基于weka手工实现多层感知机(BPNet)

ゝ一纸荒年。 2024-03-16 19:26 66阅读 0赞

## 一、BP网络 ##

### 1.1 单层感知机 ###

单层感知机，就是只有一层神经元，它的模型结构如下1：

![在这里插入图片描述][ee02f037e0b04a9e9d06f62c82ac6ff4.png_pic_center_x_16]

对于权重 w w w的更新，我们采用如下公式：

w i = w i + Δ w i Δ w i = η ( y − y ^ ) x i (1) w\_i=w\_i+\\Delta w\_i \\\\ \\Delta w\_i=\\eta(y-\\hat\{y\})x\_i\\tag\{1\} wi=wi\+ΔwiΔwi=η(y−y^)xi(1)

其中， y y y 为标签， y ^ \\hat\{y\} y^ 为模型输出值， η \\eta η 为学习率， x i x\_i xi 为模型输入。

这样我们就实现了对一层感知机的参数调整。

但是，单层感知机由于是线性的，拟合能力很有限，对于非线性可分的问题（比如异或）都是无法处理的。

### 1.2 多层感知机 ###

如果是多层感知机，参数调整复杂一些，需要采用误差逆向传播算法。网络结构如图，这里假设我们只考虑包含一个隐含层的神经网络：

![在这里插入图片描述][eed179ebb9544a9d807f6580b3ccac71.png_pic_center_x_16]

网络的具体参数如上图所示。

其在第k个样例上的误差为：

E k = 1 2 ∑ j = 1 l ( y ^ j k − y j k ) E\_k=\\frac\{1\}\{2\}\\sum\_\{j=1\}^l(\\hat\{y\}\_j^k-y\_j^k) Ek=21j=1∑l(y^jk−yjk)

对于任意参数更新：  
 v = v + Δ v v=v+\\Delta v v=v\+Δv

对于参数 w w w，

Δ w h j = − η ∂ E k ∂ w h j \\Delta w\_\{hj\}=-\\eta \\frac\{\\partial E\_k\}\{\\partial w\_\{hj\}\} Δwhj=−η∂whj∂Ek

∂ E k ∂ w h j = ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j ⋅ ∂ β j ∂ w h j \\frac\{\\partial E\_k\}\{\\partial w\_\{hj\}\}=\\frac\{\\partial E\_k\}\{\\partial \\hat\{y\}\_j^k\} \\cdot \\frac\{\\partial \\hat\{y\}\_j^k\}\{\\partial \\beta\_j\} \\cdot \\frac\{\\partial \\beta\_j\}\{\\partial w\_\{hj\}\} ∂whj∂Ek=∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk⋅∂whj∂βj

β i \\beta\_i βi为输出层的输入，根据其定义，

∂ β j ∂ w h j = b h \\frac\{\\partial \\beta\_j\}\{\\partial w\_\{hj\}\}=b\_h ∂whj∂βj=bh

其中 b h b\_h bh为隐含层的输出。

因为每一层要经过一个激活函数，这里我们采用的是sigmoid函数，他有一个很好的性质：

f ′ ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f'(x)=f(x)(1-f(x)) f′(x)=f(x)(1−f(x))

于是就有：

g j = − ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j = − ( y ^ j k − y j k ) f ′ ( β j − θ j ) = y ^ j k ( 1 − y ^ j k ) ( y j k − y ^ j k ) \\begin\{aligned\} g\_j=& -\\frac\{\\partial E\_k\}\{\\partial \\hat\{y\}\_j^k\} \\cdot \\frac\{\\partial \\hat\{y\}\_j^k\}\{\\partial \\beta\_j\} \\\\ =&-(\\hat\{y\}\_j^k-y\_j^k)f'(\\beta\_j-\\theta\_j)\\\\ =&\\hat\{y\}\_j^k(1-\\hat\{y\}\_j^k)(y\_j^k-\\hat\{y\}\_j^k) \\end\{aligned\} gj===−∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk−(y^jk−yjk)f′(βj−θj)y^jk(1−y^jk)(yjk−y^jk)

