图论基础和表示

╰半夏微凉° 2024-03-16 23:49 81阅读 0赞

#### 一、概念及其介绍 ####

图论(Graph Theory)是离散数学的一个分支，是一门研究图(Graph)的学问。

图是用来对对象之间的成对关系建模的数学结构，由"节点"或"顶点"(Vertex）以及连接这些顶点的"边"（Edge）组成。

值得注意的是，图的顶点集合不能为空，但边的集合可以为空。图可能是无向的，这意味着图中的边在连接顶点时无需区分方向。否则，称图是有向的。下面左图是一个典型的无向图结构，右图则属于有向图。本章节介绍的图都是无向图。

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图的分类：无权图和有权图，连接节点与节点的边是否有数值与之对应，有的话就是有权图，否则就是无权图。

**图的连通性：**在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点 i 到顶点 j 有路径相连（当然从j到i也一定有路径），则称 i 和 j 是连通的。如果 G 是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。

**完全图：**完全是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。

**自环边：**一条边的起点终点是一个点。

**平行边：**两个顶点之间存在多条边相连接。

#### 二、适用说明 ####

图可用于在物理、生物、社会和信息系统中建模许多类型的关系和过程，许多实际问题可以用图来表示。因此，图论成为运筹学、控制论、信息论、网络理论、博弈论、物理学、化学、生物学、社会科学、语言学、计算机科学等众多学科强有力的数学工具。在强调其应用于现实世界的系统时，网络有时被定义为一个图，其中属性(例如名称)之间的关系以节点和或边的形式关联起来。

#### 三、图的表达形式 ####

**邻接矩阵：**1 表示相连接，0 表示不相连。

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**邻接表：**只表达和顶点相连接的顶点信息

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邻接表适合表示稀疏图 (Sparse Graph)

邻接矩阵适合表示稠密图 (Dense Graph)

#### Java 实例代码 ####

**(1) 邻接矩阵**

### src/runoob/graph/DenseGraph.java 文件代码： ###

> package runoob.graph;  
>   
> /\*\*  
> \* 邻接矩阵  
> \*/  
> public class DenseGraph \{  
> // 节点数  
> private int n;  
> // 边数  
> private int m;  
> // 是否为有向图  
> private boolean directed;  
> // 图的具体数据  
> private boolean\[\]\[\] g;  
>   
> // 构造函数  
> public DenseGraph( int n , boolean directed )\{  
> assert n >= 0;  
> this.n = n;  
> this.m = 0;  
> this.directed = directed;  
> // g初始化为n\*n的布尔矩阵, 每一个g\[i\]\[j\]均为false, 表示没有任和边  
> // false为boolean型变量的默认值  
> g = new boolean\[n\]\[n\];  
> \}  
> // 返回节点个数  
> public int V()\{ return n;\}  
> // 返回边的个数  
> public int E()\{ return m;\}  
>   
> // 向图中添加一个边  
> public void addEdge( int v , int w )\{  
> assert v >= 0 && v < n ;  
> assert w >= 0 && w < n ;  
> if( hasEdge( v , w ) )  
> return;  
> g\[v\]\[w\] = true;  
> if( !directed )  
> g\[w\]\[v\] = true;  
> m ++;  
> \}  
>   
> // 验证图中是否有从v到w的边  
> boolean hasEdge( int v , int w )\{  
> assert v >= 0 && v < n ;  
> assert w >= 0 && w < n ;  
> return g\[v\]\[w\];  
> \}  
> \}

**（2）邻接表**

### src/runoob/graph/SparseGraph.java 文件代码： ###

> package runoob.graph;  
>   
> import java.util.Vector;  
>   
> /\*\*  
> \* 邻接表  
> \*/  
> public class SparseGraph \{  
> // 节点数  
> private int n;  
> // 边数  
> private int m;  
> // 是否为有向图  
> private boolean directed;  
> // 图的具体数据  
> private Vector<Integer>\[\] g;  
>   
> // 构造函数  
> public SparseGraph( int n , boolean directed )\{  
> assert n >= 0;  
> this.n = n;  
> this.m = 0;  
> this.directed = directed;  
> // g初始化为n个空的vector, 表示每一个g\[i\]都为空, 即没有任和边  
> g = (Vector<Integer>\[\])new Vector\[n\];  
> for(int i = 0 ; i < n ; i ++)  
> g\[i\] = new Vector<Integer>();  
> \}  
> // 返回节点个数  
> public int V()\{ return n;\}  
> // 返回边的个数  
> public int E()\{ return m;\}  
> // 向图中添加一个边  
> public void addEdge( int v, int w )\{  
> assert v >= 0 && v < n ;  
> assert w >= 0 && w < n ;  
> g\[v\].add(w);  
> if( v != w && !directed )  
> g\[w\].add(v);  
> m ++;  
> \}  
>   
> // 验证图中是否有从v到w的边  
> boolean hasEdge( int v , int w )\{  
>   
> assert v >= 0 && v < n ;  
> assert w >= 0 && w < n ;  
>   
> for( int i = 0 ; i < g\[v\].size() ; i ++ )  
> if( g\[v\].elementAt(i) == w )  
> return true;  
> return false;  
> \}  
> \}

[47442f285a7e6ad0fdd263474d73a4c1.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/18d0d1cd5d6d47e0b8a07ac4e7282882.png
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