ZR#999

清疚 2024-04-20 10:34 85阅读 0赞

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ZR\#999

### 解法： ###

> 一道计数题，看到要求必须 $ m $ 个标号，所有标号至少出现一次的方案。  
> 很容易想到可以容斥，但容斥这个东西是一种很神奇的东西，你可以看出来一道题需要容斥，但你就是不知道怎么容斥。
> 
> > 原题的等价形式为：总方案减去至少不出现一种玩具的方案数。
> 
> 考虑容斥 ， 那么就有
> 
> > $ \\bigcup ^ \{n\} \_ \{i = 1\} A\_i = \\sum ^ \{n\} \_ \{k = 1\} (-1) ^ \{k-1\} \\sum \_ \{1 \\leq i\_1 < i\_2 \\cdots i\_k \\leq n\} \\mid A\_\{i\_1\} \\cap A\_\{i\_2\} \\cap \\cdots \\cap A \_ \{i\_k\} \\mid $
> 
> 设 $ f\_i $ 表示状态为 $ i $ 时所有元素都在集合 $ i $ 中的方案数。（不要求包含 $ i $ 中的所有元素）然后用容斥原理算一下即可。  
> 但是这个题数据范围比较大，需要用 $ FWT $ （高维前缀和）来维护 。

### CODE: ###

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define N 1 << 20 const int p = 1e9 + 7; int n,m,k,x,res,ans; int f[N],t[N],cnt[N],flag; inline int read() { int x = 0, f = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-')f = -1; ch = getchar();} while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();} return x * f; } int main() { n = read(),m = read(); flag = (1 << m) - 1; cnt[0] = 1; for(int i = 1 ; i <= n ; i++) { k = read(); res = 0; for(int j = 1 ; j <= k ; j++) { x = read(); res |= 1 << (x - 1); } ++f[res]; } for(int i = 1 ; i <= m ; i++) { for(int j = 1 ; j <= flag ; j++) { if(j & (1 << (i - 1))) f[j] += f[j ^ (1 << (i - 1))]; } } for(int i = 1 ; i <= n ; i++) { cnt[i] = cnt[i - 1] << 1; if(cnt[i] >= p) cnt[i] -= p; } for(int i = 0 ; i <= flag ; i++) { t[i] = t[i >> 1] + i & 1; if(!((m - t[i]) & 1)) ans += cnt[f[i]] - 1; else ans -= cnt[f[i]] - 1; if(ans >= p) ans %= p; else if(ans < 0) ans += p; } printf("%d \n",ans); //system("pause"); return 0; }

转载于:https://www.cnblogs.com/Repulser/p/11488331.html

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