数据挖掘（6）聚类分析

不念不忘少年蓝@ 2024-04-17 13:35 103阅读 0赞

## 一、什么是聚类分析 ##

### 1.1概述 ###

1.  无指导的，数据集中类别未知
2.  类的特征：
    
     *  类不是事先给定的，而是根据数据的**相似性、距离**划分的
     *  聚类的数目和结构都没有事先假定。
3.  挖掘有价值的客户:
    
     *  找到客户的黄金客户
     *  ATM的安装位置

### 1.2区别· ###

![54efe238543c46a995c986975a9d4346.png][]

## 二、距离和相似系数 ##

### 2.1概述 ###

1.  原则: 组内数据有较高相似度、不同组数据不相似
2.  相似性的度量(统计学角度):
    
    1.  Q型聚类:对样本聚类(行聚类)
    2.  R型聚类:对变量聚类(列聚类)
    3.  ![7e5d1a625b2848c49bb7e84a29793aa4.png][]

### 2.2Q型聚类(样本聚类、行聚类) ###

![b6086bace48b41ddb8cdf9cac09ca154.png][]

#### 1.样本资料矩阵: ####

![5d9ad6c13ac24ce38cfe493abc045539.png][]

#### 2.定义距离的准则: ####

### ![43a90755c9c34d99b2a8bf6f3b655d32.png][] ###

#### 3.变量的类型 ####

1.  间隔尺度变量(数值型变量):可加可比
2.  有序尺度变量(叙述型变量):不可加可比
3.  名义尺度变量(名义型变量):不可加不可比

#### 4.间隔尺度变量(数值型变量)![5c906cf49eee4b4ba5a55fb78b62a486.png][] ####

> 1.  缺点:数据集中存在变量取值范围相差十分悬殊，会造成**大数吃小数**现象。
> 2.  数值与指标**量纲**有关

度量值的标准化:

*  将初始测量值转换为无单位变量。
 *  常用**零均值规范化**

![850b3535838a4604adb252a698615dd2.png][]

特例:比例数值变量![2baba149e1a44d5f893563adbd7364fb.png][]

#### 5.有序尺度变量 ####

1.  只可以不可加:比如各种排名、等级
2.  步骤![b46445505d7645e19e40768e5af0c2cc.png][]

#### 6.名义尺度变量(符号变量) ####

1.  两种类型
    
    1.  二元变量:
        
         *  只有两个取值变量:如男女、开关、01
    2.  名义变量:
        
         *  二元变量推广:如颜色变量(R,G,B)
2.  二元变量计算:
    
    1.  差异矩阵法:![f28ded307c1249159a172ea5afa85f42.png][]
    2.  **恒定的相似度**
        
        1.  对称的二元变量：取值01内容同等价值、相同权值
            
             *  如:男女
        2.  简单匹配系数
            
             *  ![d\_\{ij\}=\\frac\{r+s\}\{q+r+s+t\}][d_ij_frac_r_s_q_r_s_t]
             *  取值不一样(01或10)的个数在所有变量的比重
    3.  **非恒定的相似度**
        
        1.  非对称二元变量:取值01内容重要程度不同
            
             *  如:病毒阴阳性
        2.  Jaccard相关系数
            
             *  ![d\_\{ij\}=\\frac\{r+s\}\{q+r+s\}][d_ij_frac_r_s_q_r_s]
             *  取值不一样(01或10)的个数在所有变量(除去取值为00)的比重
    4.  相似度系数例子(小题计算):![f481abbc91dc4fe3a263a037bf10f10d.png][]
    5.  名义变量计算(最常用):![be910a195e0c4b249dc4527c1cd6242f.png][]![683336ed2f07437e869d5795e06a1049.png][]

#### 7.混合数据类型 ####

1.  现实数据库中包含多类型的数据
2.  如何计算？
    
    1.  将变量按类型分组，对每种类型的变量单独聚类分析，但实际中，往往不可行。
    2.  将所有的变量一起处理，只进行一次聚类分析。
3.  相似度计算

![25c907e6d9b14903838a50551bf0b296.png][]

![b5a7c10a7ced4395b99457d676a8ddb2.png][]