其中， θ j \\theta\_j θj 为第j个输出神经元的 bias。

这样，我们就得到了 w w w的更新量（**注意：这里不需要加负号了，因为我们已经在 g j g\_j gj中添加过了**），

Δ w h j = η g j b h \\Delta w\_\{hj\}=\\eta g\_j b\_h Δwhj=ηgjbh

Δ θ j = − η g j Δ v i h = η e h x i Δ γ h = − η e h \\Delta \\theta\_j=-\\eta g\_j\\\\ \\Delta v\_\{ih\}=\\eta e\_h x\_i \\\\ \\Delta \\gamma\_h=-\\eta e\_h Δθj=−ηgjΔvih=ηehxiΔγh=−ηeh

在BP算法中，假设我们的只有3层网络，1个输入层、一个隐含层、一个输出层，那么参数的数量为 d × q + q × l + q + l d\\times q+q\\times l+q+l d×q\+q×l\+q\+l（其中，d，q，l分别为输入层、隐藏层、输出层的神经元数量），我们根据上面的公式就可以进行参数的迭代计算了。

而根据不同的输入数据，隐藏层神经元的数量如何设置呢？我这里采用了一个经验公式，参考自[bp隐含层节点数经验公式][bp]。

文中指出：

q = ( d + l ) × 2 3 q=(d+l)\\times \\frac\{2\}\{3\} q=(d\+l)×32

![在这里插入图片描述][346e0beaaba54768914f5518229adfb9.png_pic_center_x_16]

## 二、基于weka代码实现 ##

package weka.classifiers.myf;
    
    import weka.classifiers.Classifier;
    import weka.core.*;
    import weka.core.matrix.Matrix;
    import weka.filters.Filter;
    import weka.filters.unsupervised.attribute.NominalToBinary;
    
    /**
     * @author YFMan
     * @Description 自定义的 BP 神经网络 分类器
     * @Date 2023/6/7 11:30
     */
    public class myBPNet extends Classifier {
        
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //主函数
         * @Date 2023/6/7 19:14
         * @Param [argv 命令行参数]
         * @return void
         **/
        public static void main(String[] argv) {
        
            runClassifier(new myBPNet(), argv);
        }
    
        // 训练数据
        private Instances m_instances;
    
        // 当前正在训练的样例
        private Instance m_currentInstance;
    
        // 训练总次数
        private final int m_numEpochs;
    
        // 二值化过滤器，将标称属性转换为二值属性，进而输入到神经网络中
        private final NominalToBinary m_nominalToBinaryFilter;
    
        // 学习率
        private final double m_learningRate;
    
        // 当前的训练误差
        private double m_error;
    
        // 输入维度（输入层神经元数量）
        private int m_numInputs;
    
        // 隐藏层维度（隐藏层神经元数量）
        private int m_numHidden;
    
        // 输出维度（输出层神经元数量）
        private int m_numOutputs;
    
        // 输入层的输出
        private Matrix m_input;
    
        // 输入层到隐藏层的权重矩阵
        private Matrix m_weightsInputHidden;
    
        // 隐藏层到输出层的权重矩阵
        private Matrix m_weightsHiddenOutput;
    
        // 隐藏层的阈值
        private Matrix m_hiddenThresholds;
    
        // 输出层的阈值
        private Matrix m_outputThresholds;
    
        // 隐藏层的输出
        private Matrix m_hiddenOutput;
    
        // 输出层的输出
        private Matrix m_output;
    
        // 输出层对应的标签
        private Matrix m_labels;
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description // BP 网络 构造函数
         * @Date 2023/6/7 19:04
         * @Param []
         * @return
         **/
        public myBPNet() {
        
            // 训练数据
            m_instances = null;
            // 当前样例
            m_currentInstance = null;
            // 训练误差
            m_error = 0;
            // 二值化过滤器，将标称属性转换为二值属性
            m_nominalToBinaryFilter = new NominalToBinary();
            // 训练总次数
            m_numEpochs = 500;
            // 学习率
            m_learningRate = .3;
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //Sigmoid函数
         * @Date 2023/6/7 19:53
         * @Param [x]
         * @return double
         **/
        double sigmoid(double x) {
        
            return 1.0 / (1.0 + Math.exp(-x));
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //前向传播
         * @Date 2023/6/7 19:47
         * @Param []
         * @return void
         **/
        void forwardPropagation() {
        
