高等数学：傅里叶变换（四）

矫情吗；* 2023-10-15 11:59 4阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*   *  3.6 离散傅里叶变换 (DFT)
     *  3.7 二维连续傅里叶变换
     *  3.8 二维离散傅里叶变换 (DFT)

### 3.6 离散傅里叶变换 (DFT) ###

对于采样后函数  f ~ ( t ) = f ( t ) s Δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) \\displaystyle \\tilde\{f\}(t) = f(t)s\_\{\\Delta T\}(t) = \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}f(t)\\delta(t-n\\Delta T) f~(t)=f(t)sΔT(t)=n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)

我们还可以直接进行傅里叶变换 
 F ~ ( μ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ~ ( t ) e − j 2 π μ t d t = ∫ − ∞ + ∞ ∑ n = − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) e − j 2 π μ t d t = ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) e − j 2 π μ t d t = ∑ n = − ∞ ∞ f n e − j 2 π μ n Δ T , \[ f n = f ( n Δ T ) \] \\begin\{aligned\} \\tilde\{F\}(\\mu) &= \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}\\tilde\{f\}(t)e^\{-j 2\\pi \\mu t\}\\mathrm\{d\}t \\\\ &= \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}f(t)\\delta(t-n\\Delta T)e^\{-j 2\\pi \\mu t\}\\mathrm\{d\}t \\\\ &= \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}f(t)\\delta(t-n\\Delta T)e^\{-j 2\\pi \\mu t\}\\mathrm\{d\}t \\\\ &= \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}f\_n e^\{-j 2\\pi \\mu n \\Delta T\}, \\quad \[f\_n=f(n \\Delta T)\] \\\\ \\end\{aligned\} F~(μ) =∫−∞\+∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞\+∞n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞∫−∞\+∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞fne−j2πμnΔT,\[fn=f(nΔT)\] 
我们在之前已经证明了 F ~ ( μ ) \\tilde\{F\}(\\mu) F~(μ) 是以 1 Δ T \\displaystyle \\frac\{1\}\{\\Delta T\} ΔT1 为周期的周期函数, 因此我们这里只考虑 F ~ ( μ ) \\tilde\{F\}(\\mu) F~(μ) 的一个周期 \[ 0 , 1 Δ T \] \\displaystyle \[0, \\frac\{1\}\{\\Delta T\}\] \[0,ΔT1\]

我们在 \\tilde\{F\}(\\mu) 的一个周期 \\displaystyle \[0, \\frac\{1\}\{\\Delta T\}\] 上采样 M 个样本, 即通过  
 μ = m M Δ T , m = 0 , 1 , 2 , ⋯   , M − 1 \\displaystyle \\mu = \\frac\{m\}\{M \\Delta T\}, m = 0,1,2,\\cdots, M-1 μ=MΔTm,m=0,1,2,⋯,M−1

采样得到  
 F m = ∑ n = 0 M − 1 f n e − j 2 π m n / M , m = 0 , 1 , 2 , ⋯   , M − 1 \\displaystyle F\_m = \\sum\_\{n=0\}^\{M-1\}f\_n e^\{-j 2\\pi mn / M\}, m = 0,1,2,\\cdots, M-1 Fm=n=0∑M−1fne−j2πmn/M,m=0,1,2,⋯,M−1  
此即离散傅里叶变换 (DFT).

同理我们有离散傅里叶反变换 (IDFT)  
 f n = 1 M ∑ m = 0 M − 1 F m e j 2 π m n / M , m = 0 , 1 , 2 , ⋯   , M − 1 \\displaystyle f\_n = \\frac\{1\}\{M\}\\sum\_\{m=0\}^\{M-1\}F\_m e^\{j 2\\pi mn / M\}, m = 0,1,2,\\cdots, M-1 fn=M1m=0∑M−1Fmej2πmn/M,m=0,1,2,⋯,M−1

