高等数学：笛卡尔定理（中）

太过爱你忘了你带给我的痛 2023-10-15 19:33 41阅读 0赞

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*  四、阿波罗尼奥斯垫（Apollonian Gasket）

有一类数列，选择四个数字作为种子，它就能依靠特定的递推规则向两头无限增长，并且相邻两项的比值都会趋近于  φ + φ \\varphi + \\sqrt\{\\varphi\} φ\+φ ，而其中的  φ \\varphi φ就是大名鼎鼎的黄金分割比。 比如下面的四个数列，红色的数就是生成整个数列的种子。  ⋯   ,   12563 ,   4346 ,   1503 ,   522 ,   179 ,   62 ,   23 ,   6 ,   3 ,   2 ,   − 1 ,   2 ,   3 ,   6 ,   23 ,   62 ,   179 ,   522 ,   1503 ,   4346 ,   12563 ,   ⋯ ⋯   ,   36295 ,   12558 ,   4342 ,   1507 ,   519 ,   178 ,   66 ,   19 ,   7 ,   6 ,   − 2 ,   3 ,   7 ,   10 ,   42 ,   115 ,   327 ,   958 ,   2758 ,   7971 ,   23047 ,   ⋯ ⋯   ,   28464 ,   9845 ,   3405 ,   1184 ,   404 ,   141 ,   53 ,   12 ,   8 ,   5 ,   − 3 ,   8 ,   12 ,   29 ,   101 ,   276 ,   800 ,   2325 ,   6701 ,   19376 ,   56004 ,   ⋯ ⋯   ,   39695 ,   13730 ,   4763 ,   1638 ,   567 ,   206 ,   59 ,   26 ,   15 ,   − 6 ,   11 ,   14 ,   23 ,   102 ,   267 ,   770 ,   2255 ,   6482 ,   18747 ,   54198 ,   156599 ,   ⋯ \\cdots,\\,12563,\\,4346,\\,1503,\\,522,\\,179,\\,62,\\,23,\\,6,\\,3,\\,\\color\{red\}\{2,\\,-1,\\,2,\\,3\},\\,6,\\,23,\\,62,\\,179,\\,522,\\,1503,\\,4346,\\,12563,\\,\\cdots \\\\ \\cdots,\\,36295,\\,12558,\\,4342,\\,1507,\\,519,\\,178,\\,66,\\,19,\\,7,\\,\\color\{red\}\{6,\\,-2,\\,3,\\,7\},\\,10,\\,42,\\,115,\\,327,\\,958,\\,2758,\\,7971,\\,23047,\\,\\cdots \\\\ \\cdots,\\,28464,\\,9845,\\,3405,\\,1184,\\,404,\\,141,\\,53,\\,12,\\,8,\\,\\color\{red\}\{5,\\,-3,\\,8,\\,12\},\\,29,\\,101,\\,276,\\,800,\\,2325,\\,6701,\\,19376,\\,56004,\\,\\cdots \\\\ \\cdots,\\,39695,\\,13730,\\,4763,\\,1638,\\,567,\\,206,\\,59,\\,26,\\,\\color\{red\}\{15,\\,-6,\\,11,\\,14\},\\,23,\\,102,\\,267,\\,770,\\,2255,\\,6482,\\,18747,\\,54198,\\,156599,\\,\\cdots ⋯,12563,4346,1503,522,179,62,23,6,3,2,−1,2,3,6,23,62,179,522,1503,4346,12563,⋯⋯,36295,12558,4342,1507,519,178,66,19,7,6,−2,3,7,10,42,115,327,958,2758,7971,23047,⋯⋯,28464,9845,3405,1184,404,141,53,12,8,5,−3,8,12,29,101,276,800,2325,6701,19376,56004,⋯⋯,39695,13730,4763,1638,567,206,59,26,15,−6,11,14,23,102,267,770,2255,6482,18747,54198,156599,⋯  
有一种分数加法，它…可谓错得离谱：取两个分数，分子分母分别相加，得到结果。用特殊记号  ⊕ \\oplus ⊕表示它，写成公式的话，长这样：  
 a b ⊕ c d = a + c b + d ( e . g .      1 2 ⊕ 2 3 = 3 5 ) \\dfrac\{a\}\{b\} \\oplus \\dfrac\{c\}\{d\} = \\dfrac\{a+c\}\{b+d\} \\quad \\left(\\mathrm\{e.g.\}\\;\\; \\dfrac\{\\color\{blue\}\{1\}\}\{\\color\{red\}\{2\}\} \\oplus \\dfrac\{\\color\{blue\}\{2\}\}\{\\color\{red\}\{3\}\} = \\dfrac\{\\color\{blue\}\{3\}\}\{\\color\{red\}\{5\}\}\\right) \\\\ ba⊕dc=b\+da\+c(e.g.21⊕32=53)  
你大概觉得写这篇文章的人莫名其妙，堆砌几个八竿子打不着的概念，完全不知所云。

