【数据结构与算法】高级排序

忘是亡心i 2024-04-26 02:22 64阅读 0赞

> ? 本文由 [程序喵正在路上][Link 1] 原创，CSDN首发！  
> ? 系列专栏：[数据结构与算法][Link 2]  
> ? 首发时间：2022年10月22日  
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> ? 一以贯之的努力 不得懈怠的人生

#### 阅读指南 ####

*  一、前言
 *  二、希尔排序
 *  三、归并排序
 *  四、快速排序
 *  五、排序的稳定性

## 一、前言 ##

基础的排序算法，包括冒泡排序、选择排序和插入排序，通过对它们进行时间复杂度的分析，我们不难得出其最坏时间复杂度都为  O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，对于平方阶的算法我们都知道，随着输入规模的增大，时间成本将急剧上升，所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题，下面我们介绍一些比较高级的排序算法，争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂

## 二、希尔排序 ##

希尔排序是插入排序的一种，又称为 “缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本

在使用插入排序的时候，我们会发现一个很不友好的情况，如果已经排序的分组元素为 **\{ 2, 4, 6, 7, 10 \}**，未排序的分组元素为 **\{1, 8\}**，那么下一个待插入元素为 **1**，我们需要拿着 **1** 从后往前依次和 **10、7、6、4、2** 进行交换位置，才能完成真正的插入，每次交换只能和相邻的元素交换位置，那如果我们要提高效率，直观的想法就是只进行一次交换，就能把 **1** 放到合适的位置，这样就可以减少交换的次数，那我们该怎么做呢？

下面我们来看看希尔排序吧

我们的需求是：

*  排序前：**\{ 9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5 \}**
 *  排序后：**\{ 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 \}**

排序原理：

*  选定一个增长量 **h**，按照增长量 **h** 作为数据分组的依据，对数据进行分组
 *  对分好组的每一组数据完成插入排序
 *  减小增长量，最小减为 **1**，重复第二步操作

![在这里插入图片描述][5ff388a70661478ebc3b44c8731a66c9.gif_pic_center]

至于增长量是怎么确定的，有一固定的规则，我们采用以下规则：

int h = 1;
    while (h < 数组的长度/2) {
        
    	h = 2 * h + 1;
    }
    //循环结束后我们就可以确定 h 的初始值了
    
    h 减小的规则为：
    h = h / 2;

**< 希尔排序 API 设计 >**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>类名</th> 
   <th>Shell</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>构造方法</td> 
   <td><code>Shell()</code> ：创建 <strong>Shell</strong> 对象</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>public static void sort(Comparable[] c)</code> ：对数组内的元素进行排序</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static boolean greater(Comparable c1, Comparable c2)</code> ： 判断 <strong>c1</strong> 是否大于 <strong>c2</strong></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void exch(Comparable[] c, int i, int j)</code> ：交换 <strong>c</strong> 数组中，索引 <strong>i</strong> 和索引 <strong>j</strong> 处的值</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**< 希尔排序代码实现 >**

*  Shell类
    
        public class Shell {
              
            //对数组 C 中的元素进行排序
            public static void sort(Comparable[] c) {
              
                int n = c.length;
        
                //确定增长量 h 的最大值
                int h = 1;
                while (h < n / 2) {
              
                    h = 2 * h + 1;
                }
        
                //当增长量 h 小于 1时，排序结束
                while (h >= 1) {
              
                    //找到待插入的元素
                    for (int i = h; i < n; ++i) {
              
                        //将待插入元素插入到有序数列中
                        for (int j = i; j >= h; j -= h) {
              
                            //待插入元素是 c[j]
                            if (greater(c[j - h], c[j])) {
              
                                exch(c, j - h, j);
                            } else {
              
                                break;
                            }
                        }
                    }
        
                    //减小 h 的值
                    h = h / 2;
                }
            }
        
            //比较 c1 元素是否大于 c2 元素
            private static boolean greater(Comparable c1, Comparable c2) {
              
                return c1.compareTo(c2) > 0;
            }
        
            //数组中索引为 i 和索引为 j 的元素互换位置
            private static void exch(Comparable[] c, int i, int j) {
              
                Comparable temp = c[i];
                c[i] = c[j];
                c[j] = temp;
            }
        }
 *  test类
    
        import java.util.Arrays;
        
        public class test {
              
            public static void main(String[] args) {
              
                Integer[] a = {
              9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};
                Shell.sort(a);
                System.out.println(Arrays.toString(a));
            }
        }
 *  运行结果
    
    ![在这里插入图片描述][91a20e93078843208be2bdb2e7cd7756.png]

**< 希尔排序时间复杂度分析 >**

在希尔排序中，增长量 **h** 并没有固定的规则，有很多论文研究了各种不同的递增序列，但都无法证明某个序列是最好的，对于希尔排序的时间复杂度分析，已经超出了我们的能力范畴

但是我们可以使用事后分析法来比较希尔排序和插入排序的性能

首先我们准备一个保存有 **10000** 个数据的文件，如下图所示，有了这些数据我们就可以完成测试

![在这里插入图片描述][4c10695999114df69363b1ee59aa932e.png]

测试的思想：在执行排序前记录一个时间，在排序完成后记录一个时间，两个时间的时间差就是排序的耗时

*  SortCompare类
    
        import java.io.*;
        import java.util.*;
        
        public class SortCompare {
              
            public static void main(String[] args) throws Exception{
              
                List<Integer> list = new ArrayList<>();
        
                //读取 data.txt 文件
                BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream("D:\\IdeaProjects\\jdbc_demo\\src\\blog\\data.txt")));
                String line = null;
        
                while ((line = reader.readLine()) != null) {
              
                    //将每一个数组存入到集合中
                    list.add(Integer.valueOf(line));
                }
        
                reader.close();
        
                //把集合转换成数组
                Integer[] arr = new Integer[list.size()];
                list.toArray(arr);
        
                testInsertion(arr);
                testShell(arr);
            }
        
            public static void testInsertion(Integer[] arr) {
              
                //使用插入排序完成测试
                long start = System.currentTimeMillis();
                Insertion.sort(arr);
                long end = System.currentTimeMillis();
                System.out.println("使用插入排序耗时：" + (end - start) + "毫秒");
            }
        
            public static void testShell(Integer[] arr) {
              
                //使用希尔排序完成测试
                long start = System.currentTimeMillis();
                Shell.sort(arr);
                long end = System.currentTimeMillis();
                System.out.println("使用希尔排序耗时：" + (end - start) + "毫秒");
            }
        }
 *  运行结果  
    ![在这里插入图片描述][52ac36c8dd564ca681ddacd49642d4e1.png]

通过测试发现，在处理大批量数据时，希尔排序的性能确实高于插入排序

## 三、归并排序 ##

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称之为二路合并

我们的需求是：

*  排序前：**\{ 8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2 \}**
 *  排序后：**\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}**

排序原理：

*  尽可能地将一组数据拆分成两个元素个数相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是 1
 *  将相邻的两个子组进行合并成为一个有序的大组
 *  不断地重复步骤 2，直到最终只有一个组为止

![在这里插入图片描述][78257799dbf84be5a73904935559ad4a.gif_pic_center]

**< 归并排序 API 设计 >**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>类名</th> 
   <th>Merge</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>构造方法</td> 
   <td><code>Merge()</code> ：创建 <strong>Merge</strong> 对象</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>public static void sort(Comparable[] c)</code> ：对数组内的元素进行排序</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void sort(Comparable[] c, int lo, int hi)</code> ：对数组 <strong>c</strong> 中从索引 <strong>lo</strong> 到索引 <strong>hi</strong> 之间的元素进行排序</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void merge(Comparable[] c, int lo, int mid, int hi)</code>：从索引 <strong>lo</strong> 到索引 <strong>mid</strong> 为一个子组，从索引 <strong>mid + 1</strong> 到索引 <strong>hi</strong> 为另一个子组，把数组 <strong>c</strong> 中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组（从索引 <strong>lo</strong> 到索引 <strong>hi</strong>）</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static boolean less(Comparable c1, Comparable c2)</code> ： 判断 <strong>c1</strong> 是否小于 <strong>c2</strong></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void exch(Comparable[] c, int i, int j)</code> ：交换 <strong>c</strong> 数组中，索引 <strong>i</strong> 和索引 <strong>j</strong> 处的值</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**< 归并排序代码实现 >**

*  Merge类
    
        public class Merge {
              
            private static Comparable[] assist; //归并需要的辅助数组
        
            //对数组 c 中元素进行排序
            public static void sort(Comparable[] c) {
              
                assist = new Comparable[c.length];
                int lo = 0;
                int hi = c.length - 1;
                sort(c, lo, hi);
            }
        
