八皇后问题与其深度优先搜索 (DFS) 解法

超、凢脫俗 2024-02-20 08:47 43阅读 0赞

## **八皇后问题与其深度优先搜索 (DFS) 解法** ##

**题目背景**:

八皇后问题是一个古老而经典的问题。在一个 8x8 的棋盘上，你要放置 8 个皇后，使得这些皇后之间互不攻击。这意味着任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一对角线上。这个问题可以推广到 NxN 的棋盘与 N 个皇后。

**代码解析**:

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 20;
    bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];
    char g[N][N];
    int n;
    
    void dfs (int u)
    {
        
        if (u == n)
        {
        
            for (int i = 0; i < n; ++ i) puts(g[i]);
            puts("");
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++ i)
        {
        
            if (!row[u] && !col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) 
            {
        
                g[u][i] = 'Q';
                row[u] = col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
                dfs (u + 1);
                g[u][i] = '.';
                row[u] = col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            }
        }
    }
    int main()
    {
        
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; ++ i)
        {
        
            for (int j = 0; j < n; ++ j) g[i][j] = '.';
        }
        dfs(0);
        return 0;
    }

1.  **变量定义**:
    
     *  `row[]`, `col[]`: 标记某一行或某一列是否放置了皇后。
     *  `dg[]`, `udg[]`: 标记主对角线和次对角线上是否有皇后。
     *  `g[][]`: 当前棋盘的布局，其中 ‘Q’ 代表皇后，‘.’ 代表空白。
     *  `n`: 棋盘的大小。
2.  **DFS 函数 (dfs)**:
    
     *  如果 `u == n`，则所有皇后都已正确放置，此时打印棋盘。
     *  对于当前的 `u` 行，我们尝试在每一列放置皇后，并检查是否与之前的皇后有冲突。
     *  如果当前位置无冲突，我们在该位置放置皇后，并递归地探索下一行。
     *  递归返回后，我们取消当前的皇后放置，尝试下一列。
3.  **主函数 (main)**:
    
     *  读取棋盘大小 `n`。
     *  初始化棋盘为全空白状态。
     *  从第0行开始调用 DFS 函数。

**核心思想**:

这个问题的解决方案基于回溯的思想，其中 DFS 是回溯的核心策略。我们逐行尝试放置皇后，每次成功放置一个皇后后，我们都深入探索下一行的所有可能性。如果在某个位置放置皇后后发现没有合适的位置可以放置下一个皇后，我们就会返回到上一行，并移动之前放置的皇后到下一个可能的位置。