【算法优选】动态规划之路径问题——贰

悠悠 2024-04-17 10:45 90阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  ?前言
 *  ?\[下降最小路径和\](https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法思路：
     *  ?代码实现
 *  ?\[最小路径和\](https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/)
 *   *  ?算法思路
     *  ?代码实现
 *  ?\[地下城游戏\](https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法思路
     *  ?代码实现
 *  ⭕总结

## ?前言 ##

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1.  状态表⽰
2.  状态转移⽅程
3.  初始化
4.  填表顺序
5.  返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

## ?[下降最小路径和][Link 1] ##

### ?题目描述 ###

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

*  示例 1：

![在这里插入图片描述][a4fe8e4bc82f4bbd8371086ea98a539f.png]  
输入：matrix = \[\[2,1,3\],\[6,5,4\],\[7,8,9\]\]  
输出：13  
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

*  示例 2：

![在这里插入图片描述][b20784160e654eb9a0acae546fd8414b.png]  
输入：matrix = \[\[-19,57\],\[-40,-5\]\]  
输出：-59  
解释：如图所示，为和最小的下降路径

class Solution {
        
        public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路： ###

关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。  
⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。

1.  状态表⽰：  
    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
    
     *  从 \[i, j\] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；
     *  从起始位置出发，到达 \[i, j\] 位置，⼀共有多少种⽅式

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：  
dp\[i\]\[j\] 表⽰：到达 \[i, j\] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

1.  状态转移⽅程：  
    对于普遍位置 \[i, j\] ，根据题意得，到达 \[i, j\] 位置可能有三种情况：
    
     *  从正上⽅ \[i - 1, j\] 位置转移到 \[i, j\] 位置；
     *  从左上⽅ \[i - 1, j - 1\] 位置转移到 \[i, j\] 位置；
     *  从右上⽅ \[i - 1, j + 1\] 位置转移到 \[i, j\] 位置；

我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 \[i, j\] 位置的值。于是 dp\[i\]\[j\] = min(dp\[i - 1\]\[j\], min(dp\[i - 1\]\[j - 1\], dp\[i - 1\]\[j +1\])) + matrix\[i\]\[j\] 。

1.  初始化：  
    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
    
     *  辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
     *  「下标的映射关系」。

在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏初始化为0 即可。

1.  填表顺序：  
    根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。
2.  返回值：  
    注意这⾥不是返回 dp\[m\]\[n\] 的值！

题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「dp表中最后⼀⾏的最⼩值」。

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回结果
            int n = matrix.length;
            int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
        
                dp[i][0] = dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            for(int i = 1; i <= n; i++){
        
                for(int j = 1; j <= n; j++) {
        
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i - 1][j - 1],dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
                }
            }
        
            int ret = Integer.MAX_VALUE;
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
        
                ret = Math.min(ret, dp[n][j]);
            }
            return ret;
        }
    }

## ?[最小路径和][Link 1] ##

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

*  示例 1：  
    ![在这里插入图片描述][8a7a1d28911946c3aa23318391fdd358.png]  
    输入：grid = \[\[1,3,1\],\[1,5,1\],\[4,2,1\]\]  
    输出：7  
    解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
 *  示例 2：  
    输入：grid = \[\[1,2,3\],\[4,5,6\]\]  
    输出：12

class Solution {
        
        public int minPathSum(int[][] grid) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路 ###

像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到「不同路径」⼀类的题⾥⾯。

1.  状态表⽰：  
    对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
    
     *  从 \[i, j\] 位置出发，一系列操作；
     *  从起始位置出发，到达 \[i, j\] 位置，一系列操作。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：dp\[i\]\[j\] 表⽰：到达 \[i, j\] 位置处，最⼩路径和是多少。

1.  状态转移：  
    简单分析⼀下。如果 dp\[i\]\[j\] 表⽰到达到达 \[i, j\] 位置处的最⼩路径和，那么到达\[i, j\] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
    
