离散数学课后习题答案-(左孝凌版)

妖狐艹你老母 2024-03-24 14:42 14阅读 0赞

**1-1，1-2**

（1） **解：**

a) **是命题，真值为T。**

b) **不是命题。**

c) **是命题，真值要根据具体情况确定。**

d) **不是命题。**

e) **是命题，真值为T。**

f) **是命题，真值为T。**

g) **是命题，真值为F。**

h) **不是命题。**

i) **不是命题。**

（2） **解：**

**原子命题：我爱北京天安门。**

**复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。**

（3） **解：**

a) **(┓P ∧R)→Q**

b) **Q→R**

c) **┓P**

d) **P→┓Q**

（4） **解：**

**a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。**

**Q« (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。**

**b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。**

**R∧Q:我在看电视边吃苹果。**

**c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。**

**（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。**

**(5) 解：**

a) **设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q**

b) **设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q**

c) **设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q**

d) **设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q**

e) **设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P«Q**

f) **设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R**

**(6) 解：**

a) **P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q**

b) **P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R**

c) **R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S**

d) **A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B**

e) **M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N**

f) **L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M**

g) **P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R**

h) **P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q**

**1-3**

**（1）解：**

a) **不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）**

b) **是合式公式**

c) **不是合式公式（括弧不配对）**

d) **不是合式公式（R和S之间缺少联结词）**

e) **是合式公式。**

**（2）解：**

a） **A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为：**

**A；(A∨B)；(A→(A∨B))**

**同理可记**

b） **A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)**

c） **A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))**

d） **A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))**

**（3）解：**

a） **((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))**

b） **((B→A)∨(A→B))。**

**（4）解：**

**a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.**

**d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P→(Q→P)代换Q.**

**e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.**

**（5）解：**

**a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q**

**b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R**

**c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q)**

**d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q«R)**

**（6）解：**

**P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。**

**这个人起初主张：(P∧Q∧R) « S**

**后来主张：(P∧Q«S)∧(S→R)**

**这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。**

**（7）解：**

**a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))**

**b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P**

**c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P**

**1-4**

**（4）解：a)**

**所以，P∧(Q∧R) Û (P∧Q)∧R**

**b)**

**所以，P∨(Q∨R) Û (P∨Q)∨R　**

**ｃ）**

**所以，P∧(Q∨R) Û (P∧Q)∨(P∧R)　**

**ｄ）**

**所以，┓(P∧Q) Û┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) Û┓P∧┓Q**

**（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为**

**F1:(Q→P)→R**

**F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)**

**F3:(P←→Q)∧(Q∨R)**

**F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)**

**F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)**

**F6:┓(P∨Q∨R)**

**(6)**

**解：由上表可得有关公式为**

**1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P**

**5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P«Q) 8.┓(P∧Q)**

**9.P∧Q 10.P«Q 11.Q 12.P→Q**

**13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T**

**(7) 证明：**

a) **A→(B→A)Û ┐A∨(┐B∨A)**

**Û A∨(┐A∨┐B)**

**Û A∨(A→┐B)**

**Û┐A→(A→┐B)**

b) **┐(A«B) Û┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))**

**Û┐((A∧B)∨┐(A∨B))**

**Û(A∨B)∧┐(A∧B)**

**或 ┐(A«B) Û┐((A→B)∧(B→A))**

**Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))**

**Û┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))**

**Û┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))**

**Û┐(┐(A∨B))∨(A∧B)**

**Û(A∨B)∧┐(A∧B)**

c) **┐(A→B) Û ┐(┐A∨B) ÛA∧┐B**

d) **┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))**

**Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))**

**Û(A∧┐B)∨(┐A∧B)**

e) **(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))**

**Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))**

**Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)**

**Û (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D**

**Û((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D**

**Û (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D**

**Û ((C∧(A«B))→D)**

f) **A→(B∨C) Û ┐A∨(B∨C)**

**Û (┐A∨B)∨C**

**Û┐(A∧┐B)∨C**

**Û (A∧┐B)→C**

g) **(A→D)∧(B→D)Û(┐A∨D)∧(┐B∨D)**

**Û(┐A∧┐B)∨D**

**Û ┐(A∨B)∨D**

**Û (A∨B)→D**

h) **((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))**

**Û(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))**

**Û (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C**

**Û(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C**

**Û┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C**

**Û ((A∨┐D)∧B)→C**

**Û (B∧(D→A))→C**

**（8）解：**

a) **((A→B) « (┐B→┐A))∧C**

**Û ((┐A∨B) « (B∨┐A))∧C**

**Û ((┐A∨B) « (┐A∨B))∧C**

**ÛT∧C ÛC**

b) **A∨(┐A∨(B∧┐B)) Û (A∨┐A)∨(B∧┐B) ÛT∨F ÛT**

c) **(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)**

**Û (A∨┐A) ∧(B∧C)**

**ÛT∧(B∧C)**

**ÛB∧C**

**（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CÛB∨C，但AÛB不成立。**

**2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CÛB∧C，但AÛB不成立。**

**3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。**

**习题 1-5**

（1） **证明：**

a) **(P∧(P→Q))→Q**

**Û (P∧(┐P∨Q))→Q**

**Û(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q**

**Û(P∧Q)→Q**

**Û┐(P∧Q)∨Q**

**Û┐P∨┐Q∨Q**

**Û┐P∨T**

**ÛT**

b) **┐P→(P→Q)**

**ÛP∨(┐P∨Q)**

**Û (P∨┐P)∨Q**

**ÛT∨Q**

**ÛT**

c) **((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)**

**因为(P→Q)∧(Q→R)Þ(P→R)**

**所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。**

d) **((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)**

**因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))**

**Û((a∨c)∧b)∨(c∧a)**

**Û((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))**

**Û(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)**

**所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。**

（2） **证明：**

**a)(P→Q)ÞP→(P∧Q)**

**解法1：**

**设P→Q为T**

**（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T**

**（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T**

**命题得证**

**解法2：**

**设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。**

**解法3：**

**(P→Q) →(P→(P∧Q))**

**Û┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))**

**Û┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))**

**ÛT**

**所以(P→Q)ÞP→(P∧Q)**

**b)(P→Q)→QÞP∨Q**

**设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，**

**故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，**

**所以(P→Q)→QÞP∨Q。**

**c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q**

**设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F**

**所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F**

**所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F**

**即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q成立。**

（3） **解：**

