利用剪枝降低bfs算法的时空复杂度（一道OJ题目）

Myth丶恋晨 2024-03-27 08:58 84阅读 0赞

> 作者：非妃是公主  
> 专栏：《算法》《刷题笔记》  
> **个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩**
> 
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> 
> ## 《算法》专栏系列文章 ##
> 
> [算法设计与分析复习01：主方法求递归算法时间复杂度][01]
> 
> [算法设计与分析复习02：分而治之算法][02]
> 
> [算法设计与分析复习03：动态规划算法][03]  
> [算法设计与分析复习04：贪心算法][04]
> 
> [算法设计与分析复习05：回溯及分支限界][05]
> 
> [算法设计与分析复习06：随机化算法][06]
> 
> [算法设计与分析复习07：样题][07]
> 
> #### 文章目录 ####
> 
>  *  《算法》专栏系列文章
>  *  题目：寻友之旅
>  *  贪心算法
>  *  宽度优先搜索(bfs)
>  *  bfs+剪枝
>  *  考虑特殊情况(无法坐公交)
>  *  测试结果

## 题目：寻友之旅 ##

小青要找小码去玩，他们的家在一条直线上，当前小青在地点 N ，小码在地点 K （0≤N , K≤100 000），并且小码在自己家原地不动等待小青。小青有两种交通方式可选：步行和公交。  
步行：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 X-1 或 X+1  
公交：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 2×X （公交不可以向后走）

**请帮助小青通知小码，小青最快到达时间是多久？**  
输入： 两个整数 N 和 K  
输出： 小青到小码家所需的最短时间（以分钟为单位）

## 贪心算法 ##

首先，可以分析下这道题目！我第一个想法是，这是1个贪心的题目，每一步我们可以选择不同的走法，即：

*  \-1：向后走
 *  \+1：项前走
 *  \*2：坐公交去走

有了这3种走法后，那么哪种走法是最优的呢？我使用了距离终点点的距离(也就是K的距离)来度量，每次选择离K最近的走法，代码如下，十分简单，读者可以根据我上面说的自行理解即可：

// 方法1：贪心算法
    int main() {
        
    	int N, K;
    	cin >> N >> K;
    	int num_step = 0;
    	while (N != K) {
        
    		num_step++;
    		int plan1 = N - 1;		
    		int plan2 = N + 1;
    		int plan3 = 2 * N;
    		if (plan1 < 0 || plan1 > 100000) plan1 = N;
    		if (plan2 < 0 || plan2 > 100000) plan1 = N;
    		if (plan3 < 0 || plan3 > 100000) plan1 = N;
    		int len1 = abs(plan1 - K);
    		int len2 = abs(plan2 - K);
    		int len3 = abs(plan3 - K);
    		if (len1 > len2) {
        
    			if (len3 > len2) {
        
    				N = plan2;
    			}
    			else {
        
    				N = plan3;
    			}
    		}
    		else {
        
    			if (len3 > len1) {
        
    				N = plan1;
    			}
    			else {
        
    				N = plan3;
    			}
    		}
    	}
    	cout << num_step;
    }

但是，**这种做法其实是错误的**，问题的产生主要是由于可以坐公交产生的，有时候我们这一步是最优的，从下一步来讲，就不一定是最优的。比如：  
小青在5  
小码在8  
最优的走法是，小青先走到4，然后坐公交直接到8，这样只需要2分钟，但是这种做法是无法被贪心算法搜索到的。

## 宽度优先搜索(bfs) ##

接着我仔细思考了**另一种做法**，也就是bfs，bfs就是使用了队列这个数据结构，进行一个宽度优先搜索。但是如何记录当前的分钟数是1个问题，因此，我定义了1个结构体，然后就是出队列、入队列等操作，代码如下：

