python进阶之符号计算概述SymPy

矫情吗；* 2024-04-17 11:48 68阅读 0赞

#### 一、概述 ####

### 1.1SymPy简介 ###

> SymPy 是一个由 Python 编写的符号计算库，它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由 Python 写成，不依赖于外部库。SymPy 支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能

### 1.2SymPy具体应用 ###

从 **SymPy** 的 1.4 版本文档中，可以看出，SymPy 可以支持很多初等数学，高等数学，甚至研究生数学的符号计算。在初等数学和高等数学中，SymPy 可以支持的内容包括但不限于：

> 1.  基础计算（Basic Operations）；
> 2.  公式简化（Simplification）；
> 3.  微积分（Calculus）；
> 4.  解方程（Solver）；
> 5.  矩阵（Matrices）；
> 6.  几何（geometry）；
> 7.  级数（Series）；

在更多的数学领域中，SymPy 可以支持的内容包括但不限于：

> 1.  范畴论（Category Theory）；
> 2.  微分几何（Differential Geometry）；
> 3.  常微分方程（ODE）；
> 4.  偏微分方程（PDE）；
> 5.  傅立叶变换（Fourier Transform）；
> 6.  集合论（Set Theory）；
> 7.  逻辑计算（Logic Theory）。

### 1.3快速入门 ###

> ![0dbcb65d17204efea3b153b9b81cfdad.png][]
> 
>     sympy.exp(1), sympy.I, sympy.pi, sympy.oo

#### 新建符号 ####

在使用符号之前，先要利用 `symbols` 函数定义符号，语句是：

# 新建符号 x, y
    x, y = symbols('x y')

例子

from sympy import *
    x, y, z = symbols('x y z')
    y = expand((x + 1)**2) # expand() 是展开函数
    y

#### 将字符串转换为 SymPy 表达式 ####

利用 `sympify` 函数可以将字符串表达式转换为 SymPy 表达式。

> **注意**： `sympify` 是符号化，与另一个函数 `simplify` （化简）拼写相近，不要混淆。

str_expr = 'x**2 + 2*x + 1'
    expr = sympify(str_expr)
    expr

#### 转换为指定精度的数值解 ####

可以使用符号变量的 `evalf` 方法将其转换为指定精度的数值解，例如：

pi.evalf(3) # pi 保留 3 位有效数字

#### 利用 `lambdify` 函数将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可使用的函数 ####

如果进行简单的计算，使用 `subs` 和 `evalf` 是可行的，但要获得更高的精度，则需要使用更加有效的方法。例如，要保留小数点后 1000 位，则使用 SymPy 的速度会很慢。这时，您就需要使用 NumPy 库。

`lambdify` 函数的功能就是可以将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可以使用的函数，然后用户可以利用 NumPy 计算获得更高的精度。

import numpy
    a = numpy.pi / 3
    x = symbols('x')
    expr = sin(x)
    f = lambdify(x, expr, 'numpy')
    f(a)
    0.8660254037844386
    expr.subs(x, pi/3)

#### 多项式和有理函数化简 ####

下面介绍几个用于多项式或有理函数化简的函数。

#### `expand` (展开) ####

将多项式展开，使用 `expand` 函数。例如：

x_1 = symbols('x_1')
    expand((x_1 + 1)**2)

![x\_\{1\}^\{2\} + 2 x\_\{1\} + 1][x_1_2_ _ 2 x_1_ _ 1]

#### `factor` (因式分解) ####

用 `factor` 函数可以对多项式进行因式分解，例如：

factor(x**3 - x**2 + x - 1)

![\\left(x - 1\\right) \\left(x^\{2\} + 1\\right)][left_x - 1_right_ _left_x_2_ _ 1_right]

> 实际上，多项式的展开和因式分解是互逆过程，因此 `factor` 和 `expand` 也是相对的。

#### `collect` (合并同类项) ####

利用 `collect` 合并同类项，例如：

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
    collect(expr, x)

![x^\{3\} + x^\{2\} \\left(- z + 2\\right) + x \\left(x^\{2\} + 2 x + 2\\right) - 3][x_3_ _ x_2_ _left_- z _ 2_right_ _ x _left_x_2_ _ 2 x _ 2_right_ - 3]