a) **P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。**

b) **a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。**

c) **a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。**

d) **a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。**

（4） **解：**

a) **如果天下雨，我不去。**

**设P：天下雨。Q：我不去。P→Q**

**逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。**

**逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨**

b) **仅当你走我将留下。**

**设S：你走了。R：我将留下。R→S**

**逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。**

**逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。**

c) **如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。**

**设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H**

**逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。**

**逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助**

（5） **试证明P«Q，Q逻辑蕴含P。**

**证明：解法1：**

**本题要求证明(P«Q) ∧QÞP,**

**设(P«Q) ∧Q为T，则(P«Q)为T，Q为T，故由«的定义，必有P为T。**

**所以(P«Q) ∧QÞP**

**解法2：**

**由体题可知，即证((P«Q)∧Q)→P是永真式。**

**((P«Q)∧Q)→P**

**Û (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P**

**Û (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P**

**Û (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P**

**Û ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P**

**Û ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P**

**Û┐Q∨┐P∨P**

**Û┐Q∨T**

**ÛT**

（6） **解：**

**P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。　**

**如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q**

**如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P**

**但我数学不及格: Q**

**因此我热衷于玩扑克。 R**

**即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QÞR**

**证：**

**证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R**

**Û ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R**

**Û (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R**

**Û ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))**

**Û ┐Q∨P∨R∨┐P**

**Û T　**

**所以，论证有效。**

**证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，**

**则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F，**

**由(┐R→P)为T，得到R为T。**

**故本题论证有效。**

（7） **解：**

**P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数**

**如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q**

**或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q**

**5是素数 R**

**所以6是奇数 ┐P**

**即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R Þ┐P**

**证：**

**证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P**

**Û ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P**

**Û ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P**

**Û ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))**

**Û (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)**

**ÛT　**

**所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。**

**证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，**

**则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T，**

**再由P→┐Q为T，得到┐P为T。**

（8） **证明：**

a) **PÞ(┐P→Q)**

**设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T**

b) **┐A∧B∧CÞC**

**假定┐A∧B∧C为T，则C为T。**

c) **CÞA∨B∨┐B**

**因为A∨B∨┐B为永真，所以CÞA∨B∨┐B成立。**

d) **┐(A∧B) Þ┐A∨┐B**

**设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。**

**若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。**

**若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。**

**若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。**

**命题得证。**

e) **┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐AÞB∨C**

**设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，**

**则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T**

**又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。**

f) **(A∧B)→C，┐D，┐C∨DÞ┐A∨┐B**

**设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F**

**又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。**

**（9）解：**

a) **如果他有勇气，他将得胜。**

**P：他有勇气 Q：他将得胜**

**原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。**

b) **仅当他不累他将得胜。**

**P：他不累 Q：他得胜**

**原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。**

**习题 1-6**

**(1)解：**

a) **(P∧Q)∧┐PÛ(P∧┐P)∧QÛ┐(T∨Q)**

b) **(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q**

**Û (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q**

**Û(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)**

**Û(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)**

**Û┓P∧Q**

**Û┐(P∨┐Q)**

c) **┐P∧┐Q∧(┐R→P)**

**Û┐P∧┐Q∧(R∨P)**

**Û(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)**

**Û(┐P∧┐Q∧R)∨F**

**Û┐P∧┐Q∧R**

**Û┐(P∨Q∨┐R)**

**(2) 解：**

**a)┐PÛ P↓P**

**b)P∨QÛ┐(P↓Q) Û (P↓Q)↓(P↓Q)**

**c)P∧QÛ┐P↓┐QÛ (P↓P)↓(Q↓Q)**

**(3)解：**

**P→(┐P→Q)**

**Û┐P∨(P∨Q)**

**ÛT**

**Û┐P∨P**

**Û (┐P↑┐P)↑(P↑P)**

**ÛP↑(P↑P)**

**P→(┐P→Q)**

**Û┐P∨(P∨Q)**

**ÛT**

**Û┐P∨P**

**Û┐(┐P↓P)**

**Û┐((P↓P)↓P)**

**Û((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)**

**(4)解：**

**P↑Q**

**Û┐(┐P↓┐Q)**

**Û┐((P↓P)↓(Q↓Q))**

**Û ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))**

**(5)证明：**

**┐(B↑C)**

**Û┐(┐B∨┐C)**

**Û ┐B↓┐C**

**┐(B↓C)**

**Û┐(┐B∧┐C)**

**Û┐B↑┐C**

**(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：**

**a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F**

**故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).**

**b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q↓R)为F**

**故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R).**

**(7)证明：**

**设变元P，Q，用连结词«,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P，Q«Q，Q«P。**

**但P«QÛQ«P，P«PÛQ«Q，故实际有：**

**P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P（T） （A）**

**用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：**

**P，Q，┐P，┐Q，┐（P«Q）， T，F， P«Q （B）**

**用«作用于（A）类，得到：**

**P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«（P«P）ÛP，**

**Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ,**

**┐P«┐QÛP«Q，┐P«（P«Q）Û┐Q，┐P«TÛ┐P,**

**┐Q«（P«Q）Û┐P，┐Q«TÛ┐Q,**

**（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.**

**因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。**

**对（B）类使用┐运算得：**

**┐P，┐Q，P，Q， P«Q， F，T，**

**┐（P«Q），**

**仍在（B）类中。**

**对（B）类使用«运算得：**

**P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«┐（P«Q）Û┐Q，P«TÛP，P«FÛ┐P，P«（P«Q）ÛQ，**

**Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«┐（P«Q）Û┐P，Q«TÛQ, Q«FÛ┐Q， Q«（P«Q）ÛP，**

**┐P«┐QÛP«Q，┐P«┐（P«Q）ÛQ，┐P«TÛ┐P, ┐P«FÛP,┐P«（P«Q）Û┐Q，**

**┐Q«┐（P«Q）ÛP，┐Q«TÛ┐Q, ┐Q«TÛ┐Q,┐Q«（P«Q）Û┐P，**

**┐（P«Q）«TÛ┐（P«Q），┐（P«Q）«FÛP«Q，┐（P«Q）«（P«Q）ÛF**

**T«FÛF，T«（P«Q）Û P«Q**

**F«（P«Q）Û ┐（P«Q）**

**（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.**

**故由（B）类使用«运算后，结果仍在（B）中。**

**由上证明：用«,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故\{«,┐\}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。**

**已证\{«,┐\}不是最小联结词组，又因为P QÛ ┐（P«Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用\{ , ┐\}表达，则必可用\{«,┐\}表达，其逆亦真。故\{ , ┐\}也必不是最小联结词组。**

