【MST+离线】ABC235 E - MST + 1

港控/mmm° 2024-03-22 11:03 38阅读 0赞

**一开始想的是分类讨论，看那条边加了之后成不成环，如果不成环且权值在前n-1，则一定在MST里，不在前n-1则不在MST里；如果成环了，如果权值不在前n-1，则不在MST里，如果权值在前n-1，则需要判断环中其余边是不是都<wi，如果是，则在MST里面，否则就不在**

**然后问题就在于，怎么看环中其余边是不是都<wi**

**有两个想法：**

**一个是dfs遍历环统计最大值，但是考虑到最坏情况复杂度为NQ，因此不可能这么做**

**一个是维护树链RMQ，可能要用树剖来写，但是我不会QwQ**

**事实上这也是做法之一，但是不需要这么麻烦**

题意：

有一个图，它有MST，对于每次询问都问是否能加一条边，使得该边在新图的MST中，如果是输出Yes，否则就是No

![ee57b5c0114d4471bc747d9964541d95.png][]

思路：

考虑将原边和查询边一起参与Kruskal的过程（其实就是将询问的边按边权离线，这样更容易地用DS维护）

如果是原边，则直接加入

如果是查询边，则直接看是否成环即可

为什么，因为它是从小到大加边的，所以此时如果成环了，环内其余边都<=wi，就不需要树链RMQ了

感觉将查询边一起参与Kruskal的过程很帅啊

Code：

#include <bits/stdc++.h>
    
    #define int long long
    
    using namespace std;
    
    const int mxn=2e5+10;
    const int mxe=2e5+10;
    
    struct ty{
    	int u,v,w,id;
    }e[mxe<<2];
    
    int N,M,Q,a,b,c;
    int f[mxn],ans[mxn];
    
    int find(int x){
    	return f[x]=(x==f[x])?x:find(f[x]);
    }
    void join(int u,int v){
    	int f1=find(u),f2=find(v);
    	if(f1!=f2) f[f1]=f2;
    }
    bool cmp(ty x,ty y){
    	return x.w<y.w;
    }
    void solve(){
    	cin>>N>>M>>Q;
    	for(int i=1;i<=N;i++) f[i]=i; 
    	for(int i=1;i<=M;i++){
    		cin>>a>>b>>c;
    		e[i]={a,b,c,0};
    	} 
    	for(int i=1;i<=Q;i++){
    		cin>>a>>b>>c;
    		e[M+i]={a,b,c,i};
    	}
    	sort(e+1,e+1+M+Q,cmp);
    	for(int i=1;i<=M+Q;i++){
    		if(e[i].id==0) join(e[i].u,e[i].v);
    		else{
    			if(find(e[i].u)!=find(e[i].v)) ans[e[i].id]=1;
    			else ans[e[i].id]=0;
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=Q;i++){
    		if(ans[i]) cout<<"Yes"<<'\n';
    		else cout<<"No"<<'\n';
    	}
    }
    signed main(){
    	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    	int __=1;//cin>>__;
    	while(__--)solve();return 0;
    }

2023.08.11 upd：

新版离线写法，更高级更好用：

#include <bits/stdc++.h>
    
    using i64 = long long;
    
    constexpr int N = 2e5 + 10;
    constexpr int M = 2e5 + 10;
    constexpr int mod = 998244353;
    
    std::vector<int> f(N), ans(N);
    
    int find(int x) {
        return f[x] = (x == f[x]) ? x : find(f[x]);
    }
    void join(int u, int v) {
        int f1 = find(u), f2 = find(v);
        if (f1 != f2) {
            f[f1] = f2;
        }
    }
    void solve() {
        int n, m, q;
        std::cin >> n >> m >> q;
    
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            f[i] = i;
        }
    
        std::vector<std::array<int,3> > e;
        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            int u, v, w;
            u --, v --;
            std::cin >> u >> v >> w;
            e.push_back({w, u, v});
        }
    
        std::sort(e.begin(), e.end());
    
        std::vector<std::array<int,4> > Q;
        for (int i = 0; i < q; i ++) {
            int u, v, w;
            std::cin >> u >> v >> w;
            Q.push_back({w, u, v, i});
        }
    
        std::sort(Q.begin(), Q.end());
    
        int idx = 0;
        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            while(idx < q && Q[idx][0] <= e[i][0]) {
                if (find(Q[idx][1]) == find(Q[idx][2])) {
                    ans[Q[idx][3]] = 0;
                }else {
                    ans[Q[idx][3]] = 1;
                }
                idx ++;
            }
            join(e[i][1], e[i][2]);
        }
        for (int i = 0; i < q; i ++) {
            if (ans[i] == 1) {
                std::cout << "Yes" << "\n";
            }else {
                std::cout << "No" << "\n";
            }
        }
    }
    signed main() {
        std::ios::sync_with_stdio(false);
        std::cin.tie(nullptr);
    
        int t = 1;
        while(t --) {
            solve();
        }
        return 0;
    }

[ee57b5c0114d4471bc747d9964541d95.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/22/1a3b5a7bf6de473bb08e2c9cc6b4e443.png