【转载】动态规划详解

太过爱你忘了你带给我的痛 2024-02-21 11:57 54阅读 0赞

> 分享一篇写的很详细很易懂的文章，原文链接如下：
> 
> [看一遍就理解：动态规划详解 - 知乎 (zhihu.com)][- _ _zhihu.com]

## 看一遍就理解：动态规划详解 ##

#### **前言** ####

我们刷leetcode的时候，经常会遇到动态规划类型题目。动态规划问题非常非常经典，也很有技巧性，一般大厂都非常喜欢问。今天跟大家一起来学习动态规划的套路，文章如果有不正确的地方，欢迎大家指出哈，感谢感谢~

*  什么是动态规划？
 *  动态规划的核心思想
 *  一个例子走进动态规划
 *  动态规划的解题套路
 *  leetcode案例分析

![format_png][]

#### **什么是动态规划？** ####

动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

> ★ dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.  
> ”

以上定义来自维基百科，看定义感觉还是有点抽象。简单来说，动态规划其实就是，给定一个问题，我们把它拆成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后呢，把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。

> ★ 一般这些子问题很相似，可以通过函数关系式递推出来。然后呢，动态规划就致力于解决每个子问题一次，减少重复计算,比如斐波那契数列就可以看做入门级的经典动态规划问题。  
> ”

#### **动态规划核心思想** ####

动态规划最核心的思想，就在于**拆分子问题，记住过往，减少重复计算**。

![format_png 1][]

我们来看下，网上比较流行的一个例子：

> ★

*  A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
 *  A ： "上面等式的值是多少"
 *  B ： 计算 "8"
 *  A : 在上面等式的左边写上 "1+" 呢？
 *  A : "此时等式的值为多少"
 *  B : 很快得出答案 "9"
 *  A : "你怎么这么快就知道答案了"
 *  A : "只要在8的基础上加1就行了"
 *  A : "所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"

”

#### **一个例子带你走进动态规划 -- 青蛙跳阶问题** ####

#### **暴力递归** ####

> ★ leetcode原题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。  
> ”

有些小伙伴第一次见这个题的时候，可能会有点蒙圈，不知道怎么解决。其实可以试想：

> ★

*  要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。
 *  同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。
 *  要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。

”

假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n)，很显然就可以得出以下公式：

f（10） = f（9）+f(8)
    f (9)  = f(8) + f(7)
    f (8)  = f(7) + f(6)
    ...
    f(3) = f(2) + f(1)
    
    即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)

那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？

*  当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
 *  当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f（1）= 1；

因此可以用递归去解决这个问题：

class Solution {
        public int numWays(int n) {
        if(n == 1){
            return 1;
        }
         if(n == 2){
            return 2;
        }
        return numWays(n-1) + numWays(n-2);
        }
    }

去leetcode提交一下，发现有问题，超出时间限制了

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为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出**递归树**看看：

![format_png 3][]

*  要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)
 *  然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推。
 *  一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。

我们先来看看这个递归的时间复杂度吧：

递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数

*  一个子问题时间 = f（n-1）+f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)；
 *  问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2^n-1，所以是复杂度O(2^n)。

因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) \* O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。

回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如f（8）被计算了两次，f（7）被重复计算了3次...所以这个递归算法低效的原因，就是**存在大量的重复计算**！

既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。

#### **带备忘录的递归解法（自顶向下）** ####

一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个**备忘录**。

*  第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：

![format_png 4][]

*  第二步， f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~

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第三步， f(8) = f（7）+ f(6),发现f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。

![format_png 6][]

所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：

![format_png 7][]

带**备忘录**的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1),所以带**备忘录**的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢，我们用带**备忘录**的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下：

public class Solution {
        //使用哈希map，充当备忘录的作用
        Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
        public int numWays(int n) {
            // n = 0 也算1种
            if (n == 0) {
                return 1;
            }
            if (n <= 2) {
                return n;
            }
            //先判断有没计算过，即看看备忘录有没有
            if (tempMap.containsKey(n)) {
                //备忘录有，即计算过，直接返回
                return tempMap.get(n);
            } else {
                // 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中，对1000000007取余（这个是leetcode题目规定的）
                tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
                return tempMap.get(n);
            }
        }
    }

去leetcode提交一下，如图，稳了：

![format_png 8][]

其实，还可以用动态规划解决这道题。

#### **自底向上的动态规划** ####

动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：

*  带备忘录的递归，是从f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也称为**自顶向下**的解法。
 *  动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为**自底向上**的解法。

动态规划有几个典型特征，**最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题**。在青蛙跳阶问题中：

