高中不学就可以证伪数学公式？（概率计算）

缺乏、安全感 2024-03-27 02:09 70阅读 0赞

条件概率说的是多个事件有先后顺序的发生，前一个事件的已知发生会影响到后面事件发生的概率。并且如果已知的事件在是中间的事件，那么中间的事件不仅会影响前面事件发生的概率，也会影响后续事件发生的概率。

事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P ( A ∣ B ) P(A\\mid B )P(A∣B)，读作“在B的条件下A发生的概率”

条件概率公式为:

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A\\mid B) = \\frac\{P(AB)\}\{P(B)\}

P(A∣B)=

P(B)

P(AB)

同理可得出在A条件下B发生的概率为

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B\\mid A) = \\frac\{P(AB)\}\{P(A)\}

P(B∣A)=

P(A)

P(AB)

P(A|B)=P(AB)/P(B)为事件A在B发生的条件下的条件概率。

积概率说的是多个事件同时发生的概率。

对应套用我们的乘法公式

由条件概率公式可知：P(AB)=P(A|B)P(B),这就是乘法定理，通俗讲就是AB同时发生的概率就是B发生了的概率乘以B发生的情况下A发生的概率。

P(AB)=P(A∣B)∗P(B)=P(B∣A)∗P(A)

举个例子。

三个小偷去偷村庄，此时三个小偷都站在村口，那么他们去偷村庄的概率是一样的，都是1/3。如果某天已知了村庄被偷了（小偷得手了），那么在已知被偷情况下，求三个小偷分别偷盗的概率，必然是能力强（小偷得手概率）的小偷概率最大，警察也会优先怀疑这个人。就好像，如果一开始村庄没有被盗的时候，警察指的刑满释放的江洋大盗（小偷得手概率大）说别去那个村庄，你偷盗的可能性最大，这其实是不太科学的，因为就算是普通人也有去偷得可能性，每个人偷得可能性一样大。
    
    
    
        此例子中事件的步骤：选小偷去偷村庄——小偷得手的概率（能力问题）
    
    
    
        
    
    
    
        要点：如果出现了三件以上的事儿：H——A1——A2 如果A2已知，这个时候，已知的A2会影响H和A1两个发生的概率。而且因为只是已知A2发生，不知道A1是发生了，还是A1反面发生了，即此时A2的概率不受A1影响，所以求P(A2)直接等于P(A2) = P(H)P(A2/H)即可。
    
    
    
        比如：Hi 选地区——A1第一个抽到男生——A2 第二个抽到男生
    
    
    
                如果只有A2已知，Hi,A1未知，求P(A2) = P(H1)P(A2/H)，那么因为A1未知，第二次抽到男生A2就变成了抓阄模型，比如十个人，五个男生，此时P(A2/H) = 1/2，乘以H1 = 1/3，就可以算出选择第一个区域而第二次抽到男生（在第一个未知）的情况下的概率了。

其余未知情况，序列中随便一个发生的可能（本质还是同时发生，用积事件然后正反相加可证）——抓阄模型

已知情况但未发生的可能（同时发生的可能）——积事件

已知情况且已经发生的可能——条件概率（这个就是题目中出现的“已知”）

完备事件组：把样本空间分成几个事件，每个事件互不相交，全加起来就是样本空间，这就叫完备事件组。或者叫样本空间的划分。

如果事件组B1，B2，… 满足

B1，B2…两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，…，且P(Bi)>0,i=1,2,…;

B1∪B2∪…=Ω ，则称事件组 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分,也称B为完备事件组

设 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A)= \\sum\\limits\_\{i=1\}^\\infty \{P(B\_i)\}\{P(A\\mid B \_i)\}

P(A)=

i=1

∑

∞

P(B

)P(A∣B

)

因为P ( A ) = P ( A Ω ) = P ( A ( B 1 + B 2 + B 3 + . . . ) ) P(A) = P(A\\Omega)=P(A(B\_1+B\_2+B\_3+…))P(A)=P(AΩ)=P(A(B

\+B

\+…))

又因为B i B\_iB

之间互斥,所以P ( A ) = P ( A B 1 ) + P ( A B 2 ) + P ( A B 3 ) + . . . P(A)=P(AB\_1)+P(AB\_2)+P(AB\_3)+…P(A)=P(AB

)+P(AB

)+…

根据上面的乘法公式我们可以得到:

P ( A B 1 ) = P ( B 1 ) ∗ P ( A ∣ B 1 ) P(AB\_1)=P(B\_1)\*P(A\\mid B\_1)P(AB

)=P(B

)∗P(A∣B

)

P ( A B 2 ) = P ( B 2 ) ∗ P ( A ∣ B 2 ) P(AB\_2)=P(B\_2)\*P(A\\mid B\_2)P(AB

)=P(B

)∗P(A∣B

)

P ( A B 3 ) = P ( B 3 ) ∗ P ( A ∣ B 3 ) P(AB\_3)=P(B\_3)\*P(A\\mid B\_3)P(AB

)=P(B

)∗P(A∣B

)

由此可得= P ( A Ω ) = P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) = P(A \\Omega)=P(A)= \\sum\\limits\_\{i=1\}^\\infty \{P(B\_i)\}\{P(A\\mid B \_i)\}=P(AΩ)=P(A)=

i=1

∑

∞

P(B

)P(A∣B

)

利用条件概率公式得到

P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) P(B\_i\\mid A)=\\frac\{P(AB\_i)\}\{P(A)\}

P(B

∣A)=

P(A)

P(AB

)

利用乘法公式得到变形 P ( A B i ) = P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) P(AB\_i) = P(A \\mid B\_i) \* P(B\_i)P(AB

)=P(A∣B

)∗P(B

)

即:

P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) P ( A ) P(B\_i\\mid A)=\\frac\{P(A\\mid B\_i)\*P(B\_i)\}\{P(A)\}

P(B

∣A)=

P(A)

P(A∣B

)∗P(B

)

再利用全概率公式 P ( A Ω ) = P ( A ) = ∑ j = 1 ∞ P ( B j ) P ( A ∣ B j ) P(A\\Omega)=P(A)= \\sum\\limits\_\{j=1\}^\\infty \{P(B\_j)\}\{P(A\\mid B \_j)\}P(AΩ)=P(A)=

j=1

∑

∞

P(B

)P(A∣B

)

即

贝叶斯公式  
:

P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) ∗ P ( B i ) ∑ j = 1 ∞ P ( B j ) P ( A ∣ B j ) P(B\_i\\mid A)= \\frac\{P(A\\mid B\_i) \* P(B\_i)\}\{\\sum\\limits\_\{j=1\}^\\infty\{P(B\_j)\}\{P(A\\mid B\_j)\}\}

P(B

∣A)=

j=1

∑

∞

P(B

)P(A∣B

)

P(A∣B

)∗P(B

)

作者：酸奶公园 https://www.bilibili.com/read/cv21755128 出处：bilibili