算法|4.归并排序及应用

偏执的太偏执、 2024-03-16 09:24 61阅读 0赞

## 算法|4.归并排序及应用 ##

### 1.归并排序算法 ###

题意：归并排序的递归和非递归实现

解题思路：

递归实现：

*  预处理：数组为空或者长度小于2的直接返回
 *  调用子过程
 *  子过程终止条件L==R
 *  分解成\[L,mid\]，\[mid+1,R\] ，子数组有序，合并子问题的解，全数组有序
 *  合并使用的是双指针法，最终需要将辅助数组的值再还给原数组。

非递归实现：

*  注意：\*\*当N非常接近整数最大值时，\****必须加那一句`if(mergeSize>N/2){ break;}`不然*2之后可能滚成一个负数**，但是加了只是保证循环能够停止，结果可能最后一部分右组没有归并完成，但是不加很可能死循环。
 *  主要解决的就是拆分过程：两种办法①模拟栈Stack②自底向上有序
 *  这里主要使用第二种，模拟栈的话需要压入的参数就是左右的坐标，可以封装一个成类，针对对象操作，暂无需要，略。
 *  还是先预处理：处理特殊情况
 *  这里引入了步长的概念，多少步长为1组，然后组内有序（直接拷贝到原数组，不再需要辅助数组）
 *  之后不断扩大步长，然后使用merge合并，直至全数组有序

优化的点：

*  这里主要是非递归实现的版本
 *  这里合并使用的是左组和右组——我们每次需要指定左组下标和右组下标
 *  控制左指针的边界条件:L<N
 *  控制中间指针边界条件（左组存在）：mergeSize+L-1，M<N（不满足就是左组不够或者右组没了,不满足直接不做合并）
 *  控制右指针的边界条件(右组存在)：R=M+mergeSize-1,右组只要有够不够都需要做合并，只不过R的值需要重新赋值判断一下去边界值和当前计算的最小值
 *  每次重置步长之后，L的起始位置都是0

核心代码：

递归实现：

//递归实现
    public static void mergeSort1(int[] arr){
        
        if(arr==null||arr.length<2){
        
            return ;
        }
        process(arr,0,arr.length-1);
    }
    
    private static void process(int[] arr, int L, int R) {
        
        if(L==R){
        
            return ;
        }
        int mid=L+((R-L)>>1);
        process(arr,L,mid);
        process(arr,mid+1,R);
        merge(arr,L,mid,R);
    }
    
    private static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
        
        int[] help=new int[R-L+1];
        int index=0;
        int p1=L;
        int p2=M+1;
        while(p1<=M&&p2<=R){
        
            help[index++]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p1++]:arr[p2++];
        }
        while(p1<=M){
        
            help[index++]=arr[p1++];
        }
        while(p2<=R){
        
            help[index++]=arr[p2++];
        }
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
        
            arr[L+i]=help[i];
        }
    }

非递归实现：

//非递归实现
    public static void mergeSort2(int[] arr){
        
        if(arr==null||arr.length<2){
        
            return ;
        }
        int N=arr.length;
        int mergeSize=1;
        while(mergeSize<N){
        
            int L=0;
            while(L<N){
        
                int M=L+mergeSize-1;
                //左组不够了或者根本左组够了，但是右组没有
                if(M>=N){
        
                    break;
                }
                int R=Math.min(M+mergeSize-1,N-1);
                merge(arr,L,M,R);
                L=R+1;
            }
            if(mergeSize>N/2){
        
               break;
            }
            mergeSize<<=1;
        }
    }

测试代码：

// for test
    public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
        
        int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
            arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
        }
        return arr;
    }
    
    // for test
    public static int[] copyArray(int[] arr) {
        
        if (arr == null) {
        
            return null;
        }
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }
    
    // for test
    public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
        
        if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
        
            return false;
        }
        if (arr1 == null && arr2 == null) {
        
            return true;
        }
        if (arr1.length != arr2.length) {
        
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
        
            if (arr1[i] != arr2[i]) {
        
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    // for test
    public static void printArray(int[] arr) {
        
        if (arr == null) {
        
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
    
    // for test
    public static void main(String[] args) {
        
        int testTime = 500000;
        int maxSize = 10;
        int maxValue = 100;
        System.out.println("测试开始");
        for (int i = 0; i < testTime; i++) {
        
            int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
            int[] arr2 = copyArray(arr1);
            mergeSort1(arr1);
            mergeSort2(arr2);
            if (!isEqual(arr1, arr2)) {
        