            //对数组 c 中从 lo 到 hi 的元素进行排序
            private static void sort(Comparable[] c, int lo, int hi) {
              
                if (hi <= lo) {
              
                    return;
                }
        
                int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        
                //对 lo 到 mid 之间的元素进行排序
                sort(c, lo, mid);
                //对 mid + 1 到 hi 之间的元素进行排序
                sort(c, mid + 1, hi);
                //对 lo 到 mid 这组数据和 mid 到 hi 这组数据进行归并
                merge(c, lo, mid, hi);
            }
        
            //对数组中，从 lo 到 mid 为一组，从 mid + 1 到 hi 为一组，进行归并
            private static void merge(Comparable[] c, int lo, int mid, int hi) {
              
                int i = lo;         //定义一个指针，指向 assist 数组中开始填充数据的索引
                int p1 = lo;        //定义一个指针，指向第一组数据的第一个元素
                int p2 = mid + 1;   //定义一个指针，指向第二组数组的第一个元素
        
                //比较左边小组和右边小组中的元素大小，哪个小，就把哪个数据先填充到 assist 数组中
                while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
              
                    if (less(c[p1], c[p2])) {
              
                        assist[i++] = c[p1++];
                    } else {
              
                        assist[i++] = c[p2++];
                    }
                }
        
                /*
                上面的循环结束后，如果退出循环的条件是 p1<=mid，则证明左边小组中的数组已经
                归并完毕，如果退出循环的条件是 p2<=hi，则证明右边小组中的数组已经填充完毕
                所以需要把未填充完毕的数据继续填充到 assist 中，下面两个循环只会其中一个
                 */
                while (p1 <= mid) {
              
                    assist[i++] = c[p1++];
                }
        
                while (p2 <= hi) {
              
                    assist[i++] = c[p2++];
                }
        
                /*
                到这里，assist 数组中，从 lo 到 hi 的元素是有序的，再把数据拷贝到 c 数组
                中对应的索引处即可
                 */
                for (int index = lo; index <= hi; ++index) {
              
                    c[index] = assist[index];
                }
            }
        
            //比较 c1 元素是否小于 c2 元素
            private static boolean less(Comparable c1, Comparable c2) {
              
                return c1.compareTo(c2) < 0;
            }
        
            //数组元素 i 和 j 交换位置
            private static void exch(Comparable[] c, int i, int j) {
              
                Comparable temp = c[i];
                c[i] = c[j];
                c[j] = temp;
            }
        }
 *  test类
    
        import java.util.Arrays;
        
        public class test {
              
            public static void main(String[] args) throws Exception {
              
                Integer[] arr = {
              8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2};
                Merge.sort(arr);
                System.out.println(Arrays.toString(arr));
            }
        }
 *  运行结果
    
    ![在这里插入图片描述][33b026ebbedb4e2ab44ae3b6d9447c9e.png]

**< 归并排序时间复杂度分析 >**

归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对 **c\[lo…hi\]** 进行排序，先将它分为 **c\[lo…mid\]** 和 **c\[mid+1…hi\]** 两部分，分别通过递归调用它们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行 **merge** 方法进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序

![在这里插入图片描述][7e1a6646c4f046e7b1e506e8ee04dad6.png]

用树状图来描述归并，如果一个数组有 **8** 个元素，那么它将每次除以 **2** 找最小的子数组，一共要拆  log ⁡ 2 8 \\log\_\{2\}\{8\} log28 次，值为 **3**，所以树共有 **3** 层，那么自顶向下第 **k** 层有  2 k 2^k 2k 个子数组，每个子数组的长度为  2 3 − k 2^\{3-k\} 23−k，归并最多需要  2 3 − k 2^\{3-k\} 23−k 次比较。因此每层的比较次数为  2 k ∗ 2 3 − k = 2 3 2^k \* 2^\{3-k\} = 2^3 2k∗23−k=23，那么 **3** 层的比较次数总共为  3 ∗ 2 3 3\*2^3 3∗23

假设元素的个数为 **n**，那么使用归并排序拆分的次数为  log ⁡ 2 n \\log\_\{2\}\{n\} log2n，所以一共  log ⁡ 2 n \\log\_\{2\}\{n\} log2n 层，那么使用  log ⁡ 2 n \\log\_\{2\}\{n\} log2n 替换上面  3 ∗ 2 3 3\*2^3 3∗23 中的 **3** 这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为  log ⁡ 2 n ∗ 2 log ⁡ 2 n = log ⁡ 2 n ∗ n \\log\_\{2\}\{n\} \* 2^\{\\log\_\{2\}\{n\}\} = \\log\_\{2\}\{n\} \* n log2n∗2log2n=log2n∗n，根据大 **O** 推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为  O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