**(8)证明\{∨\}，\{∧\}和\{→\}不是最小联结词组。**

**证明：若\{∨\}，\{∧\}和\{→\}是最小联结词，则**

**┐PÛ（P∨P∨……）**

**┐PÛ（P∧P∧……）**

**┐PÛP→(P→(P→……)**

**对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。**

**所以\{∨\}，\{∧\}和\{→\}不是最小联结词。**

**(9)证明\{┐,→\}和\{┐, \}是最小联结词组。**

**证明：因为\{┐,∨\}为最小联结词组，且P∨QÛ┐P→Q**

**所以\{┐,→\}是功能完备的联结词组，又\{┐\},\{→\}都不是功能完备的联结词组。**

**所以\{┐,→\}是最小联结词组。**

**又因为P→QÛ┐(P Q)，所以\{┐, \}是功能完备的联结词组，又\{┐\},\{ \}不是功能完备的联结词组，**

**所以\{┐, \}是最小联结词组。**

**习题 1-7**

**(1) 解：**

**P∧(P→Q)**

**ÛP∧(┐P∨Q)**

**Û (P∧┐P)∨(P∧Q)**

**P∧(P→Q)**

**Û (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)**

**Û (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)**

**(2) 解：**

a) **(┐P∧Q)→R**

**Û┐(┐P∧Q)∨R**

**Û P∨┐Q∨R**

**Û(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)**

b) **P→((Q∧R)→S)**

**Û┐P∨(┐(Q∧R)∨S)**

**Û┐P∨┐Q∨┐R∨S**

**Û(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)**

c) **┐(P∨┐Q)∧(S→T)**

**Û(┐P∧Q)∧(┐S∨T)**

**Û(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)**

d) **(P→Q)→R**

**Û┐(┐P∨Q)∨R**

**Û(P∧┐Q)∨R**

**Û(P∨R)∧(┐Q∨R)**

e) **┐(P∧Q)∧(P∨Q)**

**Û(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)**

**Û(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)**

**Û (┐P∧Q)∨(┐Q∧P)**

**(3) 解：**

a) **P∨(┐P∧Q∧R)**

**Û(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)**

**Û(P∨Q)∧(P∨R)**

b) **┐(P→Q)∨(P∨Q)**

**Û┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)**

**Û(P∧┐Q)∨(P∨Q)**

**Û(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)**

c) **┐(P→Q)**

**Û┐(┐P∨Q)**

**Û P∧┐Q**

**Û(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)**

d) **(P→Q)→R**

**Û┐(┐P∨Q)∨R**

**Û (P∧┐Q)∨R**

**Û (P∨R)∧(┐Q∨R)**

e) **(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)**

**Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)**

**Û(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)**

**(4) 解：**

a) **(┐P∨┐Q)→(P«┐Q)**

**Û┐(┐P∨┐Q) ∨(P«┐Q)**

**Û (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)**

**Ûå1，2，3**

**ÛP∨Q=P0**

b) **Q∧(P∨┐Q)**

**Û (P∧Q)∨(Q∧┐Q)**

**Û P∧Q =å3**

**ÛP0，1，2**

**Û(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)**

c) **P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))**

**ÛP∨(P∨(Q∨(Q∨R))**

**ÛP∨Q∨R=P0**

**Ûå1，2，3,4,5,6,7**

**=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)**

d) **(P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))**

**Û (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))**

**Û (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R))**

**Û (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =å0,7**

**ÛP1，2，3,4,5,6**

**Û (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)**

e) **P→(P∧(Q→P)**

**Û┐P∨(P∧(┐Q∨P)**

**Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)**

**ÛT∨(T∧┐Q) ÛT**

**Ûå0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)**

f) **(Q→P) ∧(┐P∧Q)**

**Û (┐Q∨P) ∧┐P∧Q**

**Û (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ÛF**

**ÛP0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)**

**(5) 证明：**

**(A→B) ∧(A→C)**

**Û (┐A∨B) ∧(┐A∨C)**

**A→(B∧C)**

**Û┐A∨(B∧C)**

**Û (┐A∨B) ∧(┐A∨C)**

**(A→B) →(A∧B)**

**Û┐(┐A∨B) ∨(A∧B)**

**Û (A∧┐B) ∨(A∧B)**

**ÛA∧(B∨┐B)**

**ÛA∧T**

**ÛA**

**(┐A→B) ∧(B→A)**

**Û (A∨B) ∧(┐B∨A)**

**ÛA∨(B∧┐B)**

**ÛA∨F**

**ÛA**

**c)**

**A∧B∧(┐A∨┐B)**

**Û ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B**

**ÛA∧B∧┐B**

**ÛF**

**┐A∧┐B∧(A∨B)**

**Û ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B**

**Û┐A∧┐B∧B**

**ÛF**

**d)**

**A∨(A→(A∧B)**

**ÛA∨┐A∨(A∧B)**

**ÛT**

**┐A∨┐B∨(A∧B)**

**Û┐(A∧B) ∨(A∧B)**

**ÛT**

**(6)解：AÛR↑(Q∧┐(R↓P)),则A\*Û R↓(Q∨┐(R↑P))**

**AÛR↑(Q∧┐(R↓P))**

**Û┐(R∧(Q∧(R∨P)))**

**Û┐R∨┐Q∨┐(R∨P)**

**Û┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)**

**A\*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))**

**Û┐(R∨(Q∨(R∧P))**

**Û┐R∧┐Q∧┐(R∧P)**

**Û┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)**

**(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。**

**若A去则C和D中要去一个。 A→(C**

**D)**

**B和C不能都去。 ┐(B∧C)**

**C去则D要留下。 C→┐D**

**按题意应有：A→(C**

**D)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。**

**因为C**

**D Û (C∧┐D) ∨(D∧┐C)**

**故(A→(C**

**D))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)**

**Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)**

**Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)**

**Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)**

**Û (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)**

**∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)**

**∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)**

**∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)**

**在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得**

**(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)**

**故分派的方法为：B∧D ,或 D∧A,或 C∧A。**

**(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。**

**由题意得 (P**

**Q) ∧(R**

**S) ∧(E**

**S)**

**Û ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))**

**Û ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))**

**因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为**

**((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))**

**Û (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)**

**Û (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)**

**因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，**

**即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。**

**于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。**

**习题1-8**

**(1)证明：**

**a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐RÞ┐P**

**(1) ┐R P**

**(2) ┐Q∨R P**

**(3) ┐Q (1)(2)T,I**

**(4) ┐(P∧┐Q) P**

**(5) ┐P∨Q (4)T,E**

**(6) ┐P (3)(5)T,I**

**b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GÞM∨N**

**(1) (H∨G) →J P**

**(2) (H∨G) P**

**(3) J (1)(2)T,I**

**(4) J→(M∨N) P**

**(5) M∨N (3)(4)T,I**

**c)B∧C，(B«C)→(H∨G) ÞG∨H**

**(1) B∧C P**

**(2) B (1)T,I**

**(3) C (1)T,I**

**(4) B∨┐C (2)T,I**

**(5) C∨┐B (3)T,I**

**(6) C→B (4)T,E**

**(7) B→C (5)T,E**

**(8) B«C (6)(7)T,E**

**(9) (B«C) →(H∨G) P**

**(10) H∨G (8)(9)T,I**

**d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) Þ┐S**

**(1) (┐Q∨R) ∧┐R**

**(2) ┐Q∨R (1)T,I**

**(3) ┐R (1)T,I**

**(4) ┐Q (2)(3)T,I**

**(5) P→Q P**

**(6) ┐P (4)(5)T,I**

**(7) ┐(┐P∧┐S) P**

**(8) P∨┐S (7)T,E**

**(9) ┐S (6)(8)T,I**

**(2) 证明：**

**a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C**

**(1) ┐(A→┐C) P**

**(2) A (1)T,I**

**(3) C (1)T,I**

**(4) ┐A∨B P**

**(5) B (2)(4)T,I**

**(6) C→┐B P**

**(7) ┐B (3)(6)T,I**

**(8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)**

**b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ÞA→(B→F)**

**(1) ┐(A→(B→F)) P**

**(2) A (1)T,I**

**(3) ┐(B→F) (1)T,I**

**(4) B (3)T,I**

**(5) ┐F (3)T,**

**(6) A→(B→C) P**

**(7) B→C (2)(6)T,I**

**(8) C (4)(7)T,I**

**(9) ┐F→(D∧┐E) P**

**(10) D∧┐E (5)(9)T,I**

**(11) D (10)T,I**

**(12) C∧D (8)(11)T,I**

**(13) (C∧D) →E P**

**(14) E (12)(13)T,I**

**(15) ┐E (10)T,I**

**(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15)**

**c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F**

**(1) ┐(A→F) P**

**(2) A (1)T,I**

**(3) ┐F (1)T,I**

**(4) A∨B (2)T,I**

**(5) (A∨B) →C∧D P**

**(6) C∧D (4)(5)T,I**

**(7) C (6)T,I**

**(8) D (6)T,I**

**(9) D∨E (8)T,I**

**(10) D∨E→F P**

**(11) F (9)(10)T,I**

**(12) F∧┐F 矛盾。(3),(11)**

**d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) ÞB→E**

**(1) ┐(B→E) P**

**(2) B (1)T,I**

**(3) ┐E (1)T,I**

**(4) ┐B∨D P**

**(5) D (2)(4)T,I**

**(6) (E→┐F) →┐D P**

**(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I**

**(8) E (7)T,I**

**(9) E∧┐E 矛盾**

**e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→CÞ┐A**

**(1) (A→B) ∧(C→D) P**

**(2) A→B (1)T,I**

**(3) (B→E) ∧(D→F) P**

**(4) B→E (3)T,I**

**(5) A→E (2)(4)T,I**

**(6) ┐(E∧F) P**

**(7) ┐E∨┐F (6)T,E**

**(8) E→┐F (7)T,E**

**(9) A→┐F (5)(8)T,I**

**(10) C→D (1)T,I**

**(11) D→F (3)T,I**

**(12) C→F (10)(10)T,I**

**(13) A→C P**

**(14) A→F (13)(12)T,I**

**(15) ┐F→┐A (14)T,E**

**(16) A→┐A (9)(15)T,I**

**(17) ┐A∨┐A (16)T,E**

**(18) ┐A (17) T,E**

(3) **证明：**

**a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C**

**(1) A P**

**(2) ┐A∨B P**

**(3) B (1)(2)T,I**

**(4) C→┐B P**

**(5) ┐C (3)(4)T,I**

**(6) A→┐C CP**

**b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ÞA→(B→F)**

**(1) A P**

**(2) A→(B→C) P**

**(3) B→C (1)(2)T,I**

**(4) B P**

**(5) C (3)(4)T,I**

**(6) (C∧D) →E P**

**(7) C→(D→E) (6)T,E**

**(8) D→E (5)(7)T,I**

**(9) ┐D∨E (8)T,E**

**(10) ┐(D∧┐E) (9)T,E**

**(11) ┐F→(D∧┐E) P**

**(12) F (10)(11)T,I**

**(13) B→F CP**

**(14) A→(B→F) CP**

**c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F**

**(1) A P**

**(2) A∨B (1)T,I**

**(3) A∨B→C∨D P**

**(4) C∧D (2)(3)T,I**

**(5) D (4)T,I**

**(6) D∨E (5)T,I**

**(7) D∨E→F P**

**(8) F (6)(7)T,I**

**(9) A→F CP**

**d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) ÞB→E**

**(1) B P(附加前提)**

**(2) ┐B∨D P**

**(3) D (1)(2)T,I**

**(4) (E→┐F)→┐D P**

**(5) ┐(E→┐F) (3)(4)T,I**

**(6) E (5)T,I**

**(7) B→E CP**

**(4)证明：**

a) **R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QÞ┐P**

