416. 分割等和子集

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2023-10-16 16:24 24阅读 0赞

#### 416. 分割等和子集 ####

*  题目解析
 *  解题思路
 *   *  01背包问题
     *   *  1. 确定dp数组以及下标的含义
         *  2. 确定递推公式
         *  3. dp数组如何初始化
         *  4. 确定遍历顺序
         *  5. 举例推导dp数组
 *  总结
 *  代码实现

## 题目解析 ##

[力扣入口][Link 1]

题目难易：中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

*  输入: \[1, 5, 11, 5\]
 *  输出: true
 *  解释: 数组可以分割成 \[1, 5, 5\] 和 \[11\].

示例 2:

*  输入: \[1, 2, 3, 5\]
 *  输出: false
 *  解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：  
1 <= nums.length <= 200  
1 <= nums\[i\] <= 100

## 解题思路 ##

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

*  698.划分为k个相等的子集
 *  473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

### 01背包问题 ###

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

**背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。**

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

**即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。**

**要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。**

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

**只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。**

*  背包的体积为sum / 2
 *  背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
 *  背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
 *  背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

#### 1. 确定dp数组以及下标的含义 ####

01背包中，dp\[j\] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp\[j\]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

**套到本题，dp\[j\]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp\[j\]。**

那么如果背包容量为target， dp\[target\]就是装满 背包之后的重量，所以当dp\[target\] == target的时候，背包就装满了。

拿输入数组 \[1, 5, 11, 5\]，举例， dp\[7\] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

而dp\[6\] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp\[6\] == 6，说明背包装满了。

#### 2. 确定递推公式 ####

01背包的递推公式为：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums\[i\]，其价值也是nums\[i\]。

所以递推公式：dp\[j\] = max(dp\[j\], dp\[j - nums\[i\]\] + nums\[i\]);

#### 3. dp数组如何初始化 ####

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，从dp\[j\]的定义来看，首先dp\[0\]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

**这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。**

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

#### 4. 确定遍历顺序 ####

在\*\*动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）\*\*中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

// 开始01背包
    for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
        
    	for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
         // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
    		dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    	}
    }

#### 5. 举例推导dp数组 ####

dp\[j\]的数值一定是小于等于j的。

**如果dp\[j\] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。**

用例1，输入\[1,5,11,5\] 为例，如图：  
![在这里插入图片描述][b6a0439796574c3aa84151e2e4d1e38e.png]  
最后dp\[11\] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

## 总结 ##

这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。

01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums\[i\]，重量是nums\[i\]，价值也是nums\[i\]，背包体积是sum/2。

看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。

## 代码实现 ##

class Solution {
        
       public boolean canPartition(int[] nums){
        
            if(nums == null || nums.length == 0) return false;
            int n = nums.length;
            int sum = 0;
            for(int num : nums){
        
                sum += num;
            }
            // 总和为奇数，不能平分
            if(sum % 2 != 0) return false;
            int target = sum/2;
            int[] dp = new int[target + 1];
            for(int i = 0; i < n; i++){
        
                for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
        
                    //物品i的重量是nums[i], 其价值也是nums[i]
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
                }
    
                // 剪枝一下，每一次完成for-loop，立即检查是否dp[target] == target
                if(dp[target] == target)
                    return true;
            }
            return dp[target] == target;
        }
    }

**参考资料**：[代码随想录-416. 分割等和子集][-416.]

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/
[b6a0439796574c3aa84151e2e4d1e38e.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/b6a0439796574c3aa84151e2e4d1e38e.png
[-416.]: https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE