高等数学：自然对数

不念不忘少年蓝@ 2023-10-15 12:34 51阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  对数的定义
 *  底数和真数的范围
 *  类比乘除法
 *  对数运算法则
 *  自然对数的底
 *  对数函数

对于  a b = N a^\{b\}=N ab=N：

a叫作底数，b叫作指数，N( a b a^\{b\} ab 的结果)叫作a的b次幂。

## 对数的定义 ##

当我们知道底数a和指数b，要求b个a相乘（a的b次幂）的值，进行幂运算就可以。

那么当我们知道底数a和它的若干次幂N的值，要求指数b的值时该怎么办呢？

这里就要引出对数运算了。

对于已知底数a和它的幂N，倒过来求指数的运算叫作对数运算，这个运算（对数）记作  
 l o g a N log\_\{a\}N logaN  
读作“以a为底N的对数”，在这里a依然叫作“底数”，N叫作“真数”。

在前面的例子里  b = l o g a N b=log\_\{a\}N b=logaN

## 底数和真数的范围 ##

关于对数中底数和真数的取值，我们要注意：

（1） a ＞ 0 a＞0 a＞0，且 a ≠ 1 a≠1 a=1。

如果 a ＜ 0 a＜0 a＜0，除少极少数“恰巧”的情况，绝大多数情况下指数是不存在的。

如果 a ＝ 1 a＝1 a＝1，a的任何次幂都还是1，对数变得没有意义。

（2）不论以任何数（ a ＞ 0 ， a ≠ 1 a＞0，a≠1 a＞0，a=1）为底，当真数为1时，对数为0，也就是  l o g a 1 = 0 log\_\{a\}1=0 loga1=0 。

这很容易理解，任何数的0次方都为1，所以只要真数为1，指数必然是0。

（3）底和真数相同时，对数的值为1，也就是  l o g a a = 1 log\_\{a\}a=1 logaa=1

这同样很容易理解，任何数的1次幂就是它本身，所以如果底数和真数相同，就是1次幂。

## 类比乘除法 ##

不少同学在理解对数时存在困难。

因为它的符号比起之前学过的加减乘除指数开方要略微复杂，数值上的对应关系也不那么直观。这里用乘除法来类比指数和对数，以帮助理解。

对于乘法： a ∗ b = N a\*b=N a∗b=N

我们称a为被乘数，b为乘数，N为a和b的积，该式表示b个a相加得到N

对于幂：  a b = N a^\{b\}=N ab=N

我们称a为底数，b为指数，N为a的b次幂，该式表示b个a相乘得到N

对于除法： N / a = b N/a=b N/a=b

我们称N为被除数，a为除数，b为N除以a的商

该式为乘法 a ∗ b = N a\*b=N a∗b=N的逆运算，在已知商N和被乘数a的情况下，求多少个a相加可以得到N

对于对数： l o g a N = b log\_\{a\}N=b logaN=b

我们称N为真数，a为底数，b为以a为底N的对数

该式为幂 a b = N a^\{b\}=N ab=N的逆运算，在已知幂（真数）N和底数a的情况下，求多少个a相乘可以得到N

这样比较下来，是不是对对数更明白了些呢？

这里额外要提到的，就是a*b与b*a虽然结果相同，但它们的含义不同。

a*b表示b个a相加，b*a表示a个b相加，二者不可搞混。

在对数里，b个a相乘（  a b a^\{b\} ab ）和a个b相乘 （ b a b^\{a\} ba）的结果就大不一样了。

对数的表达方式使用了符号log，不像加减乘除指数开方那么简单明了，不妨这样想：

每看到对数表达式：  l o g a M log\_\{a\}M logaM，脑子里自动反应出另一种形式：  a ? = M a^\{?\}=M a?=M，它就是这个“？”

这样在理解和运用对数时会更加直观。

## 对数运算法则 ##

与上篇相类似，我们用乘除法作类比，来帮助理解对数运算法则

（1） l o g a M + l o g a N = l o g a ( M ∗ N ) log\_\{a\}M+log\_\{a\}N=log\_\{a\}(M\*N) logaM\+logaN=loga(M∗N)

