TwoSum 相关问题思路总结

约定不等于承诺〃 2024-04-19 08:33 87阅读 0赞

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作者 | P.yh

来源 | 五分钟学算法

## 概述 ##

TwoSum 作为 LeetCode 的第一题存在，想必大家应该对其并不陌生。如果仅仅是看这道题目本身，并不难，思想也特别的简单。

但是关键问题在于，由这个问题演变出来的题目和思路比较多，而且存在着不少的细节问题，**今天我们就借着具体的题目和思路来看看 TwoSum 还可以怎么玩？**

## 两种思路 ##

对于 TwoSum 类问题，总的来说有两种大的方向，一种方向是借助 Hash 表，另外一种是借助排序，然后利用相向双指针来解决问题，我们分别来看看：

### 1、Hash 表的做法 ###

public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
        Map<Integer, Integer> remainValues = new HashMap<>();
    
        for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
            if (remainValues.containsKey(target - nums[i])) {
                int anotherIndex = remainValues.get(target - nums[i]);
    
                return new int[] {i, anotherIndex};
            }
    
            remainValues.put(nums[i], i);
        }
    
        return new int[] {-1, -1};
    }

思路很简单，遍历数组，每访问一个元素，先判断其配对的元素是否在 Hash 表中，如果在的话就说明我们找到了答案，将其输出即可，如果没有找到，就将当前的元素放入 Hash 表中，以方便后面的元素来配对。

这里因为题目要求输出元素在数组中的位置，所以用 HashMap 来存储访问过的元素和其对应的 index。

我们再来分析一下其时空复杂度。

*  由于使用了 Hash 表，**空间复杂度是 O(n)** 的，另外就是最差的情况，数组中的每个元素都要遍历到，因此**时间复杂度也是 O(n)**。
 *  从时间上面来看，这个算法肯定是最优的，这很好理解，你要在数组中寻找配对的答案，数组当中的数肯定都需要看一遍。

### 2、排序加双指针的思路 ###

public int[] twoSum(int[] n, int t) {
        if (n == null || n.length == 0) {
            return new int[0];
        }
    
        Arrays.sort(n);
    
        int[] result = new int[2];
    
        int l = 0, r = n.length - 1;
        while (l < r) {
            if (n[l] + n[r] == t) {
                result[0] = n[l];
                result[1] = n[r];
                return result;
            } else if (n[l] + n[r] < t) {
                l++;
            } else {
                r--;
            }
        }
    
        return new int[0];
    }

这种思路的前提是题目没有要求我们必须输出元素在数组中的位置，因为排序会改变元素在数组中的位置，这里，我们输出元素本身即可。

这里的思路就是一头一尾两个指针。

*  每次判断的时候，我们将左右两个指针指向的元素加起来的和与我们要找的 target 对比，如果比 target 小，也就是说明如果在左指针不变的情况下，左指针加上左右指针中间的任意一个元素都会比 target 小，这也说明左指针不可能是我们要找的答案，因此向右移动左指针。
 *  如果是加起来和我们要找的 target 对比，比 target 大，分析类似，这时需要将右指针向左移动。

我们来看看这里的时间复杂度，因为做了排序这么一个操作，其时间复杂度就会是 **O(nlgn)** ，对于空间复杂度来说，这里并没有使用额外的空间，因此空间复杂度是常数级的 **O(1)**。

两种方法都讲完了，如果你有一些编程经验的话，相信这些东西不难理解。

你有没有想过这两种方法分别比较适合什么样的情况呢，基于 TwoSum 问题，思考下面的变化：

*  如果题目要求输出所有可能的答案，该怎么处理？
 *  如果题目要求输出所有可能的答案，并且数组中有重复元素该怎么处理？
 *  如果题目要求找到比 target 小/大 的配对该怎么处理？
 *  如果要找出两数之差等于 target 的配对，该如何进行？
 *  TwoSum 的解题思路是否可以拓展到 TreeSum 或者更多的配对？