*  f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
 *  f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程
 *  f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦
 *  比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。

我们来看下自底向上的解法，从f(1)往f(10）方向，想想是不是直接一个for循环就可以解决啦，如下：

![format_png 9][]

带备忘录的递归解法，空间复杂度是O(n)，但是呢，仔细观察上图，可以发现，f（n）只依赖前面两个数，所以只需要两个变量a和b来存储，就可以满足需求了，因此空间复杂度是O(1)就可以啦

![format_png 10][]

动态规划实现代码如下：

public class Solution {
        public int numWays(int n) {
            if (n<= 1) {
                return 1;
            }
            if (n == 2) {
                return 2;
            }
            int a = 1;
            int b = 2;
            int temp = 0;
            for (int i = 3; i <= n; i++) {
                temp = (a + b)% 1000000007;
                a = b;
                b = temp;
            }
            return temp;
        }
        }

#### **动态规划的解题套路** ####

#### **什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？** ####

> ★ 如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。  
> ”

比如一些求最值的场景，如**最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题**等等，都是动态规划的经典应用场景。

#### **动态规划的解题思路** ####

动态规划的核心思想就是**拆分子问题，记住过往，减少重复计算。** 并且动态规划一般都是自底向上的，因此到这里，基于**青蛙跳阶**问题，我总结了一下我做动态规划的思路：

*  穷举分析
 *  确定边界
 *  找出规律，确定最优子结构
 *  写出状态转移方程

#### **1. 穷举分析** ####

*  当台阶数是1的时候，有一种跳法，f（1） =1
 *  当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
 *  当台阶是3级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第2级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 1级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
 *  当台阶是4级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第3级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 2级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
 *  当台阶是5级时......

![format_png 11][]

#### **2. 确定边界** ####

通过穷举分析，我们发现，当台阶数是1的时候或者2的时候，可以明确知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，当台阶n>=3时，已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。

#### **3. 找规律，确定最优子结构** ####

n>=3时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构？有这么一个解释：

> ★ 一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质  
> ”

#### **4， 写出状态转移方程** ####

通过前面3步，穷举分析，确定边界，最优子结构，我们就可以得出状态转移方程啦：

![55371a10eefe641816e14b928b4f284c.png][]

#### **5. 代码实现** ####

我们实现代码的时候，一般注意从底往上遍历哈，然后关注下边界情况，空间复杂度，也就差不多啦。动态规划有个框架的，大家实现的时候，可以考虑适当参考一下：

dp[0][0][...] = 边界值
    for(状态1 ：所有状态1的值){
        for(状态2 ：所有状态2的值){
            for(...){
              //状态转移方程
              dp[状态1][状态2][...] = 求最值
            }
        }
    }

#### **leetcode案例分析** ####

我们一起来分析一道经典leetcode题目吧

> ★ 给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。  
> ”

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
    输出：4
    解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
    输出：4

我们按照以上动态规划的解题思路，

*  穷举分析
 *  确定边界
 *  找规律，确定最优子结构
 *  状态转移方程

#### **1.穷举分析** ####

因为动态规划，核心思想包括**拆分子问题，记住过往，减少重复计算。** 所以我们在思考原问题：**数组num\[i\]的最长递增子序列长度时**，可以思考下**相关子问题**，比如原问题是否跟**子问题**num\[i-1\]的最长递增子序列长度有关呢？

#### **自顶向上的穷举** ####

这里观察规律，显然是有关系的，我们还是遵循动态规划**自底向上**的原则，基于示例1的数据，从数组只有一个元素开始分析。

*  当nums只有一个元素10时，最长递增子序列是\[10\],长度是1.
 *  当nums需要加入一个元素9时，最长递增子序列是\[10\]或者\[9\],长度是1。
 *  当nums再加入一个元素2时，最长递增子序列是\[10\]或者\[9\]或者\[2\],长度是1。
 *  当nums再加入一个元素5时，最长递增子序列是\[2,5\],长度是2。
 *  当nums再加入一个元素3时，最长递增子序列是\[2,5\]或者\[2,3\],长度是2。
 *  当nums再加入一个元素7时，,最长递增子序列是\[2,5,7\]或者\[2,3,7\],长度是3。
 *  当nums再加入一个元素101时，最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\],长度是4。
 *  当nums再加入一个元素18时，最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\]或者\[2,5,7,18\]或者\[2,3,7,18\],长度是4。
 *  当nums再加入一个元素7时,最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\]或者\[2,5,7,18\]或者\[2,3,7,18\],长度是4.

