【算法挨揍日记】day30——300. 最长递增子序列、376. 摆动序列

Myth丶恋晨 2024-02-17 08:55 19阅读 0赞

## 300. 最长递增子序列 ##

[300. 最长递增子序列][300.]

### 题目解析： ###

给你一个整数数组 `nums` ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

**子序列** 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，`[3,6,2,7]` 是数组 `[0,3,1,6,2,2,7]` 的子序列。

![336fd3def5f249e1aae682f54af5ea67.png][]

### 解题思路：、 ###

1.  状态表⽰：

对于线性  dp  ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：

i.  以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii.  以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：

dp\[i\]  表⽰：以  i  位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓递增⼦序列的⻓度。

2.  状态转移⽅程：

对于  dp\[i\]  ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i.  ⼦序列⻓度为  1  ：只能⾃⼰玩了，此时  dp\[i\] = 1  ；

ii.  ⼦序列⻓度⼤于  1  ：  nums\[i\]  可以跟在前⾯任何⼀个数后⾯形成⼦序列。

设前⾯的某⼀个数的下标为  j  ，其中  0 <= j <= i - 1  。

只要  nums\[j\] < nums\[i\]  ，  i  位置元素跟在  j  元素后⾯就可以形成递增序列，⻓度

为  dp\[j\] + 1  。

因此，我们仅需找到满⾜要求的最⼤的  dp\[j\] + 1  即可。

综上，  dp\[i\] = max(dp\[j\] + 1, dp\[i\])  ，其中  0 <= j <= i - 1 && nums\[j\]

< nums\[i\]  。

3.  初始化：

所有的元素「单独」都能构成⼀个递增⼦序列，因此可以将  dp  表内所有元素初始化为  1  。

由于⽤到前⾯的状态，因此我们循环的时候从第⼆个位置开始即可。

4.  填表顺序：

显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」。

5.  返回值：

由于不知道最⻓递增⼦序列以谁结尾，因此返回  dp  表⾥⾯的「最⼤值」。

### 解题代码： ###

class Solution {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
            int n=nums.size();
            vector<int>dp(n,1);
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                for(int j =0;j<i;j++)
                {
                    if(nums[j]<nums[i])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
            int ret=0;
            for(int i=0;i<n;i++)
            ret=max(ret,dp[i]);
            return ret;
        }
    };

## 376. 摆动序列 ##

[376. 摆动序列][376.]

### 题目描述： ###

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 **摆动序列 。**第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。

*  例如， `[1, 7, 4, 9, 2, 5]` 是一个 **摆动序列** ，因为差值 `(6, -3, 5, -7, 3)` 是正负交替出现的。
 *  相反，`[1, 4, 7, 2, 5]` 和 `[1, 7, 4, 5, 5]` 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

**子序列** 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。

给你一个整数数组 `nums` ，返回 `nums` 中作为 **摆动序列** 的 **最长子序列的长度** 。![e75cbae2c5324752ac81d2e4baf85ae3.png][]

### 解题思路： ###

1.  状态表⽰：

对于线性  dp  ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：

i.  以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii.  以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：

dp\[i\]  表⽰「以  i  位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度」。

但是，问题来了，如果状态表⽰这样定义的话，以  i  位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度我们没法

从之前的状态推导出来。因为我们不知道前⼀个最⻓摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因

此，我们需要状态表⽰能表⽰多⼀点的信息：要能让我们知道这⼀个最⻓摆动序列的结尾是递增的

还是递减的。

解决的⽅式很简单：搞两个  dp  表就好了。

f\[i\]  表⽰：以  i  位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆

动序列的⻓度；

g\[i\]  表⽰：以  i  位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆

动序列的⻓度。

2.  状态转移⽅程：

由于⼦序列的构成⽐较特殊，  i  位置为结尾的⼦序列，前⼀个位置可以是  \[0, i - 1\]  的任意

位置，因此设  j  为  \[0, i - 1\]  区间内的某⼀个位置。

对于  f\[i\]  ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i.  ⼦序列⻓度为  1  ：只能⾃⼰玩了，此时  f\[i\] = 1  ；

ii.  ⼦序列⻓度⼤于  1  ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要  nums\[j\] < nums\[i\]  。在满

⾜这个条件下，  j  结尾需要呈现下降状态，最⻓的摆动序列就是  g\[j\] + 1  。

因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的  g\[j\] + 1  。

综上，  f\[i\] = max(g\[j\] + 1, f\[i\])  ，注意使⽤  g\[j\]  时需要判断。

对于  g\[i\]  ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i.  ⼦序列⻓度为  1  ：只能⾃⼰玩了，此时  g\[i\] = 1  ；

ii.  ⼦序列⻓度⼤于  1  ：因为结尾要呈现下降趋势，因此需要  nums\[j\] > nums\[i\]  。在满

⾜这个条件下，  j  结尾需要呈现上升状态，因此最⻓的摆动序列就是  f\[j\] + 1  。

因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的  f\[j\] + 1  。

综上，  g\[i\] = max(f\[j\] + 1, g\[i\])  ，注意使⽤  f\[j\]  时需要判断。

3.  初始化：

所有的元素「单独」都能构成⼀个摆动序列，因此可以将  dp  表内所有元素初始化为  1  。

4.  填表顺序：

毫⽆疑问是「从左往右」。

5.  返回值：

应该返回「两个  dp  表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」。

### 解题代码： ###

class Solution {
    public:
        int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
            int n=nums.size();
            if(n==1)return 1;
            if(n==2&&nums[0]!=nums[1])return 2;
            vector<int>f(n,1);
            vector<int>g(n,1);
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                for(int j=0;j<i;j++)
                {
                    if(nums[i]>nums[j])
                        f[i]=max(g[j]+1,f[i]);
                    if(nums[i]<nums[j])
                        g[i]=max(f[j]+1,g[i]);
                }
            }
            int ret=0;
            for(int i=0;i<n;i++)
                ret=max(ret,max(f[i],g[i]));
            return ret;
        }
    };

###  ###

[300.]: https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/
[336fd3def5f249e1aae682f54af5ea67.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/fb2f6677bd2f419ea6f35dc5fa034a46.png
[376.]: https://leetcode.cn/problems/wiggle-subsequence/
[e75cbae2c5324752ac81d2e4baf85ae3.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/00e6630246934ab18fe64377c7c388ec.png