     *  从 \[i - 1, j\] 向下⾛⼀步，转移到 \[i, j\] 位置；
     *  从 \[i, j - 1\] 向右⾛⼀步，转移到 \[i, j\] 位置。

由于到 \[i, j\] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 \[i, j\] 位置上本⾝的值即可。也就是： dp\[i\]\[j\] = min(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i\]\[j - 1\]) + grid\[i\]\[j\]

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp\[0\]\[1\] = dp\[1\]\[0\] = 1 即可。

1.  填表顺序：  
    根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。
2.  返回值：  
    根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp\[m\]\[n\]

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int minPathSum(int[][] grid) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回值
            int m = grid.length;
            int n = grid[0].length;
            int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
            for(int j = 0; j <= n; j++)  {
        
                dp[0][j] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            for(int i = 0; i <= m; i++) {
        
                dp[i][0] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
            for(int i = 1; i <= m; i++){
        
                for(int j = 1; j <= n; j++) {
        
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j-1];
                }
            }
            return dp[m][n];
        }
    }

## ?[地下城游戏][Link 2] ##

### ?题目描述 ###

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

*  示例 1：  
    ![在这里插入图片描述][7674204d5cd14bdaa9108c5cc26a6664.png]  
    输入：dungeon = \[\[-2,-3,3\],\[-5,-10,1\],\[10,30,-5\]\]  
    输出：7  
    解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。
 *  示例 2：  
    输入：dungeon = \[\[0\]\]  
    输出：1

class Solution {
        
        public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路 ###

1.  状态表⽰：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 \[i, j\] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 \[i, j\] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表⽰为：  
dp\[i\]\[j\] 表⽰：从 \[i, j\] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

1.  状态转移⽅程：  
    对于 dp\[i\]\[j\] ，从 \[i, j\] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp\[i\] \[j\] 的最终答案是 x ）：
    
     *  ⾛到右边，然后⾛向终点  
        那么我们在 \[i, j\] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon\[i\]\[j\] >= dp\[i\]\[j + 1\] 。通过移项可得： x >= dp\[i\]\[j + 1\] - dungeon\[i\]\[j\] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp\[i\]\[j + 1\] - dungeon\[i\]\[j\] ；
     *  ⾛到下边，然后⾛向终点  
        那么我们在 \[i, j\] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon\[i\]\[j\] >= dp\[i + 1\]\[j\] 。通过移项可得： x >= dp\[i + 1\]\[j\] - dungeon\[i\]\[j\] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp\[i + 1\]\[j\] - dungeon\[i\]\[j\] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：dp\[i\]\[j\] = min(dp\[i + 1\]\[j\], dp\[i\]\[j + 1\]) - dungeon\[i\]\[j\]

但是，如果当前位置的 dungeon\[i\]\[j\] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp\[i\]\[j\] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp\[i\]\[j\] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp\[i\]\[j\] 与 1 取⼀个最⼤值即可：dp\[i\]\[j\] = max(1, dp\[i\]\[j\])

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dp\[m\]\[n - 1\] = dp\[m - 1\]\[n\] = 1 即可。

1.  填表顺序：  
    根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。
2.  返回值：  
    根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp\[0\]\[0\] 的值

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int calculateMinimumHP(int[][] d) {
        
            // 1. 创建 dp 表
            // 2. 初始化
            // 3. 填表
            // 4. 返回值
            int m = d.length;
            int n = d[0].length;
            int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
        
                dp[m][j] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            for(int i = 0; i <= m; i++) {
        
                dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE;
            }
            dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
            for(int i = m - 1; i >= 0; i--) {
        
                for(int j = n - 1; j >= 0; j--) {
        
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - d[i][j];
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], 1);
                }
            }
            return dp[0][0];
        }
    }

## ⭕总结 ##

关于《【算法优选】 动态规划之路径问题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

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[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/
[7674204d5cd14bdaa9108c5cc26a6664.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/14/27be20acc50b4645b70d72568e548240.png