上面的问题可能有些你曾想过，有些没有，那么就让我们带着上述的问题来看看具体的例题，熟练地将上述两种方法应用到实际的题目中去。

## 变形题目分析 ##

### 题目描述 ###

题目还是 TwoSum，但是这时需要你返回所有可能的情况（不重复），并且数组中允许重复元素的出现。

### 题目解析 ###

首先我们需要思考的是，使用之前提到的两种方法中的哪一种会比较好。

是不是两种方法都可以，你分析一下会发现其实两种方法都是可行的，和之前的 TwoSum 不一样的是，**这时当找到答案后，需要继续寻找，而不是直接返回**。

但是由于数组中存在重复元素，因此两种方法里面都需要考虑去重的机制。

*  对于 Hash 表的方法来说，其实你并不清楚之前是否添加过相同的答案，因此我们考虑使用一个集合去存储答案，保证答案的不重复性；
 *  对于排序的方法来说，去重的方式有所不同，排完序后，相同的元素会挨在一起，对于之前考虑过的元素，我们只需要略过就行，指针的移动很好地保证了这一点。

这里就展示排序实现的方法：

### 代码实现 ###

public List<int[]> twoSum6(int[] nums, int target) {
        if (nums == null || nums.length < 2)
            return 0;
    
        Arrays.sort(nums);
    
        List<int[]> results = new ArrayList<>();
    
        int left = 0, right = nums.length - 1;
    
        while (left < right) {
            int v = nums[left] + nums[right];
            if (v == target) {
                int[] result = {nums[left], nums[right]};
                results.add(result);
                left++; right--;
    
                while (left < right && nums[right] == nums[right + 1]) {
                    right--;
                }
    
                while (left < right && nums[left] == nums[left - 1]){
                    left++;
                }
            } else if (v > target) {
                right--;
            } else {
                left++;
            }
        }
    
        return results;
    }

### 题目描述 ###

题目来源于 LeetCode 上第 1099 号问题： 小于 K 的两数之和。

给你一个整数数组 `A` 和一个整数 `K`，请在该数组中找出两个元素，使它们的和小于 `K` 但尽可能地接近 `K`，**返回这两个元素的和**。

如不存在这样的两个元素，请返回 `-1`。

**示例 1：**

输入：A = [34,23,1,24,75,33,54,8], K = 60
    输出：58
    解释：
    34 和 24 相加得到 58，58 小于 60，满足题意。

**示例 2：**

输入：A = [10,20,30], K = 15
    输出：-1
    解释：
    我们无法找到和小于 15 的两个元素。

**提示：**

1.  `1 <= A.length <= 100`
2.  `1 <= A[i] <= 1000`
3.  `1 <= K <= 2000`

### 题目解析 ###

传统的 TwoSum 都是要你找到等于 target 的配对，那么如果说要找到 大于/小于 target 的配对呢？

这个时候 Hash 表的方法就很难 work 了，因为 Hash 表比较适合处理 **等于** 的情况 ！

那么就需要考虑如何使用排序加双指针的方法来解决这个问题，**这里，题目是要求小于 target 的数量**，我们还是按照之前的分析思路来分析。

如果说当前左右指针指向的元素的和大于或者等于 target，那么势必我们需要向左移动右指针，让两个元素的和尽可能地小，当前头尾指针指向的元素和小于 target 的时候，这时我们需要记录答案，虽然这道题目里面没提，如果说要记录配对数量的话，这时并不是记录一个答案，如果说当前左指针固定，除了当前的右指针指向的元素，在左指针和右指针之间的数都是满足要求的，我们只需要加上这个区间的数量即可，当然如果数组中存在重复元素，那么我们就需要按照之前的套路遍历去重了，当然对于这道题来说，我们选择满足条件的最大值即可。

### 代码实现 ###

public int twoSumLessThanK(int[] A, int K) {
        if (A == null || A.length == 0) {
            return -1;
        }
    
