bagging减少方差variance，boosting减少偏差bias

忘是亡心i 2024-04-19 10:57 64阅读 0赞

## 1 variance和bias ##

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*  **准**：bias描述的是根据样本拟合出的模型的输出预测结果的期望与样本真实结果的差距，简单讲，就是在样本上拟合的好不好。要想在bias上表现好，low bias，就得复杂化模型，增加模型的参数，但这样容易过拟合 (overfitting)，过拟合对应上图是high variance，点很分散。low bias对应就是点都打在靶心附近，所以瞄的是准的，但手不一定稳。
 *  **确**：varience描述的是样本上训练出来的模型在测试集上的表现，要想在variance上表现好，low varience，就要简化模型，减少模型的参数，但这样容易欠拟合(unfitting)，欠拟合对应上图是high bias，点偏离中心。low variance对应就是点都打的很集中，但不一定是靶心附近，手很稳，但是瞄的不准。

## 2 bagging为何减少variance？ ##

Bagging对样本重采样（有放回），对每一重采样得到的子样本集训练一个模型，最后取平均。由于子样本集的相似性以及使用的是同种模型，因此各模型有近似相等的bias和variance。

为了方便进行讲解，不妨认为各个子模型的bias和variance完全相等。因此，所以bagging后的bias和单个子模型的接近，一般来说不能显著降低bias。另一方面，若各子模型独立，则有，此时可以显著降低variance。若各子模型完全相同，则，此时不会降低variance。bagging方法得到的各子模型是有一定相关性的，属于上面两个极端状况的中间态，因此可以一定程度降低variance。

为了进一步降低variance，Random forest通过随机选取变量子集做拟合的方式de-correlated了各子模型（树），使得variance进一步降低。用公式可以一目了然：设有i.d.（同分布）的n个随机变量，方差记为，两两变量之间的平均相关性为，则的方差为，bagging降低的是第二项，random forest是同时降低两项。详见ESL p588公式15.1）

> 如何理解各个子模型是不独立的？
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> 可能有的读者认为bagging的重采样的子模型之间是独立的，理由是：每一次抽样都与前一次抽样无关，这样bagging的子模型当然是独立的，这里的误区是认为对训练集（总体的子集）进行子抽样就是描述模型的随机性。
> 
> 正确的理解应该是：模型可以看做n个独立同分布随机样本的函数f(X1,X2,...,Xn)，其中X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量。如果我们预先设置好，取X1,X2,..,Xn训第一个模型，Xn+1,Xn+2,X2n训第二个模型，那么这两个模型是两组不重叠的独立随机变量集合的函数，因此是独立的。但现在bagging相当于从（1,2,...,m）里抽n个数出来，形成模型f(Xk1,Xk2,...Xkn)，那么这样选取的随机变量集合有交叠，就会导致两个模型是两组重叠的随机变量集合的函数，从而不独立。可以考虑一个极端的情形，样本总量是n+1个，每一次重采样取n个样本，那么任意两次的样本都几乎一样，模型也因此几乎一样。

## 3 boosting为何减少bias？ ##

boosting从优化角度来看，是用forward-stagewise这种贪心法去最小化损失函数。例如，常见的AdaBoost即等价于用这种方法最小化exponential loss。所谓forward-stagewise，就是在迭代的第n步，求解新的子模型f(x)及步长a（或者叫组合系数），来最小化。因此boosting是在sequential地最小化损失函数，其bias自然逐步下降。但由于是采取这种sequential、adaptive的策略，各子模型之间是强相关的，于是子模型之和并不能显著降低variance。所以说boosting主要还是靠降低bias来提升预测精度。

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