小

![在这里插入图片描述][a35b828ec7424bcb99fa2c52528a0216.jpeg_pic_center]

已知：如图①，P、Q为锐角∠MON内的两个定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得四边形ABPQ的周长最小.

作图：如图②，分别作Q点关于直线OM的对称点Q’，P点关于ON的对称点P’'，连接P’Q’交OM于点A,交ON于点B,

点A、点B即为所求，此时四边形ABPQ的周长最小，最小值为线段P’Q’+PQ.

结论：四边形ABPQ的周长最小为P’Q’+PQ.

5.两动两定变式模型

![在这里插入图片描述][1a6325c82981473bbb7f48714a8a9e3a.webp_pic_center]

已知：如图①，A、B为两个定点,P、Q为动点.

要求：在射线OM上找一点Q，在射线ON上找一点P，使得AP+PQ+QB最短最小.

作图：如图②，分别作A点关于直线ON的对称点A’，B点关于OM的对称点B’，连接A’B’交OM于点Q,交ON于点P,点P、点Q即为所求，此时AP+PQ+QB最小，最小值为线段A’B’.

结论：AP+PQ+QB最小为线段A’B’的长.

![在这里插入图片描述][93e4b470ef9149cb821afa4a6b8953e1.png_pic_center]

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