【数字图像处理与应用】利用一阶Butterworth低通滤波器进行频域滤波

拼搏现实的明天。 2024-03-17 22:54 76阅读 0赞

#### 基于一阶 Butterworth 低通滤波器的频域滤波 ####

*  题目
 *  Matlab代码实现
 *   *  算法介绍
     *  算法步骤
     *  Matlab代码
     *  运行结果
 *  代码及相关文档下载

## 题目 ##

1.  给定图像 ‘barb.png’, 利用一阶Butterworth低通滤波器进行频域滤波, 当  D 0 = 10 , 20 , 40 , 80 D\_0=10,20,40,80 D0=10,20,40,80 时, 给出相应滤波图像, 并分别以频域和空域的观点解释有关 滤波结果。  
    提示:  
    (1) 以  ( − 1 ) x + y (-1)^\{x+y\} (−1)x\+y 乘以输入图像进行中心变换;  
    (2) 直接以FFT2进行傅立叶变换;  
    (3) DFT反变换后取实部;  
    (4) 以  ( − 1 ) x + y (-1)^\{x+y\} (−1)x\+y 乘以（3）中结果, 反中心变换。  
    ![在这里插入图片描述][91cab12bbd9b4b0a8b21e32cc30833bb.png]

## Matlab代码实现 ##

### 算法介绍 ###

本算法描述文档旨在说明如何利用一阶 Butterworth 低通滤波器对给定图像进行频域  
滤波。通过设置不同的截止频率 D0（取值为 10、20、40 和 80），我们将生成相应的滤波  
图像，并从频域和空域的观点解释滤波结果。

### 算法步骤 ###

1.  导入图像: 导入待处理的图像 barb.png, 使用 imread 函数将图像读取为矩阵形式。
2.  灰度化: 使用 im2gray 函数将彩色图像转换为灰度图像。这将使得图像在处理过程 中变为单通道。
3.  归一化: 使用 im2double 函数将灰度图像的像素值转换为双精度浮点数, 并将像素 值归一化到  \[ 0 , 1 \] \[0,1\] \[0,1\] 的范围内。
4.  获取图像尺寸: 使用 size 函数获取灰度图像的尺寸, 将宽度和高度分别存储为  M M M 和  N N N 。
5.  中心变换: 将归一化后的灰度图像与一个由  ( − 1 ) x + y (-1)^\{x+y\} (−1)x\+y 构成的矩阵相乘, 其中  x x x 和  y y y 分别表示像素的横坐标和纵坐标。这个步骤将图像从空域中心移到频域中心。
6.  傅立叶变换: 使用  f f t 2 \\mathrm\{fft\} 2 fft2 函数对中心变换后的图像进行二维傅立叶变换, 得到频域中 的复数表示。
7.  生成 Butterworth 低通滤波器: 根据给定的截止频率  D 0 D\_0 D0, 生成一个 Butterworth 低 通滤波器  H 。 H H 。 H H。H 的大小与图像的尺寸相同, 其中每个位置  ( u , v ) (u, v) (u,v) 处的值为  1 1 + ( u D 0 ) 2 + ( v D 0 ) 2 \\frac\{1\}\{1+\\left(\\frac\{u\}\{D\_0\}\\right)^2+\\left(\\frac\{v\}\{D\_0\}\\right)^2\} 1\+(D0u)2\+(D0v)21 。
8.  滤波: 将傅立叶变换结果与 Butterworth 滤波器进行逐元素相乘, 得到滤波后的频域 结果。
9.  反中心变换: 将滤波后的频域结果再次与一个由  ( − 1 ) x + y (-1)^\{x+y\} (−1)x\+y 构成的矩阵相乘, 以进行反 中心变换。
10. 空域结果: 将反中心变换后的结果取实部, 并将像素值恢复到原始范围, 得到空域中 的滤波结果。
11. 输出滤波后的空域图像。

### Matlab代码 ###

img = imread('barb.png');
    img_gray = im2gray(img);
    img_gray = im2double(img_gray);
    [M, N] = size(img_gray);
    
    figure('Name', '频域滤波结果');
    
    D0_values = [10, 20, 40, 80];
    
    for i = 1:length(D0_values)
        D0 = D0_values(i);
        
        % 中心变换
        centered_img = img_gray .* (-1).^(meshgrid(1:N) + meshgrid(1:M)');
        
        % 傅立叶变换
        F = fft2(centered_img);
        
        % 生成Butterworth低通滤波器
        H = 1 ./ (1 + (meshgrid(-(N/2):(N/2-1)).^2 + meshgrid(-(M/2):(M/2-1)).^2) / D0^2);
        
        % 滤波
        filtered_img = real(ifft2(F .* H));
        
        % 反中心变换
        filtered_img = filtered_img .* (-1).^(meshgrid(1:N) + meshgrid(1:M)');
        
        % 显示频域结果
        subplot(2, length(D0_values), i);
        imshow(log(1 + abs(fftshift(F))), []);
        title(['频域 (D0 = ' num2str(D0) ')']);
        
        % 显示空域结果
        subplot(2, length(D0_values), i + length(D0_values));
        imshow(filtered_img, []);
        title(['空域 (D0 = ' num2str(D0) ')']);
    end

### 运行结果 ###

![在这里插入图片描述][260a67b85b0347edb16a0e846554d412.png]

*  根据上图的对比，我们可以看出使用一阶 Butterworth 低通滤波器在频域滤波时，D0的值对滤波效果有显著影响。具体来说，随着 D0  
    值的增大，滤波后的图像变得更加清晰。这是因为随着 D0 的增大，滤掉的高频成分变得更少，因此图像的清晰度得以提高。
 *  在空域上，滤波器的作用是减少图像中的高频噪声。然而，D0 的大小选择也会影响到图像本身的高频成分丢失的程度。如果 D0  
    选择得过小，图像丢失的细节就会更多。因此，在使用滤波器的时候，我们需要根据实际情况选择合适的 D0 值，以达到最佳的滤波效果。
 *  在频域上，经过中心变换后的频域图像中心部分是低频部分，这部分内容会被滤波器保留下来。而越往外的高频部分则越容易被滤掉。因此，滤波后的频域图像内容基本上集中在中心附近这也是为什么随着  
    D0 的增大，图像清晰度会提高的原因。
 *  总的来说，一阶 Butterworth 低通滤波器在频域滤波中起着重要的作用。通过合理选择 D0  
    值，我们可以有效地减少图像中的高频噪声，同时保留图像的主要信息。

## 代码及相关文档下载 ##

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