![97e4b1d57b34453aac2d6c41102a49ea.png][]

### 2.3R型聚类(变量聚类、列聚类) ###

1.  #### 相似系数: ####
    
     *  夹角余弦
     *  相关系数
2.  #### 夹角余弦 ####
    
     *  值越大越好
     *  ![4233d7ea39374aa7a4c4ae3546782a37.png][]
3.  #### 变量间相似系数![46eaaf09a7364c3da885d6f36e5721d0.png][] ####
4.  #### 相似系数![f78aa05293334349af778d8804ed2ed9.png][] ####
5.  #### 相似矩阵![804889d3ae5e4a1a8b98fb3abee9dc3e.png][] ####

## 三、 类的定义和类间距离 ##

### 3.1类的定义 ###

1.  定义1:任意元素![x\_i,x\_j][x_i_x_j]，间距离![d\_\{ij\}][d_ij]满足:![d\_\{ij\}\\leq h][d_ij_leq h]
    
    1.  适合:团簇状
    2.  ![f83f6c58a91f45b4b506e5b04acaf083.png][]
2.  定义2:任意元素![x\_i,x\_j][x_i_x_j],间距离![d\_\{ij\}][d_ij]满足![\\frac1\{k-1\}\\sum\_\{x\_j\\in S\}d\_\{ij\}\\leq h][frac1_k-1_sum_x_j_in S_d_ij_leq h](类内平均距离)
    
    1.  适合:团簇状
3.  定义3:对于任意元素![x\_i\\in S][x_i_in S],存在![x\_j\\in S][x_j_in S]使得其满足![d\_\{ij\}\\leq h][d_ij_leq h](不要求任意两个元素)
    
    1.  适合:长条状
    2.  ![48de490f8a58461f957d45624fa8b609.png][]

### 3.2类间距离 ###

1.  最近距离
    
    1.  ![w\_k][w_k]与![w\_1][w_1]最近距离为![D\_\{kl\}=min\[d\_\{ij\}\]][D_kl_min_d_ij]
    2.  ![w\_l][w_l]是![w\_q][w_q]和![w\_p][w_p]，合并得到的![D\_\{kl\}=\\min\[D\_\{kp\},D\_\{kq\}\]][D_kl_min_D_kp_D_kq]
    3.  实际中不多见，避免极大值影响![36e21d866e504ca9a31539585a9505c0.png][]
    4.  例子
        
        1.  计算类间距离，然后将最小的两个进行合并![5d9b746634ce417a994299c840d29ca1.png][]
        2.  ![1ab4399acd844cb092b6888f83113793.png][]![eq][]
2.  最远距离
    
    1.  ![w\_k][w_k]与![w\_1][w_1]最远距离为![D\_\{kl\}=max\[d\_\{ij\}\]][D_kl_max_d_ij]
    2.  ![w\_l][w_l]是![w\_q][w_q]和![w\_p][w_p]，合并得到的![D\_\{kl\}=\\max\[D\_\{kp\},D\_\{kq\}\]][D_kl_max_D_kp_D_kq]
    3.  可能被极大值扭曲，删除后再聚类![2d8d4b85f72641f2a97cc4838bb37187.png][]
    4.  例题:与上面的类似，每次选取距离最小的，合并的时候取的是max
3.  平均距离
    
    1.  ![d127a11c6042467d95b6ca0dc00961e0.png][]
4.  中间距离
    
    1.  ![57e9799562b44cdebe49f128fee5ef0e.png][]
5.  重心距离
    
    1.  一个类空间的位置用重心表示，两个类重心之间距离为二者的距离![14369207bae049858589e8101aaed67c.png][]
    2.  对异常值不敏感，结果能稳定

## 四、基于划分的聚类方法 ##

### 4.1划分方法 ###

1.  将n个对象划分成k类，且满足:
    
     *  每个聚类内至少包含一个对象
     *  每个对象必须属于一个类(模糊划分计划可以放宽要求)
2.  划分方法:
    
