Java二叉树

古城微笑少年丶 2024-04-28 07:37 85阅读 0赞

#### Java二叉树 ####

*  ?1. 树型结构（了解）?
 *   *  ?1.1 概念?
     *  ?1.2 概念（重要）?
     *  ?1.3 树的表示形式（了解）?
     *  ?1.4 树的应用?
 *  ?2. 二叉树（重点） ?
 *   *  ?2.1 概念?
     *  ?2.2 二叉树的基本形态?
     *  ?2.3 两种特殊的二叉树?
     *  ❤️2.4 二叉树的性质❤️
     *  ?2.5 二叉树的存储?
 *  ?2.6 二叉树的基本操作?
 *   *   *  ❄️2.6.1 二叉树的遍历❄️
         *  ⛄️2.6.2 二叉树的基本操作⛄️
     *  ?2.7 基础面试题?
     *  ?2.8 二叉树的层序遍历?
     *  ?2.9 进阶面试题?
     *  ?2.10 前中后序的非递归实现?

**大家好，我是晓星航。今天为大家带来的是 Java二叉树 的讲解！?**

## ?1. 树型结构（了解）? ##

### ?1.1 概念? ###

![202304011913230.png][]

树是一种**非线性**的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。\*\*把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。\*\*它具有以下的特点：

*  有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
 *  除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
 *  树是递归定义的。

![202304011913310.png][] ![202304011913405.png][]

### ?1.2 概念（重要）? ###

![202304011913363.png][]

**节点的度**：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

**树的度**：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

**叶子节点或终端节点**：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

**双亲节点或父节点**：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

**孩子节点或子节点**：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

**根结点**：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

**树的高度或深度**：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

![202304011913092.png][]

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

**非终端节点或分支节点**：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

**兄弟节点**：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

**堂兄弟节点**：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

**节点的祖先**：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

**子孙**：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

**森林**：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

![202304011914888.png][]

### ?1.3 树的表示形式（了解）? ###

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的**孩子兄弟表示法**。

class Node {
        
        int value; // 树中存储的数据
        Node firstChild; // 第一个孩子引用
        Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
    }

孩子兄弟表示法：

![202304011914772.png][] ![202304011927865.png][]

### ?1.4 树的应用? ###

文件系统管理（目录和文件）

![202304011914487.png][] ![202304011915690.png][]

## ?2. 二叉树（重点） ? ##

![202304011915276.png][]

### ?2.1 概念? ###

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1.  每个结点**最多有两棵子树**，即**二叉树不存在度大于 2 的结点**。
2.  二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

### ?2.2 二叉树的基本形态? ###

![202304011915251.png][]

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

![202304011916652.png][]

### ?2.3 两种特殊的二叉树? ###

1.  满二叉树: 一个二叉树，如果**每一个层的结点数都达到最大值**，则这个二叉树就是**满二叉树**。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2.  完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的**满二叉树中编号从1至n的结点一一对应**时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。**（编号与树的结点一一对应）**

![202304011916192.png][] ![202304011916761.png][]

### ❤️2.4 二叉树的性质❤️ ###

1.  若规定**根结点的层数为1**，则一棵**非空二叉树的第i层上最多有**2^i-1 **(i>0)个结点**
2.  若规定只有**根结点的二叉树的深度为1**，则**深度为K的二叉树的最大结点数是** 2^k - 1(k>=0)
3.  对任何一棵二叉树, 如果其**叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1(叶子结点个数=度为2的结点个数＋1)**

推论：

假设二叉树有N个结点，一颗二叉树，要么n0，要么n1，要么n2

N = n0+n1+n2 // (1)

一个有N个结点的树，应该有N-1条边。

边的总数：

度为0的结点，能产生多少条边？0

度为1的结点，有n1个，能产生多少条边？n1条边

度为2的结点，有n2个，能产生多少条边？2\*n2条边

N-1 = n1+2\*n2 // (2)

n0+n1+n2-1 = n1+2\*n2

n0 = n2 + 1

**得出一个结论：任何一个二叉树，叶子结点比度为2的结点多一个**

1.  具有**n个结点的完全二叉树的深度k为** log2 (n + 1)**上取整**
2.  对于具有**n个结点的完全二叉树**，如果按照**从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号**，则对于**序号为i的结点有**：
3.  1.  若孩子结点i>0，**双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号**，无双亲节点
    2.  若父亲结点i>0，左孩子：2*i + 1 右孩子：2*i + 2
    3.  **若2i+1**
    4.  **若2i+2**

![202304011916919.png][]

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中\_\_\_\_\_个叶子节点，\_\_\_\_\_个非叶子节点，\_\_\_\_\_个节点只有左孩子，\_\_\_\_\_个只有右孩子。

