【软考】数据结构 - 堆结构（小顶堆、大顶堆和二叉堆）

红太狼 2024-03-24 15:06 78阅读 0赞

## 一、堆是什么？ ##

堆结构是一种具有特殊性质的基于完全二叉树的树形数据结构  
堆是一个完全二叉树，即

*  除了最后一层，其他层的节点都是满的
 *  最后一层的节点都是从左到右排列的。

## 二、堆的特点 ##

> 堆具有以下特点：有序

### 2.1 有序 ###

堆是一种有序的数据结构，可以在O(log n)的时间内进行插入、删除和查找操作。

### 2.2 性能好 ###

堆结构通过维护节点之间的值的大小关系，可以在插入、删除等操作中保持堆的性质，具有较好的性能。

## 三、堆的插入和删除操作 ##

### 3.1 堆的插入操作 ###

堆的插入操作相对简单，  
堆的插入操作只需要  
（1）将新节点插入到最后一层的最后一个位置  
（2）进行上浮操作（Heapify Up），以保持堆的性质。

### 3.2 堆的删除操作 ###

堆的删除操作稍微复杂一些，  
堆的插入操作需要分两种情况进行处理：

#### 3.2.1 删除的节点是叶子节点 ####

直接删除该节点即可。

#### 3.2.2 删除的节点不是叶子节点 ####

找到要删除节点的后继节点（即在其右子树中的最小值）或前驱节点（即在其左子树中的最大值），用该节点替换要删除的节点，然后对替换后的节点进行下沉操作（Heapify Down）以保持堆的性质。

## 四、常见的堆结构 ##

小顶堆、大顶堆和二叉堆是常见的堆结构。

### 4.1 大顶堆 ###

#### 4.1.1 大顶堆介绍 ####

大顶堆（Max Heap）是一种特殊的堆结构  
大顶堆堆的每个节点的值都大于或等于其子节点的值  
大顶堆通常用于实现优先队列，其中堆顶元素是最优先的元素。

大顶堆是一种大于等于父节点的二叉堆，即每个节点的值都不小于其父节点的值。  
大顶堆的性质为堆顶元素不小于其子节点，即堆顶的值不小于其子节点的值。

#### 4.1.2 大顶堆的插入、删除和查找操作 ####

大顶堆的插入、删除和查找操作可以使用以下函数实现：

*  插入操作：插入节点时，首先检查堆底是否为空，如果是，则直接将新节点插入堆底；如果堆底不为空，则将新节点插入堆底的左子树或右子树中，并进行颜色调整和旋转，以保证大顶堆的性质。
 *  删除操作：删除节点时，首先检查堆顶是否为要删除的节点，如果是，则将堆顶的子节点中的最大节点接替堆顶，并进行颜色调整和旋转，以保证大顶堆的性质。
 *  查找操作：查找节点时，首先检查堆顶是否为要查找的节点，如果是，则返回堆顶节点；如果堆顶不是要查找的节点，则在左子树或右子树中继续查找，直到找到要查找的节点或者子树为空为止。

### 4.2 小顶堆 ###

#### 4.2.1 小顶堆介绍 ####

小顶堆（Min Heap）也是一种特殊的堆结构  
小顶堆的每个节点的值都小于或等于其子节点的值  
小顶堆通常用于实现优先队列，其中堆顶元素是最不优先的元素。  
小顶堆是一种小于等于父节点的二叉堆，即每个节点的值都不大于其父节点的值。小顶堆的性质为堆顶元素不大于其子节点，即堆顶的值不大于其子节点的值。

#### 4.2.2 小顶堆的插入、删除和查找操作 ####

小顶堆的插入、删除和查找操作可以使用以下函数实现：

*  插入操作：插入节点时，首先检查堆底是否为空，如果是，则直接将新节点插入堆底；如果堆底不为空，则将新节点插入堆底的左子树或右子树中，并进行颜色调整和旋转，以保证小顶堆的性质。
 *  删除操作：删除节点时，首先检查堆顶是否为要删除的节点，如果是，则将堆顶的子节点中的最小节点接替堆顶，并进行颜色调整和旋转，以保证小顶堆的性质。
 *  查找操作：查找节点时，首先检查堆顶是否为要查找的节点，如果是，则返回堆顶节点；如果堆顶不是要查找的节点，则在左子树或右子树中继续查找，直到找到要查找的节点或者子树为空为止。

### 4.3 二叉堆 ###

#### 4.3.1 二叉堆介绍 ####

二叉堆是一种二叉树，其中每个节点都具有两个子节点，分为左子节点和右子节点。  
二叉堆的性质为父节点的值不小于其子节点的值，即父节点的值不大于其子节点的值。  
在二叉堆中，最大（或最小）的节点称为堆顶（或堆底）  
在二叉堆中，堆顶和堆底分别指向堆的最大（或最小）元素。  
二叉堆的插入、删除和查找操作可以使用以下函数实现：

#### 4.3.2 二叉堆的插入、删除和查找操作 ####

*  插入操作：插入节点时，首先检查堆底是否为空，如果是，则直接将新节点插入堆底；如果堆底不为空，则将新节点插入堆底的左子树或右子树中，并进行颜色调整和旋转，以保证二叉堆的性质。
 *  删除操作：删除节点时，首先检查堆顶是否为要删除的节点，如果是，则将堆顶的子节点中的最大（或最小）节点接替堆顶，并进行颜色调整和旋转，以保证二叉堆的性质。
 *  查找操作：查找节点时，首先检查堆顶是否为要查找的节点，如果是，则返回堆顶节点；如果堆顶不是要查找的节点，则在左子树或右子树中继续查找，直到找到要查找的节点或者子树为空为止。