    1.  k-均值:每个聚类用该聚类中对象的平均值表示
    2.  k-中心点:每个聚类用接近聚类重心的一个对象(真实存在的点)表示

### 4.2k-均值聚类算法 ###

1.  用**类均值**表示
2.  不适合处理**离散型属性**，适合处理**连续型属性**
3.  ##### 算法流程:![2c7972e6fd994d0e9d6d9b67b35c8fa4.png][] #####
    
    1.  选取聚类中心:随机从n个数据选择k个对象作为初始聚类中心
    2.  对剩余的每个对象，根据各个聚类中心的**距离**，将其赋给最近的聚类。
    3.  重新计算每个聚类的平均值(中心)
    4.  不断重复，直到准则函数收敛(减小)
4.  收敛准则函数:误差平方和最小![b0b4e9880abe447c9f7d33d2c1bd0fea.png][]
5.  缺点:
    
    1.  局部最优，不是全局最优
    2.  结果与k的取值有关
    3.  不适合发现大小很不相同的簇、凹状的簇  
        \*![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-AwfktfUP-1641719199744)(/uploads/upload\_98816f0f833feeb2da5536e0c31765d5.png =400x)\]][img-AwfktfUP-1641719199744_uploads_upload_98816f0f833feeb2da5536e0c31765d5.png _400x]
    4.  只有在簇的平均值被定义的情况下才能使用，不适合有类属性的数据。
    5.  对噪声、异常点敏感。
6.  示意图例子：![d9123d6c40ac483baffe8ec47da052ea.png][]![e64e383fe6d54d52a324242fda746636.png][]
7.  ![78051e68a94c46278ddf189e1bef444f.png][]

### 4.3k-中心点聚类算法 ###

1.  k-中心点与k-均值算法区别
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th>簇中心</th> 
       <th>评价准则</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td>k-均值</td> 
       <td>簇中对象均值(可以是虚点)</td> 
       <td>误差平方和</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td>k-中心点</td> 
       <td>接近簇中心的一个对象表示(实际存在的点)</td> 
       <td> <p>绝对误差</p> </td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
2.  基本策略
    
    1.  随意选择一个代表对象作为中心点，将剩余对象按最小距离划分进簇中。
    2.  重复利用非中心对象代替中心对象，若改善聚类的整体距离，则进行替代。
    3.  用代价函数进行估算质量:![C\_\{pjo\}=d(i,p)-d(j,p)][C_pjo_d_i_p_-d_j_p]
3.  替代的四种情况

*  如何判断非代表对象![O\_\{random\}][O_random]是否能替代当前代表对象![O\_j][O_j],需要对每个非中心点P考虑
 *  替换的总代价:![\{CC\}\_\{jo\}=\\sum\_\{j=1\}^nC\_\{pjo\}][CC_jo_sum_j_1_nC_pjo]
 *  **若总代价为负，则可以替代**

![dc8ec82b128c413ea7e8451cff8e3fbe.png][]

![4ab9e74349234c34911a9f1a3c6646a5.png][]

![322412f503a347828466cd1c704717ee.png][]

![b11f2a17632d4028a8f58c4f3b6d6500.png][]

4.算法步骤

1.  选取聚类中心:随机从n个数据对象选择k个
2.  循环3-5，知道聚类不发生变化
3.  对剩余的每个对象，根据各个聚类中心的**距离**，将其划分给最近的聚类。
4.  选择任意非中心对象![O\_\{random\}][O_random]计算与中心对象![O\_j][O_j]交换的成本S。
5.  若成本S为负，则交换中心对象。

## 五、基于层次的聚类方法 ##

### 5.1 总述 ###

1.  给定的数据对象集合进行层次分解，根据层次分解的方式，层次的方法被分为凝聚、分裂。![84170751493e4e7cbac1514be62758b0.png][]
2.  凝聚层次法(agnes算法)
    
     *  自底向上
     *  一开始将每个对象作为单独的一组，然后**合并**相近的组，直到合为一组或到达终止条件
3.  分裂层次法(dinan算法)
    
     *  自底向下
     *  所有对象置于一个簇，在迭代的每一步，一个簇被**分裂**为更下的簇，直到每个对象单独为一个簇或到达某个终止条件
4.  计算距离方法

![22b4f1b767d54b4d83f8a40c5a0c56bc.png][]

