偏微分方程数值解法的MATLAB源码

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2024-03-16 12:38 22阅读 0赞

说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序  
谢谢大家的支持！  
  
其他的数值算法见：  
[..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004][.._Announce_Announce.asp_BoardID_209_id_8245004]  
  
**1****、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）**

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="background-color:#FFFFFF;"> function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典显式格式求解抛物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 &lt;= x &lt;= uX,0 &lt;= t &lt;= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; x -空间变量 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; t -时间变量 %输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; uT -时间变量t的取值上限 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; phi -初值条件，定义为内联函数 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; psi1 -边值条件，定义为内联函数 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; psi2 -边值条件，定义为内联函数 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; M -沿x轴的等分区间数 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; N -沿t轴的等分区间数 % &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; C -系数，默认情况下C=1 % %应用举例： %uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1; %phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %设置参数C的默认值 if nargin==7 &nbsp; &nbsp; C=1; end %计算步长 dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步长比 r1=1-2*r; if r &gt; 0.5 &nbsp; &nbsp; disp('r &gt; 0.5,不稳定') end %计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 &nbsp; &nbsp; U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 &nbsp; &nbsp; U(1,j)=psi1(t(j)); &nbsp; &nbsp; U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐层求解 for j=1:N &nbsp; &nbsp; for i=2:M &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); &nbsp; &nbsp; end end U=U'; %作出图形 mesh(x,t,U); title('古典显式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return; </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

古典显式格式不稳定情况

![29bf5bd2053540168dfd0e036c604759.png][]

古典显式格式稳定情况

![1f441f4235be4717af16cba35340efb3.png][]

**2****、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）**

[.._Announce_Announce.asp_BoardID_209_id_8245004]: http://bbs.upc.edu.cn/Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004
[29bf5bd2053540168dfd0e036c604759.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/16/37462e086af7428c970ae65abd0ace55.png
[1f441f4235be4717af16cba35340efb3.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/16/543ccb9f63654c6c919d1b0d3e2adbe4.png