**(1) R→┐Q P**

**(2) R∨S P**

**(3) S→┐Q P**

**(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I**

**(5) P→Q P**

**(6) ┐P (4)(5)T,I**

b) **S→┐Q，S∨R，┐R，┐P«QÞP**

**证法一：**

**(1) S∨R P**

**(2) ┐R P**

**(3) S (1)(2)T,I**

**(4) S→┐Q P**

**(5) ┐Q (3)(4)T,I**

**(6) ┐P«Q P**

**(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E**

**(8) ┐P→Q (7)T,I**

**(9) P (5)(8)T,I**

**证法二：（反证法）**

**(1) ┐P P（附加前提）**

**(2) ┐P«Q P**

**(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E**

**(4) ┐P→Q (3)T,I**

**(5) Q (1)(4)T,I**

**(6) S→┐Q P**

**(7) ┐S (5)(6)T,I**

**(8) S∨R P**

**(9) R (7)(8)T,I**

**(10) ┐R P**

**(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，I**

**c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RÞP«Q**

**(1) R P**

**(2) (Q→P) ∨┐R P**

**(3) Q→P (1)(2)T,I**

**(4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P**

**(5) (R∨S) →(P→Q) (4)T,E**

**(6) R∨S (1)T,I**

**(7) P→Q (5)(6)**

**(8) (P→Q) ∧(Q→P) (3)(7)T,I**

**(9) P«Q (8)T,E**

**(5) 解：**

a) **设P：我跑步。Q：我很疲劳。**

**前提为：P→Q，┐Q**

**(1) P→Q P**

**(2) ┐Q P**

**(3) ┐P (1)(2)T,I**

**结论为：┐P，我没有跑步。**

b) **设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。**

**前提为：S→R，R**

**因为（S→R）∧RÛ（┐S∨R）∧RÛR。故本题没有确定的结论。**

**实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。**

c) **设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。**

**R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）**

**前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S**

**(1) P→Q P**

**(2) Q→R P**

**(3) P→R (1)(2)T,I**

**(4) ┐R∨S P**

**(5) ┐R (4)T,I**

**(6) ┐P (3)(5)T,I**

**结论为： ┐P，我的程序没有通过**

**习题2-1,2-2**

（1） **解：**

a) **设W（x）：x是工人。c：小张。**

**则有 ¬W（c）**

b) **设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他**

**则有 S（h）ÚB（h）**

**c) 设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。**

**则有 C（l）Ù B（l）**

**d）设O（x）：x是奇数。**

**则有 O（m）®¬ O（2m）。**

**e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。**

**则有 （"x）（Q（x）®R（x））**

**f) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。**

**则有 （$x）（R（x）ÙQ（x））**

**g) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。**

**则有 ¬（"x）（R（x）®Q（x））**

**h)设P（x，y）：直线x平行于直线y**

**G（x，y）：直线x相交于直线y。**

**则有 P（A，B）D¬G（A，B）**

（2） **解：**

a) **设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。**

**则有 （"x）（J（x）®L（x））**

b) **设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。**

**则有 （$x）（L（x）ÙS（x））**

c) **设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。**

**则有 （$x）（J（x）ÙO（x）ÙV（x））**

d) **设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练**

**则有 ¬ O（j）Ù¬V（j）**

e) **设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。**

**则 ¬（"x）（L（x）®J（x））**

**本题亦可理解为：某些运动员不是教练。**

**故 （$x）（L（x）Ù¬J（x））**

f) **设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。**

**则有 （$x）（S（x）ÙL（x）ÙC（x））**

g) **设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。**

**则有 （"x）（C（x）®V（x））或¬（$x）（C（x）Ù¬V（x））**

h) **设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是运动员。**

**则有 （"x）（O（x）ÙC（x）®L（x））**

**i) 设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。**

**则有 ¬（$x）（W（x）ÙC（x）ÙH（x））**

j） **W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。**

**则有（$x）（W（x）ÙJ（x）ÙC（x））**

k） **L（x）：x 是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。**

**则有 （"x）（L（x）® （$y）（J（y）ÙA（x，y）））**

l） **设S（x）：x是大学生。L（x）：x 是运动员。A(x,y)：x钦佩y。**

**则（$x）（S（x）Ù（"y）（L（y）®¬ A(x,y)））**

**习题2-3**

**（1）解：**

**a）5是质数。**

**b）2是偶数且2是质数。**

**c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。**

**d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）**

**e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。**

**f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。**

**g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。**

**h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。**

**（2）解：（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($!z)(L(z)∧R(x,y,z)))**

**或 （"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐($u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u))))**

**（3）解：**

**a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。**

**P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。**

**则有 ("x)((N(x)∧P(x)→($y)(F(y)∧z(y)))**

**b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。 故 ("x)(R(x)→($y)(Q(x,y)∧R(y)))**

**c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。 则**

**($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)**

**（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 ("x)("y)("z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))**