原理：（1）对于指数运算有  a p ∗ a q = a p + q a^\{p\}\*a^\{q\}=a^\{p+q\} ap∗aq=ap\+q ，

（2）令 a p = M ， a q = N a^\{p\}=M，a^\{q\}=N ap=M，aq=N，则有 p = l o g a M p=log\_\{a\}M p=logaM， q = l o g a N q=log\_\{a\}N q=logaN，上式：  M ∗ N = a p + q M\*N=a^\{p+q\} M∗N=ap\+q

（3）两边取以a为底的对数： l o g a ( M ∗ N ) = l o g a ( a p + q ) = p + q = l o g a M + l o g a N log\_\{a\}(M\*N)=log\_\{a\}(a^\{p+q\})=p+q=log\_\{a\}M+log\_\{a\}N loga(M∗N)=loga(ap\+q)=p\+q=logaM\+logaN

与乘除法相比较：

（1）对于乘法有 a ∗ p + a ∗ q = a ∗ ( p + q ) a\*p+a\*q=a\*(p+q) a∗p\+a∗q=a∗(p\+q)，

（2）令 a ∗ p = M ， a ∗ q = N a\*p=M，a\*q=N a∗p=M，a∗q=N，则有 p = M / a ， q = N / a p=M/a，q=N/a p=M/a，q=N/a，上式： M + N = a ∗ （ p + q ） M+N=a\*（p+q） M\+N=a∗（p\+q）

（3）两边同时除以a： M / a + N / a = p + q = （ M + N ） / a M/a+N/a=p+q=（M+N）/a M/a\+N/a=p\+q=（M\+N）/a

幂运算里指数之间的加减关系作用于底数之后就是乘除关系。因而两个幂相乘所对应的指数就是分别两个幂的指数相加。

运用  a ? = M a^\{?\}=M a?=M 的方式直观理解：  ? M ?\_\{M\} ?M 个a相乘得M，  ? N ?\_\{N\} ?N个a相乘得N，那么要得 M ∗ N M\*N M∗N，需有 ? M + ? N ?\_\{M\}+?\_\{N\} ?M\+?N个a相乘才行，所以就是 ? M + ? N = ? M ∗ N ?\_\{M\}+?\_\{N\} = ?\_\{M\*N\} ?M\+?N=?M∗N ，也就是 l o g a M + l o g a N = l o g a ( M ∗ N ) log\_\{a\}M+log\_\{a\}N=log\_\{a\}(M\*N) logaM\+logaN=loga(M∗N)

（2）  l o g a M − l o g a N = l o g a ( M / N ) log\_\{a\}M-log\_\{a\}N=log\_\{a\}(M/N) logaM−logaN=loga(M/N)

其原理与（1）类似，把减法看作“加上负数”，除法看作“乘以倒数”就可以，请自行推导、比较。

（3）  l o g a M n = n l o g a M log\_\{a\}M^\{n\}=nlog\_\{a\}M logaMn=nlogaM

原理：（1）  M n = M ∗ M ∗ M ∗ ⋯ ∗ M M^\{n\}=M\*M\*M\*\\cdots\*M Mn=M∗M∗M∗⋯∗M（n个M相乘）

（2）两边同时取以a为底的对数：

左边=  l o g a M n log\_\{a\}M^\{n\} logaMn

右边=  l o g a ( M ∗ M ∗ M ∗ . . . . . . ∗ M ) log\_\{a\}(M\*M\*M\*......\*M) loga(M∗M∗M∗......∗M)（n个M相乘），

（3）根据 l o g a ( M ∗ N ) = l o g a M + l o g a N log\_\{a\}(M\*N)=log\_\{a\}M+log\_\{a\}N loga(M∗N)=logaM\+logaN