但是假如我说，上面这些东西都和四圆相切有关，你愿意继续阅读吗？

随后的内容会用到反演变换与笛卡尔定理，如果你对二者的概念和性质感到陌生，可以先看看此系列的前两篇文章：

进入正题前，再简单整理一下我们之前探索“四圆相切问题”时得到的重要结论：

阿波罗尼奥斯定理（Apollonius’ Theorem） 对于给定的三个两两相切（但不公切于一点）的圆C\_1, C\_2, C\_3，恰好存在两个圆与C\_1, C\_2, C\_3均相切。  
笛卡尔定理（Descartes’ Theorem） 假设四个两两相切的圆C\_1, C\_2, C\_3, C\_4的有向曲率分别为k\_1, k\_2, k\_3, k\_4，则它们满足关系：(k\_1 + k\_2 + k\_3 + k\_4)^2 = 2(k\_1^2 + k\_2^2 + k\_3^2 + k\_4^2) \\  
反演变换保圆性的完整内容 反演变换中的广义圆（圆与直线）保持形状不变，反形的大小和位置也可以由若干已知量简单导出。  
（接上篇）

费了大力气推导完笛卡尔定理，先休息一下，看三个例子。

## 四、阿波罗尼奥斯垫（Apollonian Gasket） ##

假定我们已经有三圆相切的图案，即三个圆的曲率  k 1 , k 2 , k 3 k\_1,k\_2,k\_3 k1,k2,k3已知，带入笛卡尔定理：  
 ( k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ) 2 = 2 ( k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k 4 2 ) (k\_1 + k\_2 + k\_3 + k\_4)^2 = 2(k\_1^2 + k\_2^2 + k\_3^2 + k\_4^2) \\\\ (k1\+k2\+k3\+k4)2=2(k12\+k22\+k32\+k42)  
为了求出满足四圆相切的  k 4 k\_4 k4 ，可以把上式整理一下：  
 k 4 2 − \[ 2 ( k 1 + k 2 + k 3 ) \] k 4 + \[ 2 ( k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 ) − ( k 1 + k 2 + k 3 ) 2 \] = 0 k\_4^2 - \\left\[2(k\_1+k\_2+k\_3)\\right\] k\_4 + \\left\[ 2(k\_1^2 + k\_2^2 + k\_3^2) - (k\_1+k\_2+k\_3)^2 \\right\] =0 \\\\ k42−\[2(k1\+k2\+k3)\]k4\+\[2(k12\+k22\+k32)−(k1\+k2\+k3)2\]=0  
它是一个关于  k 4 k\_4 k4的一元二次方程，恰好有两个解，这与阿波罗尼奥斯定理的内容对应：有两个不同的圆能够将“三圆相切”补全为“四圆相切”。假设其中一个圆是 C\_\{4\\text\{-\}1\} ，那么四个圆 C\_1,C\_2,C\_3,C\_\{4\\text\{-\}1\} 两两相切。