因此有

离散傅里叶变换 (DFT): F ( u ) = ∑ x = 0 M − 1 f ( x ) e − j 2 π u x / M , u = 0 , 1 , 2 , ⋯   , M − 1 \\displaystyle F(u) = \\sum\_\{x=0\}^\{M-1\}f(x) e^\{-j 2\\pi ux / M\}, u = 0,1,2,\\cdots, M-1 F(u)=x=0∑M−1f(x)e−j2πux/M,u=0,1,2,⋯,M−1

离散傅里叶反变换 (IDFT): f ( x ) = 1 M ∑ u = 0 M − 1 F ( u ) e j 2 π u x / M , x = 0 , 1 , 2 , ⋯   , M − 1 \\displaystyle f(x) = \\frac\{1\}\{M\}\\sum\_\{u=0\}^\{M-1\}F(u) e^\{j 2\\pi ux / M\}, x = 0,1,2,\\cdots, M-1 f(x)=M1u=0∑M−1F(u)ej2πux/M,x=0,1,2,⋯,M−1

可以看出表达式不依赖采样间隔和频率间隔, 因此适用于任何均匀取样的有限离散样本集.

并且它们有着无限周期, 周期为 M 的性质.  
 F ( u ) = F ( u + K M ) F(u) = F(u+KM) F(u)=F(u\+KM) f ( u ) = f ( x + K M ) f(u) = f(x+KM) f(u)=f(x\+KM)  
如果我们有

采样间隔为  Δ T \\Delta T ΔT  
则有

总时间长度为  T = M Δ T T = M \\Delta T T=MΔT  
频率间隔为  Δ u = 1 M Δ T = 1 T \\displaystyle \\Delta u = \\frac\{1\}\{M\\Delta T\} = \\frac\{1\}\{T\} Δu=MΔT1=T1  
频域范围为  Ω = M Δ u = 1 Δ T \\displaystyle \\Omega = M \\Delta u = \\frac\{1\}\{\\Delta T\} Ω=MΔu=ΔT1

### 3.7 二维连续傅里叶变换 ###

二维傅里叶变换 F ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( u t + v z ) d t d z \\displaystyle F(u,v) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}f(t,z)e^\{-j 2\\pi(ut+vz)\}\\mathrm\{d\}t\\mathrm\{d\}z F(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)e−j2π(ut\+vz)dtdz

二维傅里叶反变换 f ( t , z ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u , v ) e j 2 π ( u t + v z ) d u d v \\displaystyle f(t,z) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}F(u,v)e^\{j 2\\pi(ut+vz)\}\\mathrm\{d\}u\\mathrm\{d\}v f(t,z)=∫−∞∞∫−∞∞F(u,v)ej2π(ut\+vz)dudv

### 3.8 二维离散傅里叶变换 (DFT) ###

二维离散傅里叶变换 (DFT) F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x / M + v y / N ) \\displaystyle F(u,v) = \\sum\_\{x=0\}^\{M-1\}\\sum\_\{y=0\}^\{N-1\}f(x,y)e^\{-j 2\\pi(ux / M + vy / N)\} F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(ux/M\+vy/N)

二维离散傅里叶反变换 (IDFT) f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x / M + v y / N ) \\displaystyle f(x,y) = \\frac\{1\}\{MN\}\\sum\_\{u=0\}^\{M-1\}\\sum\_\{v=0\}^\{N-1\}F(u,v)e^\{j 2\\pi(ux / M + vy / N)\} f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(ux/M\+vy/N)

旋转性:  
 f ( r , θ + θ 0 ) ⇔ F ( ω , φ + θ 0 ) \\displaystyle f(r,\\theta+\\theta\_0) \\Leftrightarrow F(\\omega, \\varphi+\\theta\_0) f(r,θ\+θ0)⇔F(ω,φ\+θ0)  
其中使用的是极坐标.