#### `cancel` (有理分式化简) ####

消去分子分母的公因式使用 `cancel` 函数，例如：

cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))

![\\frac\{1\}\{x\} \\left(x + 1\\right)][frac_1_x_ _left_x _ 1_right]

#### `apart` (部分分式展开) ####

使用 `apart` 函数可以将分式展开，例如：

expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
    expr

![\\frac\{4 x^\{3\} + 21 x^\{2\} + 10 x + 12\}\{x^\{4\} + 5 x^\{3\} + 5 x^\{2\} + 4 x\}][frac_4 x_3_ _ 21 x_2_ _ 10 x _ 12_x_4_ _ 5 x_3_ _ 5 x_2_ _ 4 x]

apart(expr)

### ![\\frac\{2 x - 1\}\{x^\{2\} + x + 1\} - \\frac\{1\}\{x + 4\} + \\frac\{3\}\{x\}][frac_2 x - 1_x_2_ _ x _ 1_ - _frac_1_x _ 4_ _ _frac_3_x] ###

**数列求和：**

from sympy import *
    x, a = symbols("x a")
    Sum(x ** 2, (x, 1, a)).doit()

![64a27d5ec8ce9bb79b2ab249a1b84cf6.png][]

**数列求积：**

Product(x**2,(x, 1, a)).doit()

![0950cd682f6d61341242df95c349d9a5.png][]

### 输出运算结果的 `latex`代码 ###

使用 `latex` 函数可以输出运算结果的 `latex` 代码，例如：

print(latex(integrate(sqrt(x), x)))

\\frac\{2 x^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\}\{3\}

### 二、课堂实操 ###

### 2.1环境安装和版本检测 ###

import pylab as pl
    from sympy import *
    import numpy as np
    import sympy
    sympy.__version__

### 2.2**SymPy 的基础计算** ###

在数学中，基础的计算包括实数和复数的加减乘除，那么就需要在程序中描述出实数与复数。

#### 2.2.1经典公式 ####

著名的欧拉公式 ![e^\{ix\} +1= 0][e_ix_ _1_ 0]

from sympy import *
    E**(I*pi)+1

公式展开

init_printing(use_unicode=True)#公式显示
    
    #执行SymPy提供的 init printing()可以使用数学符号显示运算结果。
    #但它会将Python的内置对象也转换成LateX显示
    
    x = symbols("x")#变量名定义成符号
    #x = 2
    
    expand(E**(I*x))#公式展开

#### 2.2.2级数展开 ####

init_printing(use_unicode=True)#公式显示
    from sympy import *
    x = symbols("x")
    tmp = series(exp(I*x),x,0,9)
    print(latex(tmp))

![1 + i x - \\frac\{x^\{2\}\}\{2\} - \\frac\{i x^\{3\}\}\{6\} + \\frac\{x^\{4\}\}\{24\} + \\frac\{i x^\{5\}\}\{120\} - \\frac\{x^\{6\}\}\{720\} - \\frac\{i x^\{7\}\}\{5040\} + \\frac\{x^\{8\}\}\{40320\} + \\mathcal\{O\}\\left(x^\{9\}\\right)][1 _ i x - _frac_x_2_2_ - _frac_i x_3_6_ _ _frac_x_4_24_ _ _frac_i x_5_120_ - _frac_x_6_720_ - _frac_i x_7_5040_ _ _frac_x_8_40320_ _ _mathcal_O_left_x_9_right]

#### 2.2.3不定积分 ####

![\- x \\cos\{\\left (x \\right )\} + \\sin\{\\left (x \\right )\}][- x _cos_left _x _right _ _ _sin_left _x _right]

tmp=integrate(x*sin(x),x)
    tmp
    #print(latex(tmp))

#### 2.2.4定积分 ####

tmp=integrate(x*sin(x),(x,0,2*pi))
    tmp
    #print(latex(tmp))

![\\int\_\{0\}^\{2 \\pi\} x \\sin\{\\left (x \\right )\}\\, dx][int_0_2 _pi_ x _sin_left _x _right _ dx]

