【枚举倍数+容斥】CF803 F

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2024-03-23 22:41 56阅读 0赞

[Problem - F - Codeforces][]

题意：

![e3f914ba017f4d068fe0f661eb611e23.png][]

思路：

正难则反，考虑容斥

即考虑gcd != 1的所有子序列个数

因为子序列内部无序，因此不算真正的子序列，考虑枚举倍数

根据经典套路，我们去枚举 gcd，然后去枚举倍数，看以这个因子为gcd的子序列个数有多少

很显然，设该 gcd 的个数为 sum，那么每个数都有选和不选，方案数就是 (1 << sum ) - 1

但是注意到不以该因子为 gcd 的子序列会重复计算，因此需要把它们减掉

Code：

#include <bits/stdc++.h>
    
    #define int long long
    
    using i64 = long long;
    
    constexpr int N = 1e6 + 10;
    constexpr int mod = 1e9 + 7;
    
    int a[N];
    int dp[N];
    
    int qpow(int a, int b, int mod) {
        int res = 1;
        while(b) {
            if (b & 1) {
                res = (res * a) % mod;
            }
            a = (a * a) % mod;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
    void solve() {
        int n;
        std::cin >> n;
    
        std::map<int,int> mp;
        int mx = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            std::cin >> a[i];
            mp[a[i]] ++;
            mx = std::max(mx, a[i]);
        }
    
        for (int i = mx; i >= 1; i --) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j <= mx; j += i) {
                sum += mp[j];
                sum %= mod;
            }
            dp[i] = ((qpow(2, sum, mod) - 1) % mod + mod) % mod;
            for (int j = i * 2; j <= mx; j += i) {
                dp[i] = ((dp[i] - dp[j]) % mod + mod) % mod;
            }
        }
        std::cout << dp[1] % mod<< "\n";
    }
    signed main() {
        std::ios::sync_with_stdio(false);
        std::cin.tie(nullptr);
        
        int t = 1;
        
        while (t--) {
            solve();
        }
        
        return 0;
    }

[Problem - F - Codeforces]: https://codeforces.com/contest/803/problem/F
[e3f914ba017f4d068fe0f661eb611e23.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/14/3418a17714ba49ddb7482834539c9ae1.png