**< 归并排序的缺点 >**

需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以时间换空间的操作

**< 归并排序和希尔排序的性能比较 >**

我们还是借助那个保存有 **10000** 个数据的文件来进行测试

**测试代码如下**

import java.io.*;
    import java.util.*;
    
    public class SortCompare {
        
        public static void main(String[] args) throws Exception{
        
            List<Integer> list = new ArrayList<>();
    
            //读取 data.txt 文件
            BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream("D:\\IdeaProjects\\jdbc_demo\\src\\blog\\data.txt")));
            String line = null;
    
            while ((line = reader.readLine()) != null) {
        
                //将每一个数组存入到集合中
                list.add(Integer.valueOf(line));
            }
    
            reader.close();
    
            //把集合转换成数组
            Integer[] arr = new Integer[list.size()];
            list.toArray(arr);
    
            testMerge(arr);
            testShell(arr);
        }
    
        public static void testMerge(Integer[] arr) {
        
            //使用归并排序完成测试
            long start = System.currentTimeMillis();
            Merge.sort(arr);
            long end = System.currentTimeMillis();
            System.out.println("使用归并排序耗时：" + (end - start) + "毫秒");
        }
    
        public static void testShell(Integer[] arr) {
        
            //使用希尔排序完成测试
            long start = System.currentTimeMillis();
            Shell.sort(arr);
            long end = System.currentTimeMillis();
            System.out.println("使用希尔排序耗时：" + (end - start) + "毫秒");
        }
    }

**测试结果如下**

![在这里插入图片描述][373c380fb0a247059b574ac65ece4927.png]

通过测试，我们发现希尔排序和归并排序在处理大批量数据时差别不是很大

## 四、快速排序 ##

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一  
部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序  
过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列

我们的需求是：

*  排序前：**\{ 6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8 \}**
 *  排序后：**\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}**

排序原理：

*  首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分
 *  将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值
 *  然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理
 *  重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了

![在这里插入图片描述][6586d7832d4e4ce683e4861d48de2669.gif_pic_center]

**< 快速排序 API 设计 >**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>类名</th> 
   <th>Quick</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>构造方法</td> 
   <td><code>Quick()</code> ：创建 <strong>Quick</strong> 对象</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>public static void sort(Comparable[] c)</code> ：对数组内的元素进行排序</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void sort(Comparable[] c, int lo, int hi)</code> ：对数组 <strong>c</strong> 中从索引 <strong>lo</strong> 到索引 <strong>hi</strong> 之间的元素进行排序</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void partition(Comparable[] c, int lo, int hi)</code>：对数组 c 中，从索引 lo 到索引 hi 之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static boolean less(Comparable c1, Comparable c2)</code> ： 判断 <strong>c1</strong> 是否小于 <strong>c2</strong></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>成员方法</td> 
   <td><code>private static void exch(Comparable[] c, int i, int j)</code> ：交换 <strong>c</strong> 数组中，索引 <strong>i</strong> 和索引 <strong>j</strong> 处的值</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**< 切分原理 >**

把一个数组切分成两个子数组的基本思想为：

1.  找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部
2.  先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置
3.  再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置
4.  交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素
5.  重复 2，3，4 步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值为止

**< 快速排序代码实现 >**

*  Quick类
    
        public class Quick {
              
            //对数组 c 中元素进行排序
            public static void sort(Comparable[] c) {
              
                int lo = 0;
                int hi = c.length - 1;
                sort(c, lo, hi);
            }
        
            //对数组 c 中从 lo 到 hi 的元素进行排序
            private static void sort(Comparable[] c, int lo, int hi) {
              
                if (hi <= lo) {
              
                    return;
                }
        
                //对 c 数组中，从 lo 到 hi 的元素进行切分
                int partition = partition(c, lo, hi);
                //对左边分组中的元素进行排序
                sort(c, lo, partition - 1);
                //对右边分组中的元素进行排序
                sort(c, partition + 1, hi);
            }
        
            private static int partition(Comparable[] c, int lo, int hi) {
              
                Comparable key = c[lo];     //把最左边的元素当作基准值
                int left = lo;              //定义一个左指针，初始指向最左边的元素
                int right = hi + 1;         //定义一个右指针，初始指向最右侧元素的下一个
        
                //进行切分
                while (true) {
              
                    //先从右往左扫描，找到一个比基准值小的元素
                    while (less(key, c[--right])) {
                   //循环停止，证明找到了一个比基准值小的元素
                        if (right == lo) {
              