### 5.2agnes算法 ###

1.  步骤:
    
    1.  每个对象当做一个初始簇
    2.  repeant 3-4
    3.  根据两个簇中最近数据点找到最近的两个簇
    4.  合并两个簇，生成新的簇集合
    5.  until 达到定义的簇的数目
2.  例子![ddc580995ef74f96b34c66ceb38157cd.png][]
3.  特点:
    
     *  算法简单，合并会出现问题：一旦合并就不能撤销，可能会对后续操作产生影响。
     *  复杂度比较大O(n^2)

### 5.3diana算法 ###

1.  簇的直径:一个簇中的任意两个数据点的距离中的最大值
2.  平均相异度(平均距离):![b2cd7d9b0d624cd39285796bf7e19bf8.png][]
3.  算法步骤
    
        将所有对象当做一个初始簇
        for(int i = 1; i <= k; i++){
            在所以簇中挑选出最大直径的簇C
            找出C中与其他点平近距离最大的一个点p放入splinter group,剩余点放入old party
            Repeat
                在old party中找出到splinter group比到old party更近的点，加入splinter group
            Until 没有新的点被分到splinter group
            splinter group 与 old party 就被分解为两个新的簇
        }
4.  例题![cc8cfb6bc5f446a2bef81d4d6a08f615.png][]

## 六、 基于密度的聚类方法 ##

### 6.1概述 ###

1.  基于密度聚类方法
    
     *  只要一个区域中点的密度(对象、数据点的数目)超过阈值，就将其加到与之相近的聚类中
2.  可以过滤噪声、孤立点、发现任意形状的簇
3.  代表算法:**Dbscan**、Optics、Denclue

![dc24498c85a94c6ea18d09062c9e4318.png][]

### ![f7084ddd9f6c4ace930910f043ba6acf.png][] ###

### ![e0e38a636a1f448598515c0fca8e0af4.png][] ###

### ![3c8a62bc2ca948c68786a858914dd92d.png][]![14fb3b7c5274429eab2c85115162d933.png][] ###

[54efe238543c46a995c986975a9d4346.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/6c9537dba9ac493c9e3d5ca687fc95a2.png
[7e5d1a625b2848c49bb7e84a29793aa4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/9b267246fc6f414984f0001af04df445.png
[b6086bace48b41ddb8cdf9cac09ca154.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/07699ce6520d42f39700264b809b2053.png
[5d9ad6c13ac24ce38cfe493abc045539.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/32daee91c19448ea9bb0afcb627e1730.png
[43a90755c9c34d99b2a8bf6f3b655d32.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/ef7fbd61ffa8413a8a769c7b5e9b7da9.png
[5c906cf49eee4b4ba5a55fb78b62a486.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/28b8673409534b15ad37b24d3777b5e2.png
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[2baba149e1a44d5f893563adbd7364fb.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/2ad32e26354e4e64ab58df7f4e236878.png
[b46445505d7645e19e40768e5af0c2cc.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/81cf3f39a7e74d8692f19b72e55bb15c.png
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[d_ij_frac_r_s_q_r_s_t]: https://latex.csdn.net/eq?d_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7Br&plus;s%7D%7Bq&plus;r&plus;s&plus;t%7D
[d_ij_frac_r_s_q_r_s]: https://latex.csdn.net/eq?d_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7Br&plus;s%7D%7Bq&plus;r&plus;s%7D
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[97e4b1d57b34453aac2d6c41102a49ea.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/6ae92cda2e56426ead0914ab34b8af6b.png
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[46eaaf09a7364c3da885d6f36e5721d0.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/1f49f3630361496d8e70a5b4207935c8.png
[f78aa05293334349af778d8804ed2ed9.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/e1a2aab65bc9419883c4b40a050a7b3a.png
[804889d3ae5e4a1a8b98fb3abee9dc3e.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/8e68254cecde4f66a023f8a688b7d501.png
[x_i_x_j]: https://latex.csdn.net/eq?x_i%2Cx_j
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[d_ij_leq h]: https://latex.csdn.net/eq?d_%7Bij%7D%5Cleq%20h
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