1.  某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199

选B，因为叶子结点数 = 度为2的结点数 + 1 = 199 + 1 = 200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n B n+1 C n-1 D n/2

选A，即叶子结点个数 = 1/2树总的结点个数

![202304011916460.png][]

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383 B 384 C 385 D 386

选B，奇数个结点树的叶子个数 = 1/2(总结点个数+1)

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11 B 10 C 8 D 12

选B，2^10 = 1024 2^9 = 512 通过向上取整得树的高度为10。

由二叉树的性质4来推导k = log2 (n + 1) 向上取整

### ?2.5 二叉树的存储? ###

**二叉树的存储结构**分为：**顺序存储**和**类似于链表的链式存储**。

顺序存储在下节介绍。

**二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉(孩子兄弟表示法)和三叉(孩子双亲表示法)表示方式，**

具体如下：

// 孩子表示法
    class Node {
        
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
        
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
        Node parent; // 当前节点的根节点
    }

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

![202304011928353.png][]

## ?2.6 二叉树的基本操作? ##

#### ❄️2.6.1 二叉树的遍历❄️ ####

所谓**遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)**。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

![202304011917957.png][]

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，**如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的**。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1.  NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
2.  LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
3.  LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，**所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树**。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

用递归来解决二叉树的题。

![202304011918721.png][]

#### ⛄️2.6.2 二叉树的基本操作⛄️ ####

![202304011918864.png][]

// 前序遍历
        void preOrderTraversal(Node root);
        // 中序遍历
        void inOrderTraversal(Node root);
        // 后序遍历
        void postOrderTraversal(Node root);
        // 遍历思路-求结点个数
        static int size = 0;
        void getSize1(Node root);
        // 子问题思路-求结点个数
        int getSize2(Node root);
        // 遍历思路-求叶子结点个数
        static int leafSize = 0;
        void getLeafSize1(Node root);
        // 子问题思路-求叶子结点个数
        int getLeafSize2(Node root);
        // 子问题思路-求第 k 层结点个数
        int getKLevelSize(Node root);
        // 获取二叉树的高度
        int getHeight(Node root);
        // 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
        // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
        // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
        Node find(Node root, int val);

### ?2.7 基础面试题? ###

前面已经为大家讲解过二叉树的基础面试题，链接如下：

[http://t.csdn.cn/jHey8][http_t.csdn.cn_jHey8]

### ?2.8 二叉树的层序遍历? ###

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

![202304011920073.png][]

// 层序遍历
    public void levelOredr(BTNode root) {
        
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        if (root == null) {
        
            return;
        }
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
        
            BTNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if (cur.left != null) {
        
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
        
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(BTNode root) {
        
        if (root == null) {
        
            return true;
        }
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
        
            BTNode cur = queue.poll();
            if (cur != null) {
        
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            } else {
        
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
        
            BTNode top = queue.peek();
            if (top != null) {
        
                return false;
            }
            queue.poll();
        }
        return true;
    }

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

答：选A。

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()

A: E B: F C: G D: H

答：选E，先序遍历的第一个永远为根。

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

答：选D。先由后序遍历确定根为a，再由中序遍历确定b为左树，dce为右树，然后因为后续遍历中顺序为左根右，所以c为右树的根，继而d为c的左树，e为c的右树。

1、先遍历后序遍历的序列，从最后一个元素出发。

2、最后一个是根，拿着这个元素，在中序遍历的序列中找到该根

3、根的左边是左子树，根的右边是右子树。

4、接下来继续遍历后序遍历的序列，此时再次拿到的根就是这棵树的右子树。

…

问题：如果给前序和后序是否可以创建一个二叉树？

答：不能，因为现在你拿到的都是根。

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

答：A，由后续遍历确定根为F，ABCDE为F得左数，再由中序遍历确定E为F的左数根，由后序遍历得ABCD为E得左数，由中序遍历确定D为E的左数…最终确定此树为单向树，只有一个分支，从上往下依次为FEDCBA。

### ?2.9 进阶面试题? ###

前面已经为大家讲解过二叉树的进阶面试题，链接如下：

[http://t.csdn.cn/QHBbL][http_t.csdn.cn_QHBbL]

### ?2.10 前中后序的非递归实现? ###

前面已经为大家讲解过二叉树的前中后序的非递归实现，链接如下：

[http://t.csdn.cn/zKrHm][http_t.csdn.cn_zKrHm]

![202304011928499.png][]

*感谢各位读者的阅读，本文章有任何错误都可以在评论区发表你们的意见，我会对文章进行改正的。如果本文章对你有帮助请动一动你们敏捷的小手点一点赞，你的每一次鼓励都是作者创作的动力哦！?*

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