// 方法2：bfs
    struct node {
        
    	int num_steps;
    	int pos;
    };
    
    int main() {
        
    	int N, K;
    	cin >> N >> K;
    
    	queue<node> que;
    	node curNode;
    	curNode.num_steps = 0;
    	curNode.pos = N;
    	que.push(curNode);
    	while (curNode.pos != K) {
        
    		node tmp1;
    		tmp1.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp1.pos = curNode.pos - 1;
    
    		node tmp2;
    		tmp2.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp2.pos = curNode.pos + 1;
    
    		node tmp3;
    		tmp3.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp3.pos = curNode.pos * 2;
    
    		if (tmp1.pos >= 0 || tmp1.pos <= 100000)
    			que.push(tmp1);
    		if (tmp2.pos >= 0 || tmp2.pos <= 100000)
    			que.push(tmp2);
    		if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000)
    			que.push(tmp3);
    
    		curNode = que.front();
    		que.pop();
    	}
    
    	cout << curNode.num_steps;
    }

代码也较为简单，虽然没有注释，但是并不难看懂，读者可以根据我上面提到的代码逻辑进行理解。

## bfs+剪枝 ##

但是，bfs的搜索空间其实是很大的，对于题目的数据0~100000，可能会造成较大的时间、空间开销。因此，可以对代码进行进一步的剪枝，主要是融入一些启发式的思考，排除掉肯定不可能的情况，我主要排除了下面这种情况：如果小青已经超过了小码，而且小青距离小码的距离，比上一步还远，那么这种情况的后续步骤肯定不存在最优解了，因为这样走的话，我们越走越远，在无效地浪费时间！

我举个例子，比如，小青在600处，小码在800处，如果小青坐公交，那么直接就到了1200处，这样的话，小青距离小码有400，而上一步小青距离小码只有200，关键是400的距离还不能坐公交(只能走着回去)，所以这肯定不是最优解！因此我改动的代码如下：

if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000 || tmp3.pos - K < abs(curNode.pos - K))
    			que.push(tmp3);

![在这里插入图片描述][40d3d30cbf4b4b758c257b768858b779.png]

## 考虑特殊情况(无法坐公交) ##

对于某些特殊情况，比如小青在800，小码在400，这时候是无法乘坐公交的，当然做法也很简单，就是二者之间的距离。

为什么要考虑这种特殊情况呢？因为不考虑这种情况的话，对于上面的这种情况，bfs的搜索空间是 2 400 2^\{400\} 2400，一共要扩展400层搜索树，这是很恐怖的！因此增加代码如下：  
![在这里插入图片描述][2350e45249044a969f1e33bbe103df51.png]  
完整代码如下：

struct node {
        
    	int num_steps;
    	int pos;
    };
    
    int main() {
        
    	int N, K;
    	cin >> N >> K;
    
    	if (N > K) {
        
    		cout << N - K;
    		return 0;
    	}
    
    	queue<node> que;
    	node curNode;
    	curNode.num_steps = 0;
    	curNode.pos = N;
    	que.push(curNode);
    	while (curNode.pos != K) {
        
    		node tmp1;
    		tmp1.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp1.pos = curNode.pos - 1;
    
    		node tmp2;
    		tmp2.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp2.pos = curNode.pos + 1;
    
    		node tmp3;
    		tmp3.num_steps = curNode.num_steps + 1;
    		tmp3.pos = curNode.pos * 2;
    
    		if (tmp1.pos >= 0 || tmp1.pos <= 100000)
    			que.push(tmp1);
    		if (tmp2.pos >= 0 || tmp2.pos <= 100000)
    			que.push(tmp2);
    		if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000 || tmp3.pos - K < abs(curNode.pos - K))
    			que.push(tmp3);
    
    		curNode = que.front();
    		que.pop();
    	}
    
    	cout << curNode.num_steps;
    }

## 测试结果 ##

*  测试用例1：K=5，N=8，需要2分钟，输出如下：  
    ![在这里插入图片描述][2cd793d8ab40440b9fe5cf478cd38523.png]
 *  测试用例2：K=405，N=800，需要6分钟，输出如下：  
    ![在这里插入图片描述][7eb84269ca2e40d5862b5c3179fe66b1.png]
 *  测试用例3：K=800，N=400，这个因为无法乘坐公交，只能步行，因此需要400分钟，输出如下：  
    ![在这里插入图片描述][a1f131affa02492db00725732a9ffbe1.png]

[f4dce7c5f881432ab4e13b15b239c4fb.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/27/85aebfdd0cb441d1b78a641fa5e44ef3.png
[01]: https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/128509102
[02]: https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/128509126
[03]: https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/128509143
[04]: https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/128509159
[05]: https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/128509168
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