Integral(x*sin(x),(x,0,2*pi))

#### ![fb6ea47e03904cf9aacb453f2be683cc.png][] ####

from sympy import *
    oo = symbols("oo")
    x, y = symbols("x y")
    z = integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
    z.evalf(10)

#### 2.2.5导数 ####

diff(sin(x)*exp(x),x)
    #print(latex(diff(sin(x)*exp(x),x)))

![e^\{x\} \\sin\{\\left (x \\right )\} + e^\{x\} \\cos\{\\left (x \\right )\}][e_x_ _sin_left _x _right _ _ e_x_ _cos_left _x _right]

# 求 3 阶导数
    diff(x**4, x, 3)

#### ![24 x][] ####

![04dccf40cc6b4cfda49dc065c2c45703.png][]

#### 2.2.6微分 ####

t = Derivative(sin(x),x)
    t

#### 求解微分方程 ####

使用 `dsolve` 函数求解微分方程。首先需要建立符号函数变量：

f = symbols('f', cls = Function)
    diffeq = Eq(f(x).diff(x, 2) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))
    diffeq
    dsolve(diffeq, f(x))

> Eq 函数是 SymPy 中的一个重要函数，它可以用来创建或判断两个表达式是否相等。Eq 函数的一般用法是：
> 
> `Eq(左辺, 右辺)`
> 
> 其中，左辺和右辺是两个 SymPy 的表达式，它们可以是符号、数字、函数、多项式等。Eq 函数会返回一个 Eq 对象，它表示左辺和右辺之间的等式关系。

#### 2.2.7极限 ####

limit(sin(x)/x,x,0)

#### ![bb6d9f37cc154adebe2f52820b4a1c3c.png][] ####

limit(1/x, x, 0, '+')

#### 2.2.8解方程 ####

solve(x**2-4,x)

**解线性方程组：**

linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))

![6c8f4fdecd83f144b8570a9b365db0af.png][]

#### 2.2.9表达式变换和公式化简 ####

simplify((x+2)**2-(x-1)**2)

#### 2.2.10矩阵运算 ####

我们在进行矩阵运算之前，需要用 `Matrix` 构造矩阵，例如：

# 构造矩阵
    Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & -1\\\\3 & 4\\\\0 & 2\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ -1_3 _ 4_0 _ 2_end_matrix_right]

# 构造列向量
    Matrix([1, 2, 3])

![\\left\[\\begin\{matrix\}1\\\\2\\\\3\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1_2_3_end_matrix_right]

# 构造行向量
    Matrix([[1], [2], [3]]).T

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 2 & 3\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 2 _ 3_end_matrix_right]

> 矩阵转置用矩阵变量的 `T` 方法。

# 构造单位矩阵
    eye(4)

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 1 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 1 & 0\\\\0 & 0 & 0 & 1\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 0 _ 0 _ 0_0 _ 1 _ 0 _ 0_0 _ 0 _ 1 _ 0_0 _ 0 _ 0 _ 1_end_matrix_right]

# 构造零矩阵
    zeros(4)

![\\left\[\\begin\{matrix\}0 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 0 & 0\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_0 _ 0 _ 0 _ 0_0 _ 0 _ 0 _ 0_0 _ 0 _ 0 _ 0_0 _ 0 _ 0 _ 0_end_matrix_right]

# 构造壹矩阵
    ones(4)

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 1 & 1 & 1\\\\1 & 1 & 1 & 1\\\\1 & 1 & 1 & 1\\\\1 & 1 & 1 & 1\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 1 _ 1 _ 1_1 _ 1 _ 1 _ 1_1 _ 1 _ 1 _ 1_1 _ 1 _ 1 _ 1_end_matrix_right]

# 构造对角矩阵
    diag(1, 2, 3, 4)

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 2 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 3 & 0\\\\0 & 0 & 0 & 4\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 0 _ 0 _ 0_0 _ 2 _ 0 _ 0_0 _ 0 _ 3 _ 0_0 _ 0 _ 0 _ 4_end_matrix_right]

