【数据结构】二叉树的概念及结构

心已赠人 2024-04-27 16:00 85阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  前言
 *  一.树概念及结构
 *   *  1.树的概念：
     *  2 树的相关概念
     *  3.树的表示
     *  4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
 *  二.二叉树概念及结构
 *   *  1.概念：
     *  2.特殊的二叉树：
     *   *  满二叉树：
         *  完全二叉树：
     *  3.二叉树的性质：
 *  三.相关练习题：
 *   *  例1：
     *  例2：
     *  例3：
     *  例3：
 *  总结

## 前言 ##

## 一.树概念及结构 ##

### 1.树的概念： ###

树是一种**非线性的数据结构**，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为**它看起来像一棵倒挂的树**，也就是说它是**根朝上**，而**叶朝下**的。

特点：

*  有一个特殊的结点，称为**根结点**，**根节点没有前驱结点**
 *  除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
 *  树是**递归定义**的。  
    ![在这里插入图片描述][d77606fc9baa4e3da9392b5999781063.png]  
    ![在这里插入图片描述][589a076a9283489a969fae1877641213.png]

**注意**：  
  树形结构中，**子树之间不能有交集**，**否则就不是树形结构**。每个节点只有**一个父结点**，对于N个节点都有N-1条边与之对应，  
![在这里插入图片描述][0f7e895fa25f469a8aafcf44fe4712b6.png]

### 2 树的相关概念 ###

![在这里插入图片描述][8613ef20843241afaadfa53ccbe9f920.jpeg]

*  **节点的度**：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
 *  **叶节点或终端节点**：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
 *  非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
 *  **双亲节点或父节点**：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
 *  **孩子节点或子节点**：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
 *  **兄弟节点**：具有**相同父节点的节点**互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
 *  **树的度**：一棵树中，**最大的节点的度**称为树的度； 如上图：树的度为6  
    节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
 *  **树的高度或深度**：**树中节点的最大层次**； 如上图：树的高度为4
 *  堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
 *  **节点的祖先**：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
 *  **子孙**：**以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙**。如上图：所有节点都是A的子孙
 *  森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

### 3.树的表示 ###

树结构要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：**双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等**。我们这里就简单的了解其中最常用的`孩子兄弟表示法`：

typedef int DataType;
    struct Node
    {
        
     struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
     struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
     DataType _data; // 结点中的数据域
    };

在这里就是**通过第一个孩子，这个孩子的兄弟关系**来存储相应的关系，图解如下：  
![在这里插入图片描述][d402ed2e9b1d42e4986a369b0e8ce06e.png]

### 4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构） ###

![在这里插入图片描述][5804ceb8df6f4c5da1b210d9486329fb.png]

## 二.二叉树概念及结构 ##

### 1.概念： ###

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1.  或者为空
2.  由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

![在这里插入图片描述][9fe6a2f51ed943e388e7190282e53c8f.png]  
从上图可以看出：

1.  二叉树**不存在度大于2**的结点
2.  二叉树的**子树有左右之分**，**次序不能颠倒**，因此**二叉树是有序树**

注意：对于**任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的**：  
![在这里插入图片描述][2ef7bb1e36ab47439119fc37f014101f.png]

我们可以看看现实里的二叉树：  
![在这里插入图片描述][d1a6c10ad6134c11a5b73ad4435ea598.jpeg]

### 2.特殊的二叉树： ###

#### 满二叉树： ####

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。  
![在这里插入图片描述][eb6a29dcfb954827862dbcc3965b2ad3.png]

#### 完全二叉树： ####

完全二叉树是**效率很高的数据结构**，完全二叉树是由**满二叉树而引出来的**。对于n层二叉树，只要**前n-1层是满的**，**最后一层要求从左到右是连续的**，那么这就是一颗**完全二叉树**！ 要注意的是满二叉树是一种**特殊的完全二叉树**。

![在这里插入图片描述][a27ce4305ed849d58e63d39eb80a7930.png]

### 3.二叉树的性质： ###

*  若规定根节点的层数为1，则一棵**非空二叉树的第i层**上最多有 2^(i-1)个结点.

![在这里插入图片描述][abb0709c27454227b3f4d14b76f7a723.png]

*  若规定根节点的层数为1，则深度为h的**满二叉树**的最大结点数是 **2^(h)-1**个结点（**等比数列求和**）.
 *  **高度为h的完全二叉树**，节点数量的范围是\[2^(h-1), 2^h-1\].
 *  对任何一棵二叉树, 如果**度为0其叶结点个数为n0** , **度为2的分支结点个数为n2** ,则有 **n0=n2+1**.
 *  若规定根节点的层数为1，具有**n个结点的满二叉树的深度**，**h= log2(n+1)**. (ps： 是log以2为底，n+1为对数)
 *  完全二叉树里度为1的节点只有1个或0个。

## 三.相关练习题： ##

### 例1： ###

![在这里插入图片描述][111bf6708c0e4323a053b5b3cc779a63.png]  
**答案：B**

解析：根据n0=n2+1

### 例2： ###

![在这里插入图片描述][18eb34a8d3f446dcad56a141e330c810.png]  
**答案：A**  
![在这里插入图片描述][3c1bc120f36c4fb7bd50fa42d103b901.png]

### 例3： ###

![在这里插入图片描述][91048d05cd994a6fba205eaf2d7d745d.png]  
**答案：B**  
![在这里插入图片描述][1800e99965004b218f4f6816ff729e2b.png]

### 例3： ###

![在这里插入图片描述][619604de086b4efa9156d2e4380749bd.png]  
答案：B  
解析：有的同学可能会问为什么不直接用767-512，这样算出来的结点是最后一层的结点数，并不是叶子结点（第n-1层也有叶子结点），所以我们不能这样算。  
正确方法：  
![在这里插入图片描述][ba9279d2ba684e859230eef36e33caad.png]

## 总结 ##

更新不易，辛苦各位小伙伴们动动小手，?三连走一走?? ~ ~ ~ 你们真的对我很重要！最后，本文仍有许多不足之处，欢迎各位认真读完文章的小伙伴们随时私信交流、批评指正！

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