右边=  l o g a M + l o g a ( M ∗ M ∗ . . . . . . ∗ M ) log\_\{a\}M+log\_\{a\}(M\*M\*......\*M) logaM\+loga(M∗M∗......∗M) （n-1个M相乘）

= l o g a M + l o g a M + l o g a ( M ∗ . . . . . . ∗ M ) = log\_\{a\}M+log\_\{a\}M+log\_\{a\}(M\*......\*M) =logaM\+logaM\+loga(M∗......∗M)（n-2个M相乘）

⋯ \\cdots ⋯

= l o g a M + l o g a M + l o g a M + . . . . . . + l o g a M = log\_\{a\}M+log\_\{a\}M+log\_\{a\}M+......+log\_\{a\}M =logaM\+logaM\+logaM\+......\+logaM （n个  l o g a M log\_\{a\}M logaM相加）

= n l o g a M = nlog\_\{a\}M =nlogaM

此外：  l o g a m N = l o g a N 1 / m = ( 1 / m ) l o g a N log\_\{a^\{m\}\}N=log\_\{a\}N^\{1/m\}=(1/m)log\_\{a\}N logamN=logaN1/m=(1/m)logaN

证明：令  p = l o g a m N p=log\_\{a^\{m\}\}N p=logamN ，于是 ( a m ) p = N (a^\{m\})^\{p\}=N (am)p=N ，

所以  l o g a N = m ∗ p = m ∗ l o g a m N log\_\{a\}N=m\*p=m\*log\_\{a^\{m\}\}N logaN=m∗p=m∗logamN

（4）换底公式：  l o g a b = l o g c b / l o g c a log\_\{a\}b=log\_\{c\}b/log\_\{c\}a logab=logcb/logca

这是非常有用的公式，可以把不同底的对数换成相同的底，便于进一步运算。

并且这个底是任意选取的，可以根据实际需要自选任何数字（c＞0，c≠1）

证明：令  c p = b ， c q = a ( c = a 1 / q ) c^\{p\}=b ， c^\{q\}=a ( c=a^\{1/q\} ) cp=b，cq=a(c=a1/q)，则有  p = l o g c b ， q = l o g c a p=log\_\{c\}b ， q=log\_\{c\}a p=logcb，q=logca

于是  l o g a b = l o g a c p = p ∗ l o g a c = p ∗ l o g a a 1 / q = p / q = l o g c b / l o g c a log\_\{a\}b=log\_\{a\}c^\{p\}=p\*log\_\{a\}c=p\*log\_\{a\}a^\{1/q\}=p/q=log\_\{c\}b/log\_\{c\}a logab=logacp=p∗logac=p∗logaa1/q=p/q=logcb/logca  
反过来，换底公式可以看作为把相同底的两个对数的除法“合并”成一个数的运算。

## 自然对数的底 ##

我们定义自然对数的底为：  e = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 / n ) n e=\\lim\_\{n \\rightarrow ∞\}\{(1+1/n)^\{n\}\} e=n→∞lim(1\+1/n)n

式子右边表示当n趋近于无穷大的时候  ( 1 + 1 / n ) n (1+1/n)^\{n\} (1\+1/n)n 的取值

e是无理数，它的值约等于2.71828

e更深层次的含义和更多的运用是高等数学的内容，这里只作初步了解

以e为底数的对数通常写作 l n ln ln，比如ln2、ln55.55、  l n ( x 2 + 3 ) ln(x^\{2\}+3) ln(x2\+3) 等。

在当前阶段，把e当成一个普通的无理数就可以了。

此外，以10为底的对数通常写作lg，比如 l g 100 = 2 lg100=2 lg100=2， l g 5 lg5 lg5， l g X lgX lgX等。

## 对数函数 ##

具有形如  f ( x ) = l o g a x f(x)=log\_\{a\}x f(x)=logax 形式的函数叫作对数函数

a ＞ 0 ， a ≠ 1 a＞0，a≠1 a＞0，a=1，函数的定义域为 ( 0 ， + ∞ ) (0，+∞) (0，\+∞)

现在我们来看几个具体函数的例子