平移性:  
 f ( x , y ) e j 2 π ( u 0 x / M + v 0 y / N ) ⇔ F ( u − u 0 , v − v 0 ) f ( x − x 0 , y − y 0 ) ⇔ F ( u , v ) e − j 2 π ( x 0 u / M + y 0 v / N ) \\displaystyle f(x,y)e^\{j 2\\pi(u\_0x / M + v\_0y / N)\} \\Leftrightarrow F(u-u\_0,v-v\_0) \\displaystyle f(x-x\_0,y-y\_0) \\Leftrightarrow F(u,v)e^\{-j 2\\pi(x\_0u / M + y\_0v / N)\} f(x,y)ej2π(u0x/M\+v0y/N)⇔F(u−u0,v−v0)f(x−x0,y−y0)⇔F(u,v)e−j2π(x0u/M\+y0v/N)  
如果我们令  u 0 = M / 2 , v 0 = N / 2 u\_0=M/2, v\_0=N/2 u0=M/2,v0=N/2, 则有  
 f ( x , y ) ( − 1 ) x + y ⇔ F ( u − M / 2 , v − N / 2 ) f(x,y)(-1)^\{x+y\} \\Leftrightarrow F(u-M/2,v-N/2) f(x,y)(−1)x\+y⇔F(u−M/2,v−N/2)  
幅度, 相角与功率谱:

极坐标表示:  F ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ e j ϕ ( u , v ) \\displaystyle F(u,v)=|F(u,v)|e^\{j\\phi(u,v)\} F(u,v)=∣F(u,v)∣ejϕ(u,v)  
幅度 (傅里叶谱):  ∣ F ( u , v ) ∣ = \[ R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) \] 1 2 |F(u,v)| = \[R^\{2\}(u,v)+I^\{2\}(u,v)\]^\{\\frac\{1\}\{2\}\} ∣F(u,v)∣=\[R2(u,v)\+I2(u,v)\]21  
相角  ( \[ − π , π \] ) (\[-\\pi, \\pi\]) (\[−π,π\]): ϕ ( u , v ) = arctan ⁡ \[ I ( u , v ) R ( u , v ) \] \\displaystyle \\phi(u,v) = \\arctan \\left\[ \\frac\{I(u,v)\}\{R(u,v)\} \\right\] ϕ(u,v)=arctan\[R(u,v)I(u,v)\]  
功率谱:  P ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 = R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) P(u,v) = |F(u,v)|^\{2\} = R^\{2\}(u,v) + I^\{2\}(u,v) P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)\+I2(u,v)  
二维离散卷积:  
 f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 f ( m , n ) h ( x − m , y − n ) \\displaystyle f(x,y)\*h(x,y) = \\sum\_\{m=0\}^\{M-1\}\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}f(m,n)h(x-m,y-n) f(x,y)∗h(x,y)=m=0∑M−1n=0∑N−1f(m,n)h(x−m,y−n)  
该式给出了一个二维周期序列中的一个周期, 因此也被称为循环卷积

f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) ⇔ F ( u , v ) H ( u , v ) f ( x , y ) h ( x , y ) ⇔ F ( u , v ) ∗ H ( u , v ) f(x,y)\*h(x,y) \\Leftrightarrow F(u,v)H(u,v)\\\\ f(x,y)h(x,y) \\Leftrightarrow F(u,v)\*H(u,v) f(x,y)∗h(x,y)⇔F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)⇔F(u,v)∗H(u,v)  
要理解循环卷积, 我们可以使用一个一维序列来说明:

对于  y ( x ) = f ( x ) ∗ h ( x ) = ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 f ( m , n ) h ( x − m , y − n ) \\displaystyle y(x) = f(x)\*h(x) = \\sum\_\{m=0\}^\{M-1\}\\sum\_\{n=0\}^\{N-1\}f(m,n)h(x-m,y-n) y(x)=f(x)∗h(x)=m=0∑M−1n=0∑N−1f(m,n)h(x−m,y−n)