**（5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则**

a) **("x)(N(x)→($!y)(N(y)∧S(x,y)))**

**或("x)(N(x)→($y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))**

**b) ┐($x)(N(x)∧S(x,1))**

**c) ("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($!y)(N(y) ∧S(y,x)))**

**或("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))**

**（6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。**

**F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。**

**G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这本。 b:那位。**

**则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)**

**（7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则**

**P(f,a)D(("ε)($δ)("x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))**

**习题2-4**

**(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。**

**b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词"的约束，S(x)中的x受存在量词$的约束。**

**c) x，y都是约束变元,P(x)中的x受$的约束，R(x)中的x受"的约束。**

**d) x，y是约束变元，z是自由变元。**

**(2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c)**

**b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)**

**c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)**

**d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))**

**e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))**

(3) **解：**

**a) ("x)(P(x)∨Q(x))Û(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，**

**但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以**

**("x)(P(x)∨Q(x))Û(T∨F)∧(F∨T) ÛT。**

**b) ("x)(P→Q(x))∨R(a)Û ((P→Q(-2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)**

**因为P 为T，Q(-2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以**

**("x)(P→Q(x))∨R(a)Û ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨FÛ F**

**(4) 解：a) ("u)($v)(P(u，z)→Q(v))DS(x，y)**

**b) ("u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧($v)R(v))→($z)S(x,z)**

**(5) 解：a) (($y)A(u，y)→("x)B(x，v))∧($x)("z)C(x，t，z)**

**b) (("y)P(u，y)∧($z)Q(u，z))∨("x)R(x，t)**

**习题2-5**

**（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))ÛP(1,f(1))∧P(2,f(2))ÛP(1,2)∧P(2,1) ÛT∧FÛF**

**b) ("x)($y)P(y,x)Û ("x) (P(1,x)∨P(2,x))Û (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))**

**Û (T∨F)∧(T∨F) Û T**

**c) ("x)( "y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))**

**Û ("x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))**

**Û (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))**

**∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))**

**Û (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))**

**Û (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)ÛF∧F∧T∧TÛF**

**（2）解：a) ("x)(P(x)→Q(f(x),a))**

**Û(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))**

**Û (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))**

**Û (F→F)∧(T→T) ÛT**

**b) ($x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))**

**Û (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1)) Û (T∧T)∨(F∧F) ÛT**

**c) ($x)(P(x)∧Q(x,a))**

**Û (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))**

**Û (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))**

**Û (F∧T)∨(T∧F) ÛF**

**d) ("x)( $y)(P(x)∧Q(x,y))**

**Û ("x) (P(x)∧($y)Q(x,y))**

**Û ("x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))**

**Û (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))**

**Û (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) ÛF**

**(3) 举例说明下列各蕴含式。**

a) **ù(($x)(P(x)∧Q(a))Þ ($x)P(x)®ùQ(a)**

b) **("x) (ù P(x) ®Q(x)), ("x) ùQ(x)ÞP(a)**

c) **("x) (P(x) ®Q(x)), ("x) (Q(x) ®R(x))Þ ("x) (P(x) ®R(x))**

d) **("x) (P(x) ÚQ(x)), ("x) ùP(x)Þ ($x)Q (x)**

e) **("x) (P(x) ÚQ(x)), ("x) ùP(x)Þ ("x)Q (x)**

**解：a）因为ù(($x)(P(x)∧Q(a)) Ûù($x)P(x)∨ùQ(a)**

**故原式为ù($x)P(x)∨ùQ(a) Þ ($x)P(x)®ùQ(a)**

**设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员**

**前提 或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员**

**结论 如果存在x是大学生，则必有a是运动员。**

**b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。**

**前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。**

**对论域中所有x， x不是大学生。**

**结论：对论域中所有x都是研究生。**

**故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。**

**c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。**

**前提 对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。**

**对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。**

**结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。**

**d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。**

**前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。**

**对所有x，x不是研究生**

**结论 必存在x，x是运动员。**

**e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。**

**前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。**

**对所有x，x不是研究生**

**结论 对所有x，x是运动员。**

**（4）证明：($x)(A(x)→B(x))Û ($x) (┐A(x)∨B(x)) Û ($x)┐A(x)∨ ($x) B(x)**

**Û ┐("x)A(x)∨($x) B(x) Û ("x)A(x)→($x) B(x)**

**（5） 设论域D=\{a，b，c\}，求证("x)A(x)∨("x)B(x)Þ( "x)(A(x)∨B(x))**

**证明：因为论域D=\{a，b，c\}，所以**

**("x)A(x)∨("x)B(x) Û(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))**

**Û(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))**

**Þ(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))**

**Û( "x)(A(x)∨B(x))**

**所以("x)A(x)∨("x)B(x)Þ( "x)(A(x)∨B(x))**

**（6）解：推证不正确，因为**

**┐($x)(A(x)∧┐B(x))Û┐(($x)A(x)∧($x)┐B(x))**

**（7）求证("x)( "y)(P(x)→Q(y)) Û ( $x)P(x)→("y)Q(y)**

**证明：("x)( "y)(P(x)→Q(y))**

**Û("x)( "y)( ┐P(x) ∨Q(y))**

**Û("x) ┐P(x) ∨( "y)Q(y)**

**Û┐($x)P(x) ∨( "y)Q(y)**

**Û ( $x)P(x)→("y)Q(y)**

**习题2-6**

**（1）解：a) ("x)(P(x)→($y)Q(x,y))**

**Û("x)( ┐P(x) ∨($y)Q(x,y))**

**Û("x) ($y) (┐P(x) ∨Q(x,y))**

b) **($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))**