        Arrays.sort(A);
    
        int l = 0, r = A.length - 1;
        int result = Integer.MIN_VALUE;
    
        while (l < r) {
            if (A[l] + A[r] >= K) {
                r--;
            } else {
                result = Math.max(result, A[l] + A[r]);
                l++;
            }
        }
    
        return result == Integer.MIN_VALUE ? -1 : result;
    }

### 题目描述 ###

题目来源于 LeetCode 上第 170 号问题：两数之和 III - 数据结构设计。

设计并实现一个 TwoSum 的类，使该类需要支持 `add` 和 `find` 的操作。

`add` 操作 - 对内部数据结构增加一个数。`find` 操作 - 寻找内部数据结构中是否存在一对整数，使得两数之和与给定的数相等。

**示例 1:**

add(1); add(3); add(5);
    find(4) -> true
    find(7) -> false

**示例 2:**

add(3); add(1); add(2);
    find(3) -> true
    find(6) -> false

### 题目解析 ###

题目要求让你实现一个数据结构，这个结构支持 “**添加元素**” 和 “**TwoSum**” 两个功能。

这时你需要综合两种方法的优劣性来选择。

首先是 Hash 表的方法，如果使用这个方法，我们不需要考虑太多的东西，元素来了直接扔进数组就行，也就是说 **添加元素** 操作只需要 O(1) 的时间复杂度就可以完成，但是 **TwoSum** 的完成需要额外 O(n) 的空间；

再来看看排序的方法，因为这里插入元素我们需要保证元素有序，因此 **添加元素** 需要 O(n) 的时间，但是这里 **TwoSum** 操作并不需要额外空间，综合来考虑，因为 **添加元素** 和 **TwoSum** 操作都会比较频繁，因此 Hash 表的方法在时间上面更优。

### 代码实现 ###

private Map<Integer, Integer> elements;
    private int MAX_VALUE = Integer.MIN_VALUE;
    private int MIN_VALUE = Integer.MAX_VALUE;
    /** Initialize your data structure here. */
    public TwoSum() {
        elements = new HashMap<>();
    }
    
    /** Add the number to an internal data structure.. */
    public void add(int number) {
        elements.put(number, elements.getOrDefault(number, 0) + 1);
        MAX_VALUE = Math.max(MAX_VALUE, number);
        MIN_VALUE = Math.min(MIN_VALUE, number);
    }
    
    /** Find if there exists any pair of numbers which sum is equal to the value. */
    public boolean find(int value) {
        if (value < 2 * MIN_VALUE || value > 2 * MAX_VALUE) {
            return false;
        }
    
        for (int i : elements.keySet()) {
            if (i * 2 == value && elements.get(i) >= 2) {
                return true;
            } else if (i * 2 != value && elements.containsKey(value - i)) {
                return true;
            }
        }
    
        return false;
    }

### 题目描述 ###

题目来源于 LeetCode 上第 15 号问题： 三数之和。

给定一个包含 *n* 个整数的数组 `nums`，判断 `nums` 中是否存在三个元素 *a，b，c ，*使得 *a + b + c =* 0 ？找出所有满足条件且不重复的三元组。

**注意：**答案中不可以包含重复的三元组。

例如, 给定数组 nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]，
    满足要求的三元组集合为：
    [
      [-1, 0, 1],
      [-1, -1, 2]
    ]

### 题目解析 ###

三数之和，Hash 表以及排序的思路都是可行的。

但是这里涉及到去重，这里比较推荐的做法是排序加双指针。

思路其实比较直观，确定一个元素，然后去找另外两个元素，这么一来就把 3Sum 转变成了 2Sum 的问题，这里我两个方法都实现了一下，你可以进行参考。

### 代码实现 ###

**排序加双指针**

// sort + two pointers
    public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length < 3) {
            return new ArrayList<>();
        }
    
        Arrays.sort(nums);
    
        List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < nums.length - 2; ++i) {
            if ((i != 0) && (nums[i] == nums[i - 1])) {
                continue;
            }
    