用矩阵形式表示就是  
 \[ y ( 0 ) y ( 1 ) y ( 2 ) ⋮ y ( M − 1 ) \] = \[ h ( 0 ) h ( M − 1 ) h ( M − 2 ) ⋯ h ( 1 ) h ( 1 ) h ( 0 ) h ( M − 1 ) ⋯ h ( 2 ) h ( 2 ) h ( 1 ) h ( 0 ) ⋯ h ( 3 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ h ( M − 1 ) h ( M − 2 ) h ( M − 3 ) ⋯ h ( 0 ) \] \[ f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) ⋮ f ( M − 1 ) \] \\begin\{bmatrix\} y(0) \\\\ y(1) \\\\ y(2) \\\\ \\vdots \\\\ y(M-1) \\\\\\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} h(0) & h(M-1) & h(M-2) & \\cdots & h(1) \\\\ h(1) & h(0) & h(M-1) & \\cdots & h(2) \\\\ h(2) & h(1) & h(0) & \\cdots & h(3) \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots\\\\ h(M-1) & h(M-2) & h(M-3) & \\cdots &h(0) \\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\} f(0) \\\\ f(1) \\\\ f(2) \\\\ \\vdots \\\\ f(M-1) \\\\\\end\{bmatrix\} y(0)y(1)y(2)⋮y(M−1)=h(0)h(1)h(2)⋮h(M−1)h(M−1)h(0)h(1)⋮h(M−2)h(M−2)h(M−1)h(0)⋮h(M−3)⋯⋯⋯⋮⋯h(1)h(2)h(3)⋮h(0)f(0)f(1)f(2)⋮f(M−1)  
可以看出, 如果周期过于相近的话, 会产生缠绕错误, 所以我们要在  f ( x ) f(x) f(x)和  h ( x ) h(x) h(x)末尾处进行零填充, 使得  M ≥ M f + M h − 1 M \\ge M\_\{f\}+M\_\{h\}-1 M≥Mf\+Mh−1.

二维同理, 也要进行零填充.

但是有一个问题, 我们如何对频率域滤波器  H ( u , v ) H(u,v) H(u,v) 进行零填充?

先将  H ( u , v ) H(u,v) H(u,v) 转为空间域的  h ( x , y ) h(x,y) h(x,y), 进行零填充后再转回来  
会出现振铃现象, 因此并不实用

不进行零填充, 直接构造一个与  F ( u , v ) F(u,v) F(u,v) 一样大小的  H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)  
没有完全解决缠绕问题, 但是问题不大, 因为图像已经经过零填充了

频率域滤波步骤:

给定一副大小为  M × N M \\times N M×N的输入图像  f ( x , y ) f(x, y) f(x,y), 选择填充参数 P 和 Q. 典型地, 我们选择  P = 2 M P = 2M P=2M 和  Q = 2 N Q = 2N Q=2N.  
对  f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)添加必要数量的 0, 形成大小为  P × Q P × Q P×Q的填充后图像  f p ( x , y ) f\_\{p\}(x, y) fp(x,y).  
用  ( − 1 ) x + y (−1)^\{x+y\} (−1)x\+y 乘以  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)移到其变换的中心.  
计算来自步骤 3 的图像的 DFT, 得到  F ( u , v ) F(u, v) F(u,v).  
生成一个实的、对称的滤波函数  H ( u , v ) H(u, v) H(u,v), 其大小为  P × Q P \\times Q P×Q, 中心在  ( P / 2 , Q / 2 ) (P / 2, Q / 2) (P/2,Q/2)处. 用阵列相乘形成乘积  G ( u , v ) = H ( u , v ) F ( u , v ) G(u,v)=H(u,v)F(u,v) G(u,v)=H(u,v)F(u,v).  
得到处理后的图像:  g p ( x , y ) = \{ real ⁡ \[ I − 1 \[ G ( u , v ) \] \] \} ( − 1 ) x + y g\_\{p\}(x,y) = \\\{ \\operatorname\{real\}\[\\mathfrak\{I\}^\{-1\}\[G(u,v)\]\] \\\}(-1)^\{x+y\} gp(x,y)=\{ real\[I−1\[G(u,v)\]\]\}(−1)x\+y  
通过  g p ( x , y ) g\_\{p\}(x,y) gp(x,y)的左上象限提取  M × N M \\times N M×N 区域，得到最终处理结果  g ( x , y ) g(x,y) g(x,y).