接下来从中取出三个圆，比如 C\_2,C\_3,C\_\{4\\text\{-\}1\} 。根据阿波罗尼奥斯定理，存在两个不同的圆与这三个圆相切，而其中一个我们已经知道了： C\_1 ，另一个圆则是全新的，把它加入图案。

想象此过程无限执行下去：找出所有三圆相切的组合，对于每组中的三个圆来说，求出两个与它们都相切的第四个圆，并剔除我们已知的圆，把剩下的圆加入图案。最终得到的就是分形图案“阿波罗尼奥斯垫（Apollonian Gasket）”。下面是这类分形的构造过程演示，每一步中新加入的圆用黄色表示。简单来说，每次迭代都是在现有圆之间的空隙中嵌入另一个圆：

阿波罗尼奥斯垫的构造过程  
https://www.zhihu.com/video/1216730289135042560  
从任意一个三圆相切出发，都能构造出类似的分形。但是上面的例子还有一个特殊的地方：所有圆的曲率都是整数。乍一看可能让人感觉不可思议，但是了解笛卡尔定理之后，背后的原理其实格外简单。

假设四个圆 C\_1,C\_2,C\_3,C\_4 两两相切，并且它们的曲率 k\_1,k\_2,k\_3,k\_4 都是整数。现在从中选出三个圆，例如 C\_1,C\_2,C\_3 ，找到两个与它们都相切的圆，那么它们的曲率都满足下面的方程：x^2 - \\left\[2(k\_1+k\_2+k\_3)\\right\] x + \\left\[ 2(k\_1^2 + k\_2^2 + k\_3^2) - (k\_1+k\_2+k\_3)^2 \\right\] =0 \\ 方程的根是多少呢？我们知道其中一个根必然是 k\_4 ，这是已知圆 C\_4 的曲率。根据韦达定理，另一个根就是 2(k\_1+k\_2+k\_3)-k\_4 ，这是未知圆的曲率。由于 k\_1,k\_2,k\_3,k\_4 都是整数，未知圆的曲率2(k\_1+k\_2+k\_3)-k\_4也是整数。因此，最初选择的四个圆都是整数曲率，那么构造分形时产生的新圆也必然是整数曲率！

现在的问题简单多了，只要找到“四个具有整数曲率又两两相切的圆”就行。巧合的是，例子实在是太丰富了：  
 ( − 1 + 2 + 2 + 3 ) 2 = 2 \[ ( − 1 ) 2 + 2 2 + 2 2 + 3 2 \] ( − 2 + 3 + 6 + 7 ) 2 = 2 \[ ( − 2 ) 2 + 3 2 + 6 2 + 7 2 \] ( − 3 + 5 + 8 + 12 ) 2 = 2 \[ ( − 3 ) 2 + 5 2 + 8 2 + 1 2 2 \] ( − 6 + 11 + 14 + 15 ) 2 = 2 \[ ( − 6 ) 2 + 1 1 2 + 1 4 2 + 1 5 2 \] ⋮ (-1+2+2+3)^2 = 2\\left\[(-1)^2+2^2+2^2+3^2\\right\] \\\\ (-2+3+6+7)^2 = 2\\left\[(-2)^2+3^2+6^2+7^2\\right\] \\\\ (-3+5+8+12)^2 = 2\\left\[(-3)^2+5^2+8^2+12^2\\right\] \\\\ (-6+11+14+15)^2 = 2\\left\[(-6)^2+11^2+14^2+15^2\\right\] \\\\ \\vdots (−1\+2\+2\+3)2=2\[(−1)2\+22\+22\+32\](−2\+3\+6\+7)2=2\[(−2)2\+32\+62\+72\](−3\+5\+8\+12)2=2\[(−3)2\+52\+82\+122\](−6\+11\+14\+15)2=2\[(−6)2\+112\+142\+152\]⋮  
这类特殊的阿波罗尼奥斯垫（Apollonian Gasket）有个名字，叫“Integral Apollonian Gasket”，其中的Integral指的就是分形中的圆具有整数曲率。