【机器学习】二、决策树

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2024-02-20 11:16 62阅读 0赞

**目录**

一、决策树定义：

二、决策树特征选择

2.1 特征选择问题

2.2 信息增益

2.2.1 熵

2.2.2 信息增益

三、决策树的生成

3.1 ID3算法

3.1.1理论推导

3.1.2代码实现

3.2 C4.5 算法

3.2.1理论推导

3.2.2代码实现

四、决策树的剪枝

4.1 原理

4.2 算法思路：

五、CART算法

5.1 CART生成

5.1.1 回归树的生成

5.1.2 分类树的生成

比较：

5.1.3 CART生成算法

5.2 CART剪枝

六、代码

6.1 代码

6.2 结果

--------------------

### 一、[决策树][Link 1]定义： ###

分类决策树模型是一种描述对实例进行分类的树形结构。决策树由结点（node）和有向边（directed edge）组成。

结点有两种类型：内部结点（internal node）和叶结点（leaf node）。内部结点表示一个特征或属性，叶结点表示一个类。

⚪：内部结点

正方形：叶结点

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

### 二、决策树[特征选择][Link 2] ###

#### 2.1 特征选择问题 ####

特征选择在于选取对训练数据具有分类能力的特征。这样可以提高决策树学习的效率。如果用一个特征去分类，得到的结果与随机的分类没有很大差别，那么这次分类是无意义的。因此，我们要选取有意义的特征进行分类。

举个例子吧~

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

如上述表格所示，决定买房子要不要贷款的因素有年龄、有无工作、有无房子、信贷情况四个因素。那么如何选取合适的特征因素呢？

**特征选择就是决定用哪个特征来划分特征空间。**

直观上来讲，如果一个特征具有更好的分类能力，或者说，按照各以特征将训练数据集分割成子集，使得各个子集在当前条件下有最好的分类，那么就应该选择这一特征。

**信息增益（information gain）就能够很好的表示这一直观准则。**

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

#### 2.2 [信息增益][Link 3] ####

##### 2.2.1 熵 #####

在统计学中，熵是表示随机变量不确定性的度量。

设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

则随机变量X的熵定义为：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2][]

其中如果pi = 0，则0log0 = 0.

单位为bit或者nat。

上只依赖于X的分布，而与X的取值无关，所以也可将X的熵记作H（p）。

熵越大，随机变量的不确定性越大，从定义可以验证：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_9_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_19_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4][]

**信息增益表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。**

##### 2.2.2 信息增益 #####

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5][]

**选择方法：**

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6][]

**计算方法：**

输入：训练数据集D和特征值A:

输出：特征A队训练数据集D的信息增益g(D,A)，

step1：计算数据集D的经验熵H(D)：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

step2：计算特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A)：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

step3：计算信息增益：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_10_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**举个栗子吧~：**

用上面的表，计算每个特征的信息增益！！！！

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 7][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2][]

所以A3的信息增益值最大，选择A3做最优特征。

### 三、决策树的生成 ###

#### 3.1 ID3算法 ####

ID3算法的核心是在决策树上各个结点上应用信息增益准则选择特征，递归地构建决策树。

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 8][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 9][]

##### 3.1.1理论推导 #####

**对上表用ID3算法建立决策树：**

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 10][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_10_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

##### 3.1.2代码实现 #####

[https://blog.csdn.net/colourful\_sky/article/details/82056125][https_blog.csdn.net_colourful_sky_article_details_82056125]

#### 3.2 C4.5 算法 ####

C4.5算法与ID3类似，C4.5算法对ID3算法进行了改进，C4.5在生产的过程中，用信息增益比来选择特征。

##### 3.2.1理论推导 #####

##### ![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 11][] 3.2.2代码实现 #####

[https://www.cnblogs.com/wsine/p/5180315.html][https_www.cnblogs.com_wsine_p_5180315.html]