**Û($x)(($y)P(x,y)∨(($z)Q(z)→R(x)))**

**Û($x)(($y)P(x,y) ∨(┐($z)Q(z) ∨R(x)))**

**Û($x)(($y)P(x,y) ∨(("z)┐Q(z) ∨R(x)))**

**Û($x) ($y) ("z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))**

**c)("x)( "y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))**

**Û("x)( "y)( ┐(($z)P(x,y,z)∧($u)Q(x,u))∨($v)Q(y,v))**

**Û("x)( "y)( ("z)┐P(x,y,z) ∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))**

**Û("x)( "y) ("z) ("u) ($v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))**

**（2）解：a) (($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))**

**Û┐(($x)P(x)∨($x)Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x))**

**Û┐($x) (P(x)∨Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x)) ÛT**

b) **("x)(P(x)→("y)(("z)Q(x,y)→┐("z)R(y,x)))**

**Û("x)( ┐P(x) ∨("y)( Q(x,y)→┐R(y,x)))**

**Û("x) ("y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x))**

**前束合取范式**

**Û("x) ("y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))**

**∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))**

**∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))**

**∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))**

**∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))**

**∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x))**

**∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))**

**前束析取范式**

c) **("x)P(x)→($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))**

**Û┐("x)P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))**

**Û($x)┐P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))**

**Û($x)(┐P(x) ∨("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))**

**Û($x) ("z) ("u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u))**

**前束合取范式**

**Û($x) ("z) ("u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u))**

**∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))**

**∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))**

**∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))**

**∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))**

**∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))**

**∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)))**

**前束析取范式**

**d)("x)(P(x)→Q(x,y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))**

**Û┐("x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))**

**Û($x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(($u)P(u)∧($z)Q(y,z))**

**Û($x) ($u) ($z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z)))**

**前束析取范式**

**Û($x) ($u) ($z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z)))**

**前束合取范式**

**习题2-7**

(1) **证明：**

(2) **a) ①("x)(┐A(x)→B(x)) P**

**②┐A(u)→B(u) US①**

**③( "x)┐B(x) P**

**④┐B(u) US③**

**⑤A(u)∨B(u) T②E**

**⑥A(u) T④⑤I**

**⑦ ( $x)A(x) EG⑥**

**b) ①┐( "x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）**

**②( $x)┐(A(x)→B(x)) T①E**

**③┐(A(c)→B(c)) ES②**

**④A(c) T③I**

**⑤┐B(c) T③I**

**⑥( $x)A(x) EG④**

**⑦ ($x)A(x)→("x)B(x) P**

**⑧("x)B(x) T⑥⑦I**

**⑨B(c) US⑧**

**⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾**

**c）①("x)(A(x)→B(x)) P**

**②A(u)→B(u) US①**

**③( "x)(C(x)→┐B(x)) P**

**④C(u)→┐B(u) US③**

**⑤┐B(u) →┐A(u) T②E**

**⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I**

**⑦("x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥**

**d) ("x)(A(x)∨B(x)),( "x)(B(x)→┐C(x)),( "x)C(x)Þ ("x)A(x)**

**①( "x)(B(x)→┐C(x)) P**

**②B(u)→┐C(u) US①**

**③( "x)C(x) P**

**④C(u) US③**

**⑤┐B(u) T②④I**

**⑥ ("x)(A(x)∨B(x)) P**

**⑦A(u)∨B(u) US**

**⑧A(u) T⑤⑦I**

**⑨("x)A(x) UG⑧**

**(2) 证明：**

**a)①( "x)P(x) P（附加前提）**

**②P(u) US①**

**③("x)(P(x)→Q(x)) P**

**④P(u)→Q(u) US③**

**⑤Q(u) T②④I**

**⑥("x)Q(x) UG⑤**

**⑦( "x)P(x)→("x)Q(x) CP**

**b)因为("x)P(x)∨($x)Q(x)Û┐("x)P(x) →($x)Q(x)**

**故本题就是推证("x)(P(x)∨Q(x)) Þ ┐("x)P(x) →($x)Q(x)**

**①┐("x)P(x) P（附加前提）**

**②( $x)┐P(x) T①E**

**③┐P(c) ES②**

**④("x)(P(x)∨Q(x)) P**

**⑤P(c)∨Q(c) ES④**

**⑥Q(c) T③⑤I**

**⑦( $x) Q(x) EG⑥**

**⑧┐("x)P(x) →($x)Q(x) CP**

**(3)**

**解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。