麦克斯韦方程组（下）

古城微笑少年丶 2023-10-15 11:18 20阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  3 边值关系
 *   *  3.1 电场的跃变
     *  3.2 磁场的跃变
 *  4 势场的边界条件
 *   *  4.1 电势
     *  4.2 磁势

## 3 边值关系 ##

对于一个特定的问题，只知道描述物理场的方程是不能得到唯一解的。边值关系用于确定实际问题中的边界条件与衔接条件，这样才能得到电磁场的定解。

边值关系描述的是在两种介质的交界处，物理量（E、D、B、H）的切向和法向跃变情况，有如下四种。  
 \{ e n × ( E 2 − E 1 ) = 0 e n × ( H 2 − H 1 ) = α e n ⋅ ( D 2 − D 1 ) = σ e n ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 \\left\\\{ \\begin\{array\}\{l\} \\mathbf\{e\}\_n \\times(\\mathbf\{E\}\_2-\\mathbf\{E\}\_1)=0 \\\\ \\mathbf\{e\}\_n \\times(\\mathbf\{H\}\_2-\\mathbf\{H\}\_1)=\\mathbf\{\\alpha\} \\\\ \\mathbf\{e\}\_n \\cdot(\\mathbf\{D\}\_2-\\mathbf\{D\}\_1)=\\sigma \\\\ \\mathbf\{e\}\_n \\cdot(\\mathbf\{B\}\_2-\\mathbf\{B\}\_1)=0 \\end\{array\} \\right. ⎩⎨⎧en×(E2−E1)=0en×(H2−H1)=αen⋅(D2−D1)=σen⋅(B2−B1)=0

### 3.1 电场的跃变 ###

电场强度E  
结合图3.1和  e n × ( E 2 − E 1 ) = 0 \\mathbf\{e\}\_n \\times(\\mathbf\{E\}\_2-\\mathbf\{E\}\_1)=0 en×(E2−E1)=0 可以发现，电场强度切向分量是连续的，法向分量存在跃变。

通过取表面的一个圆柱体，可以利用高斯定理计算出切向分量的跃变。则电场强度的边值关系为，  
 \{ E t 1 = E t 2 E n 2 − E n 1 = σ f + σ p ε 0 \\left\\\{ \\begin\{array\}\{l\} E\_\{t1\}=E\_\{t2\} \\\\ E\_\{n2\}-E\_\{n1\}=\\frac\{\\sigma\_f+\\sigma\_p\}\{\\varepsilon\_0\} \\end\{array\} \\right. \{ Et1=Et2En2−En1=ε0σf\+σp  
这里的  σ f \\sigma\_f σf 是自由电荷密度。  σ p \\sigma\_p σp是束缚电荷密度。

Figure3.1 磁感应强度的跃变示意图  
电位移矢量D  
同样地，根据高斯定理，得到D的法向跃变为，  
 D n 2 − D n 1 = σ f D\_\{n2\}-D\_\{n1\}=\\sigma\_f Dn2−Dn1=σf  
这些式子也蕴含了跃变的原因——介质表面出现自由电荷，这些电荷在导体表面产生电场，使得场量发生了跃变。

### 3.2 磁场的跃变 ###

磁感应强度B  
结合图3.2。由  e n ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 \\mathbf\{e\}\_n \\cdot(\\mathbf\{B\}\_2-\\mathbf\{B\}\_1)=0 en⋅(B2−B1)=0 ，可以很明显地看出磁场在经过分界面之后，法向分量连续，切向分量不连续，即，  
 B n 1 = B n 2 B\_\{n1\}=B\_\{n2\} Bn1=Bn2

Figure3.2 磁感应强度的跃变示意图  
磁场强度H  
在  e n × ( H 2 − H 1 ) = α \\mathbf\{e\}\_n \\times(\\mathbf\{H\}\_2-\\mathbf\{H\}\_1)=\\mathbf\{\\alpha\} en×(H2−H1)=α 中， \\mathbf\{\\alpha\} 为电流密度矢量。根据安培环路定理，磁场强度的切向跃变为，  
 H n 2 − H n 1 = α f H\_\{n2\}-H\_\{n1\}=\\alpha\_f Hn2−Hn1=αf  
同时也说明，面电流的分布导致了磁场场量的跃变。