                System.out.println("Oops!Error!");
                printArray(arr1);
                printArray(arr2);
                break;
            }
        }
        System.out.println("测试结束");
    }

测试结果：

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-z5wiiOeG-1685098557569)(F:\\typora插图\\image-20230526174128752.png)\]][img-z5wiiOeG-1685098557569_F_typora_image-20230526174128752.png]

### 2.小和问题 ###

题意：在一个数组中，一个数左边比它小的数的总和，叫该数的小和，数组中所有数的小和累加起来，叫数组小和。给定一个数组arr，求数组小和。

> 暴力方法：O(N^2)  
> 归并排序应用：O(NlogN)

解题思路：

*  注意：`ans+=arr[p1]<arr[p2]?(R-p2+1)*arr[p1]:0;`在复制之前求
 *  合并过程中计算小和
 *  **小和产生规则：左组拷贝产生小和，右组拷贝不产生小和，相等先拷贝右组**：小和是左边比当前数小的总和。要的是原数组中的小和。
 *  总体来说，是一个规则的转换：左边有多少数比当前数小转变成右边有多少数比当前数要大。
 *  指针不回退技巧：单调的，已经排好序了

对数器：

*  穷举遍历

核心代码：

public static int smallSum(int[] arr){
        
        if(arr==null||arr.length<2){
        
            return 0;
        }
        return process(arr,0,arr.length-1);
    }
    
    private static int process(int[] arr, int L, int R) {
        
        if(L==R){
        
            return 0;
        }
        int mid=L+((R-L)>>1);
        return process(arr,L,mid)+
                process(arr,mid+1,R)+
                    merge(arr,L,mid,R);
    }
    
    private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
        
        int ans=0;
        int[] help=new int[R-L+1];
        int index=0;
        int p1=L;
        int p2=M+1;
        while(p1<=M&&p2<=R){
        
            ans+=arr[p1]<arr[p2]?(R-p2+1)*arr[p1]:0;
            help[index++]=arr[p1]<arr[p2]?arr[p1++]:arr[p2++];
        }
        while(p1<=M){
        
            help[index++]=arr[p1++];
        }
        while(p2<=R){
        
            help[index++]=arr[p2++];
        }
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
        
            arr[L+i]=help[i];
        }
        return ans;
    }

测试代码：

// for test
    public static int test(int[] arr) {
        
        if (arr == null || arr.length < 2) {
        
            return 0;
        }
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        
            for (int j = 0; j < i; j++) {
        
                res += arr[j] < arr[i] ? arr[j] : 0;
            }
        }
        return res;
    }

非特殊情况，不再放生成随机数组代码，只放对数器代码。

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-87ikTikr-1685098557570)(F:\\typora插图\\image-20230526175839813.png)\]][img-87ikTikr-1685098557570_F_typora_image-20230526175839813.png]

### 3.逆序对个数 ###

题意：在一个数组中，任何一个前面的数a，和任何一个后面的数b，如果(a,b)是降序的，就称为降序对。给定一个数组arr，求数组的降序对总数量。

> 暴力方法：O(N^2)  
> 归并排序应用：O（NlogN）

解题思路：

*  注意：`ans+=arr[p1]>arr[p2]?(p2-M):0;help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];`下边拷贝规则相等先右边，上边的顾好！！！！！结合例子反复验算谨慎！！！！！不要再反复改了！醉了…
 *  转换指标：从左向右，当左边比右边大的个数，转换成从右向左，右边比当前左数小的个数
 *  计数规则：左边产生，右边不产生，相等的先拷贝左边的
 *  对应的，归并的顺序改变一下