                            break;     //已经扫描完了
                        }
                    }
        
                    //再从左往右扫描，找到一个比基准值大的元素
                    while (less(c[++left], key)) {
                   //循环停止，证明找到了一个比基准值小的元素
                        if (left == hi) {
              
                            break;     //已经扫描完了
                        }
                    }
        
                    if (left >= right) {
              
                        //扫描完了所有元素，结束循环
                        break;
                    } else {
              
                        //交换 left 和 right 索引处的元素
                        exch(c, left, right);
                    }
                }
        
                //交换最后 right 索引处和基准值所在的索引处的值
                exch(c, lo, right);
                return right;   //right 就是切分的界限
            }
        
            //比较 c1 元素是否小于 c2 元素
            private static boolean less(Comparable c1, Comparable c2) {
              
                return c1.compareTo(c2) < 0;
            }
        
            //数组元素 i 和 j 交换位置
            private static void exch(Comparable[] c, int i, int j) {
              
                Comparable temp = c[i];
                c[i] = c[j];
                c[j] = temp;
            }
        }
 *  test类
    
        import java.util.Arrays;
        
        public class test {
              
            public static void main(String[] args) throws Exception {
              
                Integer[] arr = {
              6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};
                Quick.sort(arr);
                System.out.println(Arrays.toString(arr));
            }
        }
 *  运行结果
    
    ![在这里插入图片描述][b59a4765441c405d89604ee006dd01f7.png]

**< 快速排序和归并排序的区别 >**

快速排序是另外一种分治的排序算法，它将一个数组分成两个子数组，将两部分独立的排序。快速排序和归并排序  
是互补的：归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并从而将整个数组排序，而快速排序的  
方式则是当两个数组都有序时，整个数组自然就有序了。在归并排序中，一个数组被等分为两半，归并调用发生在  
处理整个数组之前，在快速排序中，切分数组的位置取决于数组的内容，递归调用发生在处理整个数组之后

**< 快速排序时间复杂度分析 >**

快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到 **left** 和 **right** 重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为  O ( n ) O(n) O(n)，但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关

最优情况：每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分

![在这里插入图片描述][66d5d88ecec64b489f99a186fe737d37.png]

如果我们把数组的切分看做是一个树，那么上图就是它的最优情况的图示，共切分了  l o g n logn logn 次，所以，最优情况下快速排序的时间复杂度为  O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

最坏情况：每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一个子组，那么总  
共就得切分 **n** 次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为  O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

![在这里插入图片描述][8ceddda5b2784016bf2576ce595eb104.png]

平均情况：每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证  
明，快速排序的时间复杂度为  O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

## 五、排序的稳定性 ##

**< 稳定性的定义 >**

数组 **arr** 中有若干元素，其中 **A** 元素和 **B** 元素相等，并且 **A** 元素在 **B** 元素前面，如果使用某种排序算法排序后，能够保证 **A** 元素依然在 **B** 元素的前面，那么可以说该算法是稳定的

![在这里插入图片描述][dce52d2b230a40dbb01b81ea8f137e40.png]

**< 稳定性的意义 >**

如果一组数据只需要一次排序，则稳定性一般是没有意义的，如果一组数据需要多次排序，稳定性是有意义的。例  
如要排序的内容是一组商品对象，第一次排序按照价格由低到高排序，第二次排序按照销量由高到低排序，如果第  
二次排序使用稳定性算法，就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现，只有销量不同的对象才需  
要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义，而且可以减少系统开销

**< 常见排序算法的稳定性 >**

**冒泡排序**  
只有当 `arr[i] > arr[i+1]` 的时候，才会交换元素的位置，而相等的时候并不交换位置，所以冒泡排序是一种稳定排序  
算法

**选择排序**  
选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，例如有数据 `{5(1), 8 , 5(2), 2, 9 }`，第一遍选择到的最小元素为 **2**，所以 **5(1)** 会和 **2** 进行交换位置，此时 **5(1)** 到了 **5(2)** 后面，破坏了稳定性，所以选择排序是一种不稳定的排序算法

**插入排序**  
比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其  
后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么把要插入的元素放在相等  
元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序  
是稳定的

**希尔排序**  
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在  
不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不  
稳定的。

**归并排序**  
归并排序在归并的过程中，只有 `arr[i] < arr[i+1]` 的时候才会交换位置，如果两个元素相等则不会交换位置，所以它  
并不会破坏稳定性，归并排序是稳定的

**快速排序**  
快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素，  
然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法

[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_62511863?spm=1011.2421.3001.5343
[Link 2]: https://blog.csdn.net/weixin_62511863/category_12010243.html?spm=1001.2014.3001.5482
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