#### **分析找规律，拆分子问题** ####

通过上面分析，我们可以**发现一个规律**：

如果新加入一个元素nums\[i\], 最长递增子序列要么**是以nums\[i\]结尾的递增子序列**，要么就是**nums\[i-1\]的最长递增子序列**。看到这个，是不是很开心，nums\[i\]的最长递增子序列已经跟**子问题** nums\[i-1\]的最长递增子序列有关联了。

原问题数组nums[i]的最长递增子序列 = 子问题数组nums[i-1]的最长递增子序列/nums[i]结尾的最长递增子序列

是不是感觉成功了一半呢？但是**如何把nums\[i\]结尾的递增子序列也转化为对应的子问题**呢？要是nums\[i\]结尾的递增子序列也跟nums\[i-1\]的最长递增子序列有关就好了。又或者nums\[i\]结尾的最长递增子序列，跟前面子问题num\[j\]（0=<j<i）结尾的最长递增子序列有关就好了，带着这个想法，我们又回头看看穷举的过程：

![format_png 12][]

nums\[i\]的最长递增子序列，不就是**从以数组num\[i\]每个元素结尾的最长子序列集合，取元素最多（也就是长度最长）那个嘛**，所以原问题，我们转化成求出以数组nums每个元素结尾的最长子序列集合，再取**最大值**嘛。哈哈，想到这，我们就可以**用dp\[i\]表示以num\[i\]这个数结尾的最长递增子序列的长度**啦，然后再来看看其中的规律：

![format_png 13][]

其实，**nums\[i\]结尾的自增子序列，只要找到比nums\[i\]小的子序列，加上nums\[i\]** 就可以啦。显然，可能形成多种新的子序列，我们选最长那个，就是dp\[i\]的值啦

> ★

*  nums\[3\]=5,以`5`结尾的最长子序列就是`[2,5]`,因为从数组下标`0到3`遍历，只找到了子序列`[2]`比`5`小，所以就是`[2]+[5]`啦，即`dp[4]=2`
 *  nums\[4\]=3,以`3`结尾的最长子序列就是`[2,3]`,因为从数组下标`0到4`遍历，只找到了子序列`[2]`比`3`小，所以就是`[2]+[3]`啦，即`dp[4]=2`
 *  nums\[5\]=7，以`7`结尾的最长子序列就是`[2,5,7]`和`[2,3,7]`,因为从数组下标`0到5`遍历，找到`2,5和3`都比7小，所以就有`[2,7],[5,7],[3,7],[2,5,7]和[2,3,7]`这些子序列，最长子序列就是`[2,5,7]和[2,3,7]`，它俩不就是以`5`结尾和`3`结尾的最长递增子序列+\[7\]来的嘛！所以，`dp[5]=3 =dp[3]+1=dp[4]+1`。

”

很显然有这个规律：一个以nums\[i\]结尾的数组nums

*  如果存在j属于区间\[0，i-1\],并且num\[i\]>num\[j\]的话，则有，dp(i) =max(dp(j))+1，

#### **最简单的边界情况** ####

当nums数组只有一个元素时，最长递增子序列的长度dp(1)=1,当nums数组有两个元素时，dp(2) =2或者1， 因此边界就是dp(1)=1。

#### **确定最优子结构** ####

从穷举分析，我们可以得出，以下的最优结构：

dp(i) =max(dp(j))+1，存在j属于区间[0，i-1],并且num[i]>num[j]。

**max(dp(j))** 就是最优子结构。

#### **状态转移方程** ####

通过前面分析，我们就可以得出状态转移方程啦：

![format_png 14][]

所以数组num\[i\]的最长递增子序列就是：

最长递增子序列 =max(dp[i])

#### **代码实现** ####

class Solution {
        public int lengthOfLIS(int[] nums) {
            if (nums.length == 0) {
                return 0;
            }
            int[] dp = new int[nums.length];
            //初始化就是边界情况
            dp[0] = 1;
            int maxans = 1;
            //自底向上遍历
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                dp[i] = 1;
                //从下标0到i遍历
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    //找到前面比nums[i]小的数nums[j],即有dp[i]= dp[j]+1
                    if (nums[j] < nums[i]) {
                        //因为会有多个小于nums[i]的数，也就是会存在多种组合了嘛，我们就取最大放到dp[i]
                        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                    }
                }
                //求出dp[i]后，dp最大那个就是nums的最长递增子序列啦
                maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
            }
            return maxans;
        }
    }

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[format_png 14]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/21/4950adb32aeb40afad6b90f289d022c5.png