零基础自学应用近世代数第1章引言和预备知识 1.1 几类实际问题 1.1.1 一些计数问题

ゝ一世哀愁。 2024-03-26 14:04 15阅读 0赞

#### 零基础自学应用近世代数 ####

#### 文章目录 ####

*   *   *  零基础自学应用近世代数
         *  第1章 引言和预备知识
         *   *  1.1 几类实际问题
             *   *  1.1.1 一些计数问题
                 *   *  【1】项链问题
                     *  【2】分子结构的计数问题
                     *  【3】正多面体着色问题
                     *  【4】图的构造与计数问题
                     *  【5】开关线路的构造与计数问题

#### 第1章 引言和预备知识 ####

##### 1.1 几类实际问题 #####

初等代数、高等代数和线性代数都称为 【经典代数】，它的研究对象主要是代数方程和线性方程组。

【近世代数】又称抽象代数，它的研究对象是代数系。

*  代数系：由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
    
     *  整数集合Z和普通的整数加法 + 构成一个代数系，记作 ( Z , + ) (Z,+) (Z,\+)
     *  Z和普通加法 + 以及普通乘法  ⋅ · ⋅ 两种运算也构成一个代数系，记作 ( Z , + , ⋅ ) (Z,+,·) (Z,\+,⋅)

###### 1.1.1 一些计数问题 ######

###### 【1】项链问题 ######

问题：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，可以做成多少种不同类型的项链？

数学确切描述：

![在这里插入图片描述][a59ef3fa58304f2a9e7af9fb52fcc420.png_pic_center]

但是这  n m n^m nm 种项链中，有些项链可以通过旋转一个角度或者翻转180° 使其完全重合，这些项链称为本质上相同的项链。只有那些无论怎么旋转或者翻转都不能重合的项链，才是问题的答案。

当n与m 都较小时，不难用枚举法求得问题的解答。

###### 【2】分子结构的计数问题 ######

![在这里插入图片描述][0d6d185d939a4a1babb82b192d98d6f4.png_pic_center]

在一个苯环上结合H原子或者 C H 3 CH\_3 CH3 原子团，可能形成多少种化合物？

![在这里插入图片描述][63a0a6deb3704acf9e0f40457b0fd3cf.png_pic_center]

当然这个问题就是两种颜色、6颗珠子的项链问题。

###### 【3】正多面体着色问题 ######

对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进行着色，问有多少种不同的着色方法？

以正六面体【正方体】为例：

![在这里插入图片描述][0531956a83d24269951dba7d6686c593.png_pic_center]

![在这里插入图片描述][01b79926d2c44e95894b0afebd9a8829.png_pic_center]

当然这其中也有一些着色法可以通过适当旋转正六面体重合得到，我们的问题需要去重，求本质上不同的着色法数目。

当n =2 ，可以通过枚举法求得结果10 (其实已经很难想到了)，对于一般的情况则必须使用群论方法。

###### 【4】图的构造与计数问题 ######

图论(graph theory) 的一些基本概念：

![在这里插入图片描述][2e11636a01e84c60bc4cf85a1a617cc0.png_pic_center]

图可以表示的关系有很多，形象的、抽象的

栗子：画出所有点数为3的图。

思考：3个顶点，每个点之间有无边和有边两种情况， →  2 3 = 8 2^3 = 8 23=8 种情况

![在这里插入图片描述][be793ab425fc43ec9780706c62501612.png_pic_center]

当点数为n，共可以形成  ( n 2 ) \\left(\\begin\{array\}\{l\}n \\\\ 2\\end\{array\}\\right) (n2) 个2元子集，每一个2元子集可以有对应图中的边或不对应图中的边两种情况，所以可以形成  2 ( n 2 ) 2^\{\\left(\\begin\{array\}\{l\}n \\\\ 2\\end\{array\}\\right)\} 2(n2) 个图。

但是其实上面的8个图中，有些构造是完全相同的，如果不考虑点号，可以完全重合，我们称这样的图是同构的，比如 G 2 、 G 3 、 G 4 G\_2、G\_3、G\_4 G2、G3、G4 ，并且上图中共有4个互不同构。

对于一般情况，n个点的图中互不同构的图有多少个的问题，这个也不能用我们以前学的初等方法解决。

###### 【5】开关线路的构造与计数问题 ######

开关：有两种状态的电子元件。

开关线路：由一些开关组成的二端网络。

一个开关线路的两端只有两种状态：通、不通。

问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路。

![在这里插入图片描述][c4f9b4a0af15414992e21ad76fa2e655.png_pic_center]

但其实我们想象这种情况的开关是有标号，但是实际上其中有些开关线路结构完全相同。

所以要进一步解决本质上不同的开关线路的数目问题，还是必须用群论方法。

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