## 4 势场的边界条件 ##

在解决实际问题时，我们通常不直接解有关电场强度或者磁场强度的方程，而是解关于势的二阶偏微分方程，即，

Δ φ = f \\Delta \\varphi=f Δφ=f （f为0时为拉普拉斯方程，不为0时为泊松方程）

为了解这个稳定场方程，还需要足够的边界条件。所以我们还需要找出电势和磁势的边界条件。

### 4.1 电势 ###

根据第三节的分析，在分界面上，电场强度是有跃变的。但这个跃变是有限的，因此对于电荷在分界面上的微小位移，做功为，  
 W = Δ E Δ x → 0 W=\\Delta E\\Delta x\\rightarrow0 W=ΔEΔx→0  
因此在介质分界面上的电势是连续的，边界条件可以写为，  
 φ 1 = φ 2 \\varphi\_1=\\varphi\_2 φ1=φ2

Figure4.1 磁感应强度的跃变示意图  
对于电位移矢量的边值关系，我们还能得到一条电势的边界条件。  
 D 1 − D 2 = ε 1 E 1 − ε 2 E 2 = ε 2 ∂ φ 2 ∂ n − ε 1 ∂ φ 1 ∂ n = − σ D\_1-D\_2=\\varepsilon\_1E\_1-\\varepsilon\_2E\_2 =\\varepsilon\_2\\frac\{\\partial\\varphi\_2\}\{\\partial n\}-\\varepsilon\_1\\frac\{\\partial\\varphi\_1\}\{\\partial n\}=-\\sigma D1−D2=ε1E1−ε2E2=ε2∂n∂φ2−ε1∂n∂φ1=−σ  
综上，电势的边界条件为，  
 \{ φ 1 = φ 2 ε 2 ∂ φ 2 ∂ n − ε 1 ∂ φ 1 ∂ n = − σ \\left\\\{ \\begin\{array\}\{l\} \\varphi\_1=\\varphi\_2 \\\\ \\varepsilon\_2\\frac\{\\partial\\varphi\_2\}\{\\partial n\}-\\varepsilon\_1\\frac\{\\partial\\varphi\_1\}\{\\partial n\}=-\\sigma \\end\{array\} \\right. \{ φ1=φ2ε2∂n∂φ2−ε1∂n∂φ1=−σ

### 4.2 磁势 ###

电势我们在电磁学中就已经接触过。类比一下电场，则磁场也可以有“势”的概念。但有一个问题——磁场是有旋度的，这使得磁场无法引入标势。

根据  ∇ × B = μ J f \\nabla \\times \\mathbf\{B\} = \\mu\\mathbf\{J\}\_f ∇×B=μJf，可以引入矢势  A \\mathbf\{A\} A ，使得  B = ∇ × A \\mathbf\{B\}= \\nabla \\times \\mathbf\{A\} B=∇×A ，于是，  
 Δ A = − μ J \\Delta\\mathbf\{A\}=-\\mu\\mathbf\{J\} ΔA=−μJ  
如果我们选取的空间区域包含电流，那么磁场就是个局域的无旋场，通过这样的方式，就可以和电场一样引入标势  φ \\varphi φ ，则，  
 Δ φ = − ρ μ 0 \\Delta \\varphi=-\\frac\{\\rho\}\{\\mu\_0\} Δφ=−μ0ρ  
磁矢势  
磁矢势A的环路积分是磁通量，由于B的法向分量是连续的，所以A的法向分量也是连续的。

另外，选取库伦规范，  ∇ ⋅ A = 0 \\nabla \\cdot A=0 ∇⋅A=0，使得切向分量连续（类比电场），综上可得，  
 A 1 = A 2 \\mathbf\{A\_1\}=\\mathbf\{A\_2\} A1=A2  
磁标势  
磁标势的引入和电势相同，也有着类似的性质关系。  
 \{ φ 1 = φ 2 ∂ φ 2 ∂ n − ∂ φ 1 ∂ n = − α \\left\\\{ \\begin\{array\}\{l\} \\varphi\_1=\\varphi\_2 \\\\ \\frac\{\\partial\\varphi\_2\}\{\\partial n\}-\\frac\{\\partial\\varphi\_1\}\{\\partial n\}=-\\alpha \\end\{array\} \\right. \{ φ1=φ2∂n∂φ2−∂n∂φ1=−α