**

**本题符号化为：**

**("x)(Q(x) →R(x)) ∧($x)(Q(x) ∧I(x)) Þ ($x)(R(x) ∧I(x))**

**①($x)(Q(x) ∧I(x)) P**

**②Q(c) ∧I(c) ES①**

**③("x)(Q(x) →R(x)) P**

**④Q(c) →R(c) US③**

**⑤Q(c) T②I**

**⑥ R(c) T④⑤I**

**⑦I(c) T②I**

**⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I**

**⑨($x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧**

**b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车**

**本题符号化为：**

**("x)(P(x) →┐Q(x)), ("x)(Q(x) ∨R(x)) , ($x) ┐R(x) Þ ($x) ┐P(x)**

**①($x) ┐R(x) P**

**②┐R (c) ES①**

**③("x)(Q(x) ∨R(x)) P**

**④Q(c) ∨R(c) US③**

**⑤Q(c) T②④I**

**⑥ ("x)(P(x) →┐Q(x)) P**

**⑦P(c) →┐Q(c) US⑥**

**⑧┐P (c) T⑤⑦I**

**⑨($x) ┐P(x) EG⑧**

**c) 每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。**

**设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。**

**S（x）：x是优秀生。c：小张。**

**本题符号化为：**

**("x)(G(x) →L(x)∨P(x)), ($x)(G(x) ∧ S(x)), ┐P (c) , S(c) Þ G(c) →L(c)**

**①G(c) P（附加前提）**

**②("x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P**

**③G(c) →L(c)∨P(c) US②**

**④L(c)∨P(c) T①③I**

**⑤┐P (c) P**

**⑥ L(c) T④⑤I**

**⑦G(c) →L(c) CP**

**注意：本题推证过程中未用到前提($x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。**

**证明 设A上定义的二元关系R为：**

**＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÛ**y(x)**=**v(u)

① **对任意＜x,y＞∈A，因为**y(x)**=**y(x)**，所以**

**＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R**

**即R是自反的。**

② **设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若**

**＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÞ**y(x)**=**v(u)**Þ**v(u)**=**y(x)**Þ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R**

**即R是对称的。**

③ **设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对**

**＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R**

**Þ（**y(x)**=**v(u)**）∧（**v(u)**=**s(w)**）Þ**y(x)**=**s(w)

**Þ＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R**

**故R是传递的，于是R是A上的等价关系。**

**3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使<a,b>在R之中，则R是一个等价关系。**

**证明 对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R.**

**因为R是传递的和对称的，故有：**

**＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈RÞ＜a, c＞∈RÞ＜c,a＞∈R**

**由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈RÞ＜a,a＞∈R**

**所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。**

**3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。**

**a）（A×A）-R1；**

**b）R1-R2；**

**c）R12；**

**d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。**

**解 a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：**

**A=\{a,b\}，R1=\{＜a,a＞，＜b,b＞\}**

**A×A=\{＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞\}**

**（A×A）-R1=\{＜a,b＞，＜b,a＞\}**

**所以（A×A）-R1不是A上等价关系。**

**b）设 A=\{a,b,c\}**

**R1=\{＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞\}**

**R2=\{＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞\}**

**R1-R2=\{＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞\}**

**所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。**

**c）若R1是A上等价关系，则**

**＜a,a＞∈R1Þ＜a,a＞∈R1○R1**

**所以R12是A上自反的。**

**若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有**

**＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1Þ＜b, a＞∈R12**

**即R12是对称的。**

**若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有**

**＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1**

**Þ（$e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（$e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）**

**Þ＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递）**

**Þ＜a,c＞∈R12**

**即R12是传递的。**

**故R12是A上的等价关系。**

**d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但**

**r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA**

**=\{＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞\}**

**不是A上的等价关系。**

**3-10.8 设C\*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C\*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)Ûac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。**

**证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0Û(a+bi)R(a+bi)**

**故R在C\*上是自反的。**

**(2) 对任意(a+bi)R(c+di)Ûac>0,**

**因ca=ac>0Û(c+di)R(a+bi),**

**所以R在C\*上是对称的。**

**(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0Ùcu>0**

**若c>0，则a>0Ùu>0Þ au>0**

**若c<0，则a<0Ùu<0Þ au>0**

**所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C\*上是传递的。**

**关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。**

**3-10.9 设Π和Π¢是非空集合A上的划分，并设R和R¢分别为由Π和Π¢诱导的等价关系，那么Π¢细分Π的充要条件是R¢ Í R。**

**证明：若Π¢细分Π。由假设aR¢b，则在Π¢中有某个块S¢，使得a,b∈S¢，因Π¢细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S¢Í S，即a,b∈S，于是有aRb,即R¢ Í R。**

**反之，若R¢ Í R，令S¢为H¢的一个分块，且a∈S¢，则S¢=\[a\]R¢=\{x|xR¢a\}**

**但对每一个x，若xR¢a，因R¢ Í R，故xRa，因此\{x|xR¢a\} Í\{x|xRa\}即\[a\]R¢ Í\[a\]R**

**设S=\[a\]R,则S¢Í S**

**这就证明了Π¢细分Π。**

**3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。**

**证明：由题设Rj=\{<x,y>|x≡y(modj)\}**

**Rk=\{<x,y>|x≡y(modk)\}**

**故<x,y>∈RjÛx-y=c×j (对某个c∈I)**

**<x,y>∈RkÛx-y=d×k (对某个d∈I)**

**a)假设I/Rk细分I/Rj，则Rk Í Rj**

**因此<k,0>∈RkÞ<k,0>∈Rj**

**故k-0=1×k=c×j (对某个c∈I)**

**于是k是j的整数倍。**

**b)若对于某个r∈I，有k=rj则：**

**<x,y>∈RkÛx-y=ck (对某个c∈I)**

**Þ x-y=crj (对某个c,r∈I)**

**Þ<x,y>∈Rj**

**因此，Rk Í Rj，于是I/Rk细分I/Rj**

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