            List<Integer> result = new ArrayList<>();
    
            twoSum(results, nums, i + 1, -nums[i]);
    
            result = null;
        }
    
        return results;
    }
    
    private void twoSum(List<List<Integer>> results,
                        int[] nums,
                        int startIndex,
                        int target) {        
        int left = startIndex, right = nums.length - 1;
        while (left < right) {
            if (nums[left] + nums[right] > target) {
                right--;
            } else if (nums[left] + nums[right] < target) {
                left++;
            } else {
                List<Integer> result = new ArrayList<>();
    
                result.add(-target);
                result.add(nums[left]);
                result.add(nums[right]);
    
                results.add(result);
    
                left++; right--;
    
                while ((left < right) && (nums[left - 1] == nums[left])) {
                    left++;
                }
    
                while ((right > left) && (nums[right + 1] == nums[right])) {
                    right--;
                }
            }
        }
    }

**哈希表**

// HashSet
    public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length < 3) {
            return new ArrayList<>();
        }
    
        Arrays.sort(nums);
    
        Set<List<Integer>> resultsSet = new HashSet<>();
        List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    
        for (int i = 0; i < nums.length - 2; ++i) {
            if ((i != 0) && (nums[i - 1] == nums[i])) {
                continue;
            }
    
            Set<Integer> existedValue = new HashSet<>();
    
            for (int j = i + 1; j < nums.length; ++j) {
                if (!existedValue.contains(nums[j])) {
                    existedValue.add(-nums[j] - nums[i]);
                } else {
                    List<Integer> result = new ArrayList<>();
    
                    Collections.addAll(result, nums[i], -nums[j] - nums[i], nums[j]);
    
                    resultsSet.add(result);
                }
            }
    
            existedValue = null;
        }
    
        results.addAll(resultsSet);
    
        return results;
    }

### 题目描述 ###

题目来源于 LeetCode 上第 611 号问题：有效三角形的个数。

给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。

**示例 1:**

输入: [2,2,3,4]
    输出: 3
    解释:
    有效的组合是: 
    2,3,4 (使用第一个 2)
    2,3,4 (使用第二个 2)
    2,2,3

**注意:**

*  数组长度不超过1000。
 *  数组里整数的范围为 \[0, 1000\]。

### 题目解析 ###

题目要求选出三条边，使得这三条边能够构成三角形，咋眼看上去这道题貌似和 TwoSum 没啥关系。

但我们回顾一下中学时期学的东西，三边构成三角形的条件是 **任意两边之和大于第三边**，那是不是说我们需要把三条边都组合配对考虑一下？其实不用，我们可以得出下面的结论

a < b < c && a + b > c => 三角形

如果已知三条边的大小顺序，那么其实我们只需要比较一次即可。

你再看看这是不是我们熟悉的 TwoSum 变种问题 - **如果题目要求找到比 target 小/大 的配对该怎么处理？**

这个时候我们从右往左选定 c ，然后使用 TwoSum 来找出 a 、b 即可，由于题目只要求输出个数，那么就按照之前讲的思路，直接相加即可。

### 代码实现 ###

public int triangleCount(int[] S) {
        if (S == null || S.length == 0) {
            return 0;
        }
    
        Arrays.sort(S);
    
        int result = 0;
    
        for (int i = S.length - 1; i >= 2; --i) {
            int l = 0, r = i - 1;
            while (l < r) {
                if (S[i] < S[l] + S[r]) {  // S[i] < S[l] + S[r] && S[i] > S[r] > S[l]
                    result += r - l;  //  直接加上可能的个数
                    r--;
                } else {
                    l++;
                }
            }
        }
    
        return result;
    }

### 题目描述 ###

题目来源于 LeetCode 上第 18 号问题： 四数之和。

给定一个包含 *n* 个整数的数组 `nums` 和一个目标值 `target`，判断 `nums` 中是否存在四个元素 *a*，*b*，*c* 和 *d* ，使得 *a* \+ *b* \+ *c* \+ *d* 的值与 `target` 相等？找出所有满足条件且不重复的四元组。

**注意：**

答案中不可以包含重复的四元组。

**示例：**

给定数组 nums = [1, 0, -1, 0, -2, 2]，和 target = 0。
    
    满足要求的四元组集合为：
    [
      [-1,  0, 0, 1],
      [-2, -1, 1, 2],
      [-2,  0, 0, 2]
    ]

### 题目分析 ###

4Sum 的思路和 3Sum 的思路是一样的，只不过这时我们需要先将其转换成 3Sum 来处理，其实就是比 3Sum 多了一次选择。

### 代码实现 ###

public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
        if (nums.length < 4) {
            return new ArrayList<>();
        }
    
        Arrays.sort(nums);
    
        List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    
        for (int i = 0; i < nums.length - 3; ++i) {
            if (i != 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
                continue;
            }
    
            List<List<Integer>> subResults = threeSum(nums, i + 1, target - nums[i]);
    
            for (List<Integer> res : subResults) {
                res.add(nums[i]);
                results.add(res);
            }
        }
    
        return results;
    }
    
    private List<List<Integer>> threeSum(int[] nums, int start, int target) {
        List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    
        for (int i = start; i < nums.length - 2; ++i) {
            if (i != start && nums[i] == nums[i - 1]) {
                continue;
            }
    
            List<List<Integer>> res = twoSum(nums, i + 1, target - nums[i]);
    
            for (List<Integer> r : res) {
                r.add(nums[i]);
                results.add(r);
            }
        }
    
        return results;
    }
    
    private List<List<Integer>> twoSum(int[] nums, int start, int target) {
        List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    
        int l = start, r = nums.length - 1;
        while (l < r) {
            if (nums[l] + nums[r] < target) {
                l++;
            } else if (nums[l] + nums[r] > target) {
                r--;
            } else {
                List<Integer> result = new ArrayList<>();
                result.add(nums[l]); result.add(nums[r]);
                results.add(result);
    
                r--; l++;
                while (l < r && nums[r] == nums[r - 1]) {
                    r--;
                }
    
                while (l < r && nums[l] == nums[l + 1]) {
                    l++;
                }
            }
        }
    
        return results;
    }

### 题目描述 ###

给定一个 target，求出两数之差等于 target 的情况。

### 题目解析 ###

如果使用 Hash 表的做法，对于传统的 TwoSum，我们找到的答案是满足等式:

num1 + num2 = target

因此这个时候判断的时候，我们只需要判断 `target - nums` 在不在 Hash 表中即可，对于两数之差的话，我们找到的答案是满足等式：

num1 - num2 = target or num2 - num1 = target

在这种情况下，我们需要判断 `target + num` 以及 `num - target` 即可，也就是相比之前，判断条件不同且多了一个。

如果是使用排序加双指针的方法呢？这其实是个打破思路局限的很好例子，这个时候我们需要用到同向双指针了，两个指针均从左向右移动，一前一后，用右边的减去左边的差值来和 target 做比较，如果小了，移动右指针，大了，移动左指针，等于，输出答案。

### 代码实现 ###

public int[] twoDiff(int[] n, int t) {
        if (n == null || n.length == 0) {
            return new int[0];
        }
    
        Arrays.sort(n);
    
        int[] result = new int[2];
    
        int l = 0, r = 1;
        while (r < n.length) {
            if (l == r) {
                r++;
            }
    
            if (n[r] - n[l] == t) {
                result[0] = n[l];
                result[1] = n[r];
                return result;
            } else if (n[r] - n[l] < t) {
                r++;
            } else {
                l++;
            }
        }
    
        return new int[0];
    }

## 总结 ##

TwoSum 相关的问题就分析到这里，非常有趣的一点是，**TwoSum 不仅可以扩展成 3Sum，4Sum，它也可以扩展为 KSum，** 但是这里就需要用到动态规划的知识了，暂不在这里讨论。希望这次分享的内容对你有所帮助。

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