#### 矩阵转置 ####

矩阵转置用矩阵变量的 T 方法。例如：

a = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
    a

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & -1\\\\3 & 4\\\\0 & 2\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ -1_3 _ 4_0 _ 2_end_matrix_right]

# 求矩阵 a 的转置
    a.T

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 3 & 0\\\\-1 & 4 & 2\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 3 _ 0_-1 _ 4 _ 2_end_matrix_right]

#### 求矩阵的幂 ####

求矩阵 M的 2 次幂：

# 求矩阵 M 的 2 次幂
    M = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])
    M**2

![\\left\[\\begin\{matrix\}-5 & 12\\\\-8 & 3\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_-5 _ 12_-8 _ 3_end_matrix_right]

特殊地，矩阵的 −1 次幂就是矩阵的逆。

# 求矩阵 M 的逆
    M**-1

![\\left\[\\begin\{matrix\}\\frac\{1\}\{3\} & - \\frac\{1\}\{3\}\\\\\\frac\{2\}\{9\} & \\frac\{1\}\{9\}\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_frac_1_3_ _ - _frac_1_3_frac_2_9_ _ _frac_1_9_end_matrix_right]

#### 求矩阵的行列式 ####

用矩阵变量的 `det` 方法可以求其行列式：

M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
    M

![\\left\[\\begin\{matrix\}1 & 0 & 1\\\\2 & -1 & 3\\\\4 & 3 & 2\\end\{matrix\}\\right\]][left_begin_matrix_1 _ 0 _ 1_2 _ -1 _ 3_4 _ 3 _ 2_end_matrix_right]

M.det()

−1

#### 求矩阵的特征值和特征多项式 ####

用矩阵变量的 `eigenvals` 和 `charpoly` 方法求其特征值和特征多项式。

M = Matrix([[3, -2,  4, -2], [5,  3, -3, -2], [5, -2,  2, -2], [5, -2, -3,  3]])
    M
    M.eigenvals()
    {3: 1, -2: 1, 5: 2}
    lamda = symbols('lamda')
    p = M.charpoly(lamda)
    factor(p)

>  *  创建了一个 4x4 的矩阵 M，它的元素是：
> 
>  *  使用了 M.eigenvals() 方法来求解 M 的特征值，它返回了一个字典，表示 M 的特征值和它们的代数重数。您得到的结果是：
> 
> \{3:1,−2:1,5:2\}
> 
> 这表示 M 有三个不同的特征值，分别是 3，-2，和 5。其中，3 和 -2 的代数重数都是 1，表示它们各自对应一个线性无关的特征向量；而 5 的代数重数是 2，表示它对应两个线性相关的特征向量。
> 
>  *  定义了一个符号变量 lamda，用来表示特征多项式的变量。您使用了 M.charpoly(lamda) 方法来求解 M 的特征多项式，它返回了一个 Poly 对象，表示 M 的特征多项式。您得到的结果是：
> 
> λ4−9λ3+18λ2+54λ−225
> 
> 这表示 M 的特征多项式是一个四次多项式，它的系数是：
> 
> \[1−91854−225\]
> 
>  *  使用了 factor 函数来对 M 的特征多项式进行因式分解，它返回了一个表达式，表示 M 的特征多项式的因式分解形式。您得到的结果是：
> 
> (λ−3)(λ+2)(λ−5)2
> 
> 这表示 M 的特征多项式可以分解为三个一次因式和一个二次因式的乘积。这也验证了 M 的特征值和它们的代数重数。

#### 2.2.11数论 ####

**阶乘：**

factorial(10)

![2b5a50634a002e8f6e5c004c22250f52.png][]

**分解质因数：**

factorint(300)

![b829a2e72877c63776c118c4ac4b4445.png][]

factorint(300, visual=True)

![42aa57bee0d5c76356426f45a36cd1ec.png][]

**求欧拉函数：**

totient(25)

![4cc9640e9aff31cdee81820b195f773f.png][]

**判断质数：**

isprime(101)
    True

**求因子：**

divisors(36)
    [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36]