            // 初始化输入层的输出
            for (int i = 0; i < m_numInputs; i++) {
        
                m_input.set(0, i, m_currentInstance.value(i));
            }
    
            // 计算隐藏层的输出
            m_hiddenOutput = m_input.times(m_weightsInputHidden);
            // 减去阈值
            m_hiddenOutput = m_hiddenOutput.minus(m_hiddenThresholds);
            // 激活函数
            for (int i = 0; i < m_numHidden; i++) {
        
                m_hiddenOutput.set(0, i, sigmoid(m_hiddenOutput.get(0, i)));
            }
    
            // 计算输出层的输出
            m_output = m_hiddenOutput.times(m_weightsHiddenOutput);
            // 减去阈值
            m_output = m_output.minus(m_outputThresholds);
            // 激活函数
            for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
        
                m_output.set(0, i, sigmoid(m_output.get(0, i)));
            }
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //反向传播
         * @Date 2023/6/7 20:20
         * @Param []
         * @return void
         **/
        void backPropagation() {
        
            // 获取当前样例的标签
            m_labels = new Matrix(1, m_numOutputs);
            for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
        
                // 将标签转换为矩阵(最后部分的 binary 对应 类标签 标值)
                m_labels.set(0, i, m_currentInstance.value(m_numInputs + i));
            }
    
    
            // 计算 g = m_output * (1 - m_output) * (m_labels - m_output)
            // 输出层的误差
            Matrix m_outputError = m_output.copy();
            m_outputError = m_outputError.times(-1);
            // 创建一个全为 1 的矩阵 用于 1 - m_output
            Matrix one = new Matrix(1, m_numOutputs, 1);
            m_outputError = m_outputError.plus(one);
            m_outputError = m_outputError.arrayTimes(m_output);
            m_outputError = m_outputError.arrayTimes(m_labels.minus(m_output));
    
            // 计算 隐藏层到输出层的权重矩阵的增量 deltaWeightsHiddenOutput = m_learningRate * g * b_h
            // 隐藏层到输出层的权重矩阵的增量
            Matrix m_deltaWeightsHiddenOutput = new Matrix(m_numHidden, m_numOutputs);
            for(int h = 0; h < m_numHidden; h++) {
        
                for(int j = 0; j < m_numOutputs; j++) {
        
                    m_deltaWeightsHiddenOutput.set(h, j, m_learningRate * m_outputError.get(0, j) * m_hiddenOutput.get(0, h));
                }
            }
    
            // 计算 隐藏层到输出层的阈值的增量 deltaOutputThresholds = - m_learningRate * g
            // 输出层的阈值的增量
            Matrix m_deltaOutputThresholds = m_outputError.times(-m_learningRate);
    
            // 计算 隐藏层的误差 hiddenError = b_h * (1 - b_h) * g * m_weightsHiddenOutput.transpose()
            Matrix one1 = new Matrix(1, m_numHidden, 1);
            // 隐藏层的误差
            Matrix m_hiddenError = m_hiddenOutput.copy();
            m_hiddenError = m_hiddenError.times(-1);
            m_hiddenError = m_hiddenError.plus(one1);
            m_hiddenError = m_hiddenError.arrayTimes(m_hiddenOutput);
            m_hiddenError = m_hiddenError.arrayTimes(m_outputError.times(m_weightsHiddenOutput.transpose()));
    
            // 计算 输入层到隐藏层的权重矩阵的增量 deltaWeightsInputHidden = m_learningRate * hiddenError * x_i
            // 输入层到隐藏层的权重矩阵的增量
            Matrix m_deltaWeightsInputHidden = new Matrix(m_numInputs, m_numHidden);
            for(int i = 0; i < m_numInputs; i++) {
        
                for(int h = 0; h < m_numHidden; h++) {
        
                    m_deltaWeightsInputHidden.set(i, h, m_learningRate * m_hiddenError.get(0, h) * m_input.get(0, i));
                }
            }
    
            // 计算 输入层到隐藏层的阈值的增量 deltaHiddenThresholds = - m_learningRate * hiddenError
            // 隐藏层的阈值的增量
            Matrix m_deltaHiddenThresholds = m_hiddenError.times(-m_learningRate);
    
            // 更新 隐藏层到输出层的权重矩阵
            m_weightsHiddenOutput = m_weightsHiddenOutput.plus(m_deltaWeightsHiddenOutput);
            // 更新 隐藏层到输出层的阈值
            m_outputThresholds = m_outputThresholds.plus(m_deltaOutputThresholds);
    
            // 更新 输入层到隐藏层的权重矩阵
            m_weightsInputHidden = m_weightsInputHidden.plus(m_deltaWeightsInputHidden);
            // 更新 输入层到隐藏层的阈值
            m_hiddenThresholds = m_hiddenThresholds.plus(m_deltaHiddenThresholds);
    
