详解相移法空间相位展开与时间相位展开

偏执的太偏执、 2024-04-20 08:13 68阅读 0赞

说明：如果对相移法熟悉，应该知道这种方法是一种时间编码方式，是需要将不同相位下的图案连续投射到物体上。

同时相移法在解相后相位是被包裹状态，所以需要解包裹，这里提到的空间和时间解包裹都是相移法中解包裹的方法，所以这两种概念是不矛盾的。

解包裹是相移法中产生的包裹相位的处理，将相位值从（-pi,pi）的范围内解到一个相位连续变化的范围内。

先介绍空间解包裹：

**1、Spatial phase-unwrapping 空间解包裹**

比较传统的方法有Gierloff提出的masked phase map和Green and Walker提出的基于minimizing  
high-frequency energy的方法，前一种方法对噪声有很大的免疫性，但主要用于连续相位；后一种方法主要用于一维情况，有噪声时有时会失效，因此常规方法都由于噪声影响而失效。

常用的相移法中解包裹的方法就是空间解包裹的方法，所谓空间是指对图像中相邻像素的相位值的空间比较。

在灰度图像中，若黑色表示-pi，白色表示pi，中间的灰度值表示相位值在（-pi,pi）之间，这里计算反正切的函数是四象限的atan2(a,b)，值域在（-pi,pi）。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzE1Mjk1NTY1_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

假设存在两个相邻P和Q的像素i和i的相位分别是![\\phi\\left ( 1 \\right )][phi_left _ 1 _right]和![\\phi\\left ( i \\right )][phi_left _ i _right]，从P到Q会有不同的路径，如A路径和B路经。在给定P相位的前提下，某个路经上通过计算沿连接像素P和Q的任何路径（例如A或B）的2pi不连续点的数量d(i)，都可以解开任何其他像素\[图中的Q\]的相位，即存在下面一个关系：

![20190923103253810.png][]

\[\*\]表示对该数量取整操作。

对于两个相邻像素点，真实的相位差应该就在（-pi,pi）这个范围内，如果有值超出了这个范围，就表明这两个像素之间有2pi的不连续存在，并且不连续的个数值要么是1，要么是-1。沿着这条路径计算2pi不连续的个数的公式如下

![2019092411123932.png][]

然后从Q点的相位中减去2piv。

正常情况下，图像中相位的分布是对位置的单值函数，所以可以你直接简化为对一列的解包裹。

下图为证明空间解包裹方法过程中噪声的存在对不连续的个数的影响：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzE1Mjk1NTY1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

**2、Temporal phase-unwrapping 时间解包裹**  
该方法的主要思想就是每个像素的相位值都是关于时间的函数，这样解相的过程只需要沿着时间轴操作使得像素之间彼此独立。这样即使有噪声存在也不会影响到其他像素之间的解包裹。图解如下（需要注意的是时间解包裹是P到Q的过程，Q到R的过程是空间解包裹，以免引起误解）：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzE1Mjk1NTY1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

上图主要说明了该方法的概念，即将一堆的二维相位图组装以形成3-D相位分布，2pi的不连续计算公式为

![20190924163542537.png][]

![\\phi \\left ( m,n,t \\right )][phi _left _ m_n_t _right]表示在第t张相位图中像素（m，n）处的相位，可以看出该公式是与时间t有关的。

如果在没有噪声的情况下，可以沿着该3D图的任何路径展开，实际上相位图是包含有高噪声的边界和区域的，那么2pi的相位错误就会出现。如果沿着平行与时间轴的路径进行解包裹就可以避免这些问题。

![20190924164614172.png][]

从t=0时刻到t=s时刻的2pi不连续的总和为

![20190924164745297.png][]

从![\\phi \\left ( m,n,t \\right )][phi _left _ m_n_t _right]中减去![20190924164840461.png][]，就可以得到Q点的相位。

需要说明的是这里必须满足采样定理？

因为该理论主要是用于干涉条纹的解包裹中，但必须有时间变化的相位步进操作，即t0时刻某点相位为0，t1时刻该店相位为pi/2,以此类推，按不同时刻相位不同，如果是结果光中的相移法，则可以直接满足该条件。

以四步相移为例，则有：

![20190924171435327.png][]

简化后为

![20190924171535953.png][]

上式中

![20190924171613692.png][]

最后可得

![20190924171645950.png][]

推导过程为：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzE1Mjk1NTY1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

最后得

![20190924171720867.png][]

最后推导如下：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzE1Mjk1NTY1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

### 一句话总结算法的核心：他不存在P点到Q点的求解，始终是直接求解某点的相位值。 ###

在之前的博客中专门对相移法有过推导， 可以对比得知上述公式中多了时间t，而且解相公式也是不同于之前的公式。

如果有不同的理解，可以加QQ857467352交流。

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[phi_left _ i _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi%5Cleft%20%28%20i%20%5Cright%20%29
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