[0dbcb65d17204efea3b153b9b81cfdad.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/53e15ec83f4e4adca716571b1cc58246.png
[x_1_2_ _ 2 x_1_ _ 1]: https://latex.csdn.net/eq?x_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20&plus;%202%20x_%7B1%7D%20&plus;%201
[left_x - 1_right_ _left_x_2_ _ 1_right]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cleft%28x%20-%201%5Cright%29%20%5Cleft%28x%5E%7B2%7D%20&plus;%201%5Cright%29
[x_3_ _ x_2_ _left_- z _ 2_right_ _ x _left_x_2_ _ 2 x _ 2_right_ - 3]: https://latex.csdn.net/eq?x%5E%7B3%7D%20&plus;%20x%5E%7B2%7D%20%5Cleft%28-%20z%20&plus;%202%5Cright%29%20&plus;%20x%20%5Cleft%28x%5E%7B2%7D%20&plus;%202%20x%20&plus;%202%5Cright%29%20-%203
[frac_1_x_ _left_x _ 1_right]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5Cleft%28x%20&plus;%201%5Cright%29
[frac_4 x_3_ _ 21 x_2_ _ 10 x _ 12_x_4_ _ 5 x_3_ _ 5 x_2_ _ 4 x]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B4%20x%5E%7B3%7D%20&plus;%2021%20x%5E%7B2%7D%20&plus;%2010%20x%20&plus;%2012%7D%7Bx%5E%7B4%7D%20&plus;%205%20x%5E%7B3%7D%20&plus;%205%20x%5E%7B2%7D%20&plus;%204%20x%7D
[frac_2 x - 1_x_2_ _ x _ 1_ - _frac_1_x _ 4_ _ _frac_3_x]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B2%20x%20-%201%7D%7Bx%5E%7B2%7D%20&plus;%20x%20&plus;%201%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%20&plus;%204%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D
[64a27d5ec8ce9bb79b2ab249a1b84cf6.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/b0117106d49d4abca6c95dfcea34d381.png
[0950cd682f6d61341242df95c349d9a5.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/7344d57ff522455e9e9b77ed92b5d1e6.png
[e_ix_ _1_ 0]: https://latex.csdn.net/eq?e%5E%7Bix%7D%20&plus;1%3D%200
[1 _ i x - _frac_x_2_2_ - _frac_i x_3_6_ _ _frac_x_4_24_ _ _frac_i x_5_120_ - _frac_x_6_720_ - _frac_i x_7_5040_ _ _frac_x_8_40320_ _ _mathcal_O_left_x_9_right]: https://latex.csdn.net/eq?1%20&plus;%20i%20x%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bi%20x%5E%7B3%7D%7D%7B6%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B4%7D%7D%7B24%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7Bi%20x%5E%7B5%7D%7D%7B120%7D%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B6%7D%7D%7B720%7D%20-%20%5Cfrac%7Bi%20x%5E%7B7%7D%7D%7B5040%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B8%7D%7D%7B40320%7D%20&plus;%20%5Cmathcal%7BO%7D%5Cleft%28x%5E%7B9%7D%5Cright%29
[- x _cos_left _x _right _ _ _sin_left _x _right]: https://latex.csdn.net/eq?-%20x%20%5Ccos%7B%5Cleft%20%28x%20%5Cright%20%29%7D%20&plus;%20%5Csin%7B%5Cleft%20%28x%20%5Cright%20%29%7D
[int_0_2 _pi_ x _sin_left _x _right _ dx]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%20%5Cpi%7D%20x%20%5Csin%7B%5Cleft%20%28x%20%5Cright%20%29%7D%5C%2C%20dx
[fb6ea47e03904cf9aacb453f2be683cc.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/847771e47acf4663bc3ed981d055c8e5.png
[e_x_ _sin_left _x _right _ _ e_x_ _cos_left _x _right]: https://latex.csdn.net/eq?e%5E%7Bx%7D%20%5Csin%7B%5Cleft%20%28x%20%5Cright%20%29%7D%20&plus;%20e%5E%7Bx%7D%20%5Ccos%7B%5Cleft%20%28x%20%5Cright%20%29%7D
[24 x]: https://latex.csdn.net/eq?24%20x
[04dccf40cc6b4cfda49dc065c2c45703.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/12/580ba20b027942a8be9f39d0e72f121f.png
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