### 四、决策树的剪枝 ###

#### 4.1 原理 ####

决策树生成算法递归地产生决策树，直到不能继续下去为止。这样产生的结果容易出现过拟合现象。因为这样生成的决策树过于复杂，所以我们需要对决策树进行简化——剪枝。

**剪枝：在决策树学习中将已生成的树进行简化的过程。**

本次介绍**损失函数最小原则**进行剪枝，即用**正则化的极大似然估计**进行模型选择。

公式这里参考**李航老师**的书：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 12][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 13][]

#### 4.2 算法思路： ####

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_19_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 14][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 15][]

### 五、CART算法 ###

分类与回归树模型（CART, classification and regression tree)是应用广泛的决策树学习方法。

CART由特征选择、树的生成及剪枝组成，既可以用于**回归**也可以用于**分类**。

#### 5.1 CART生成 ####

step1：决策树生成：基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大。

step2：决策树剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时用损失函数最小作为剪枝的标准。

##### 5.1.1 回归树的生成 #####

回归树用平方误差最小化准则，选择特征，生成二叉树。

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 16][]

##### 5.1.2 分类树的生成 #####

分类树用基尼指数最小化准则，选择特征，生成二叉树。

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 17][]![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 18][]

##### **比较：** #####

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

##### 5.1.3 CART生成算法 #####

**原理：**

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 19][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 20][]

**例子：**

还是用上面的的表格吧

step1：计算各个特征的基尼指数，选择最有特征以及其最优切分点。

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

step2：选择基尼指数最小的特征及其对应的切分点

![6426268dffbc4a50bc63519b6d328f9f.png][]

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 15][]

#### 5.2 CART剪枝 ####

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBAbWFnZ2lleWl5aQ_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 21][]

### 六、代码 ###

sklearn中决策树都在‘tree’这个模块中，这个模块总共包含五类：

tree.DecisionTreeClassifier 分类树  
tree.DecisionTreeRegressor 回归树  
tree.export\_graphviz 画图专用  
tree.ExtraTreeClassifier 高随机版本的分类树  
tree.ExtraTreeRegressor 高随机版本的回归树

**这里用分类树举例子**

#### **6.1 代码** ####

#数据准备
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            from sklearn.datasets 
           
           
            import load_breast_cancer
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           breast_cancer = load_breast_cancer()
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            #分离数据
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           breast_cancer
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           x=breast_cancer.data
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           y=breast_cancer.target
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            #训练数据
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            from sklearn.model_selection 
           
           
            import train_test_split
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,random_state=
           
           
            33,test_size=
           
           
            0.3)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            #数据标准化
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            from sklearn.preprocessing 
           
           
            import StandardScaler
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           breast_cancer_ss = StandardScaler()
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           x_train = breast_cancer_ss.fit_transform(x_train)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           x_test = breast_cancer_ss.transform(x_test)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            #分类树
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            from sklearn.tree 
           
           
            import DecisionTreeClassifier
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           dtc = DecisionTreeClassifier()
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           dtc.fit(x_train,y_train)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           dtc_y_predict = dtc.predict(x_test)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
            
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            from sklearn.metrics 
           
           
            import classification_report
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           k=
           
           
            0
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
           j=
           
           
            0
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            for i 
           
           
            in y_test:
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
               
           
           
            if i!=dtc_y_predict[j]:
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
                   k=k+
           
           
            1
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
            
           
               j=j+
           
           
            1
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            print(k)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            print(
           
           
            '预测结果:\n：',dtc_y_predict)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            print(
           
           
            '真是结果:\n:',y_test)
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            print(
           
           
            'Accuracy:',dtc.score(x_test,y_test))
          
          
           
         
         
          
         
         
         
          
          
          
           
         
         
          
         
         
          
          
          
           
           
           
            print(classification_report(y_test,dtc_y_predict,target_names=[
           
           
            'benign',
           
           
            'malignant']))

#### **6.2 结果** ####

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