            // 更新训练误差
            m_error += calculateError();
        }
    
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //计算训练误差
         * @Date 2023/6/7 21:04
         * @Param []
         * @return double
         **/
        double calculateError() {
        
            // 计算误差
            double error = 0;
            for (int i = 0; i < m_numOutputs; i++) {
        
                error += Math.pow(m_labels.get(0, i) - m_output.get(0, i), 2);
            }
            error /= 2;
            return error;
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //训练BP网络
         * @Date 2023/6/7 19:44
         * @Param []
         * @return void
         **/
        void train() {
        
            // 遍历epochs次训练
            for (int i = 0; i < m_numEpochs; i++) {
        
                // 初始化训练误差
                m_error = 0;
                // 遍历训练数据
                for (int j = 0; j < m_instances.numInstances(); j++) {
        
                    // 获取当前训练样例
                    m_currentInstance = m_instances.instance(j);
                    // 前向传播
                    forwardPropagation();
                    // 反向传播
                    backPropagation();
                }
                // 打印训练误差
                System.out.println("Epoch " + (i + 1) + " error: " + m_error);
                // 训练误差小于0.01，停止训练
                if (m_error < 0.01) {
        
                    break;
                }
            }
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //根据训练数据训练BP网络
         * @Date 2023/6/7 19:12
         * @Param [instances 训练数据]
         * @return void
         **/
        public void buildClassifier(Instances instances) throws Exception {
        
            // 训练数据
            m_instances = instances;
            // 获取训练数据的标签
            m_nominalToBinaryFilter.setInputFormat(m_instances);
            m_instances = Filter.useFilter(m_instances, m_nominalToBinaryFilter);
            m_numInputs = 0;
            // 遍历训练数据，获取输入维度、隐藏层维度、输出维度
            for (int i = 0; i < instances.numAttributes(); i++) {
        
                // 获取输入维度
                if (i != instances.classIndex()) {
        
                    if(instances.attribute(i).numValues()<=2){
        
                        m_numInputs += 1;
                    }
                    else{
        
                        m_numInputs += instances.attribute(i).numValues();
                    }
                } else {
         // 获取输出维度
                    if(instances.attribute(i).numValues()<=2){
        
                        m_numOutputs = 1;
                    }
                    else{
        
                        m_numOutputs = instances.attribute(i).numValues();
                    }
                }
            }
            // 隐藏层维度(输入维度+输出维度) * 2 / 3
            m_numHidden = (m_numInputs + m_numOutputs) * 2 / 3;
            // 初始化输入层
            m_input = new Matrix(1, m_numInputs);
    
            // 初始化权重矩阵
            m_weightsInputHidden = Matrix.random(m_numInputs, m_numHidden);
            m_weightsHiddenOutput = Matrix.random(m_numHidden, m_numOutputs);
    
            // 初始化隐藏层阈值向量
            m_hiddenThresholds = new Matrix(1, m_numHidden);
            // 初始化输出层阈值向量
            m_outputThresholds = new Matrix(1, m_numOutputs);
            // 训练误差
            m_error = 0;
            // 训练
            train();
    
        }
    
        /*
         * @Author YFMan
         * @Description //根据样例分类数据，返回各个类别的概率
         * @Date 2023/6/7 19:11
         * @Param [instance 输入样例]
         * @return double[] 各个类别的概率
         **/
        public double[] distributionForInstance(Instance instance) throws Exception {
        
            // 将输入样例由标称属性转换为二值属性
            m_nominalToBinaryFilter.input(instance);
            m_currentInstance = m_nominalToBinaryFilter.output();
    
            // 前向传播
            forwardPropagation();
            // 如果输出维度为1，返回概率
            double[] result;
            if (m_numOutputs == 1) {
        
                result = new double[2];
                result[0] = 1 - m_output.get(0, 0);
                result[1] = m_output.get(0, 0);
            }
            else{
         // 否则，进行归一化处理
                result = m_output.getRowPackedCopy();
                // 归一化处理
                double sum = 0;
                for (double v : result) {
        
                    sum += v;
                }
                for (int i = 0; i < result.length; i++) {
        
                    result[i] /= sum;
                }
            }
            return result;
        }
    }

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1.  周志华.《机器学习》 ↩︎

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[bp]: https://wenku.baidu.com/view/ee567bb3c2c708a1284ac850ad02de80d4d806c5.html
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