核心代码：

public static int reversePairNumber(int[] arr){
        if(arr==null||arr.length<2){
            return 0;
        }
        return process(arr,0,arr.length-1);
    }
    
    private static int process(int[] arr, int L, int R) {
        if(L==R){
            return 0;
        }
        int mid=L+((R-L)>>1);
        return process(arr,L,mid)+
                process(arr,mid+1,R)+
                merge(arr,L,mid,R);
    }
    
    private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
        int ans=0;
        int[] help=new int[R-L+1];
        int index=help.length-1;
        int p1=M;
        int p2=R;
        while(p1>=L&&p2>=M+1){
            ans+=arr[p1]>arr[p2]?(p2-M):0;
            help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];
        }
        while(p1>=L){
            help[index--]=arr[p1--];
        }
        while(p2>=M+1){
            help[index--]=arr[p2--];
        }
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[L+i]=help[i];
        }
        return ans;
    }

测试代码：

// for test
    public static int test(int[] arr) {
        
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
        
                if (arr[i] > arr[j]) {
        
                    ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

测试结果：

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YrJznnb5-1685098557571)(F:\\typora插图\\image-20230526181737428.png)\]][img-YrJznnb5-1685098557571_F_typora_image-20230526181737428.png]

### 4.大于其2倍右侧数的个数 ###

题意：在一个数组中，对于任何一个数num，求有多少个(后面的数\*2)依然<num，返回总个数

> 暴力方法：O(N^2)  
> 归并排序方法：O(NlogN)

解题思路：

*  这部分判断逻辑需要单独判断，否则会污染数据或者越界，不容易处理。
 *  本质上来说，归并排序从左向右从右向左均可

核心代码：

public static int reversePairs(int[] arr){
        
        if(arr==null||arr.length<2){
        
            return 0;
        }
        return process(arr,0,arr.length-1);
    }
    
    private static int process(int[] arr, int L, int R) {
        
        if(L==R){
        
            return 0;
        }
        int mid=L+((R-L)>>1);
        return process(arr,L,mid)+
                process(arr,mid+1,R)+
                merge(arr,L,mid,R);
    }
    
    private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
        
        int ans=0;
        //[L,M],[M+1,R]
        //符合要求的是[M+1,p)
        int p=M+1;
        //遍历左组
        for (int i = L; i <= M; i++) {
        
            while(p<=R&&(long)arr[i]>(long)arr[p]*2){
        
                p++;
            }
            ans+=p-M-1;
        }
        int[] help=new int[R-L+1];
        int index=help.length-1;
        int p1=M;
        int p2=R;
        while(p1>=L&&p2>=M+1){
        
            help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];
        }
        while(p1>=L){
        
            help[index--]=arr[p1--];
        }
        while(p2>=M+1){
        
            help[index--]=arr[p2--];
        }
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
        
            arr[L+i]=help[i];
        }
        return ans;
    }

测试代码：

public static int test(int[] arr) {
        
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
        
                if (arr[i] > (arr[j] << 1)) {
        
                    ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

测试结果：

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qxsM0lci-1685098557571)(F:\\typora插图\\image-20230526184057230.png)\]][img-qxsM0lci-1685098557571_F_typora_image-20230526184057230.png]

### 归并算法总结 ###

**算法描述：**

基于分治法的一种排序算法，将全序列拆分成子序列，使子序列有序后，再进行合并得到全有序的序列。

**复杂度分析及算法评价：**

*  时间复杂度：O(nlogn)
 *  空间复杂度：O(logn)
 *  稳定的算法

**改写方法：**

*  抓住指针不回退，单调的即技巧
 *  流程像——顺序决策，与大小有关

**例题总结：**

*  归并排序递归实现：
 *  归并排序非递归实现：判断左组存在，判断右组存在，滚成整数最大值，循环停不下来
 *  小和问题：原则——右组拷贝不产生小和，左组拷贝产生小和，相等时先拷贝右组。**先计算再拷贝**
 *  逆序数对问题：从右向左拷贝；拷贝原则只与左右方向有关，等号斟酌，计算永远在拷贝之前。
 *  左大右的2倍问题：左右无关；可能有数组下标越界风险，单独处理；复制之前的merge记得去掉ans

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