高等数学：线性代数-第五章

- 日理万妓 2023-10-15 09:36 145阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  第5章 相似矩阵及二次型
 *   *  5.1 向量的内积、长度及正交性
     *  5.2 方阵的特征值与特征向量
     *  5.3 相似矩阵
     *  5.4 对称矩阵的对角化
     *  5.5 二次型及其标准型
     *  5.6 正定二次型

## 第5章 相似矩阵及二次型 ##

### 5.1 向量的内积、长度及正交性 ###

内积 设有 n 维向量  
 x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) \\bm x= \\begin\{pmatrix\} x\_1 \\\\ x\_2 \\\\ \\vdots \\\\ x\_n \\\\ \\end\{pmatrix\},~ \\bm y= \\begin\{pmatrix\} y\_1 \\\\ y\_2 \\\\ \\vdots \\\\ y\_n \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ x=x1x2⋮xn,y=y1y2⋮yn  
令  
 \[ x , y \] = ∑ i = 1 n x i y y \[\\bm x,\\bm y\]=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_iy\_y \\\\ \[x,y\]=i=1∑nxiyy  
则称  \[ x , y \] \[\\bm x,\\bm y\] \[x,y\]为向量  x \\bm x x 与  y \\bm y y 的内积。

内积具有下列性质：  
 \[ x , y \] = \[ y , x \] \[ λ x , y \] = λ \[ x , y \] \[ x + y , z \] = \[ x , z \] + \[ y , z \] \[\\bm x,\\bm y\]=\[\\bm y,\\bm x\] \[\\lambda\\bm x,\\bm y\]=\\lambda\[\\bm x,\\bm y\] \[\\bm x+\\bm y,\\bm z\]=\[\\bm x,\\bm z\]+\[\\bm y,\\bm z\] \[x,y\]=\[y,x\]\[λx,y\]=λ\[x,y\]\[x\+y,z\]=\[x,z\]\+\[y,z\]  
Cauchy-Schwarz不等式  
 \[ x , y \] 2 ≤ \[ x , x \] \[ y , y \] \[\\bm x,\\bm y\]^2\\leq\[\\bm x,\\bm x\]\[\\bm y,\\bm y\] \\\\ \[x,y\]2≤\[x,x\]\[y,y\]  
向量的长度（2-范数） 令  
 ∣ ∣ x ∣ ∣ = \[ x , x \] = ∑ i = 1 n x i 2 \\vert\\vert\\bm x\\vert\\vert=\\sqrt\{\[\\bm x,\\bm x\]\}=\\sqrt\{\\sum\_\{i=1\}^n x\_i^2\} \\\\ ∣∣x∣∣=\[x,x\]=i=1∑nxi2  
则称  ∣ ∣ x ∣ ∣ \\vert\\vert\\bm x\\vert\\vert ∣∣x∣∣为向量  x \\bm x x的长度，又称2-范数。

夹角 令  
 θ = arctan ⁡ \[ x , y \] ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ y ∣ ∣ \\theta=\\arctan\{\\frac\{\[\\bm x,\\bm y\]\}\{\\vert\\vert\\bm x\\vert\\vert\\vert\\cdot\\vert\\bm y\\vert\\vert\}\} \\\\ θ=arctan∣∣x∣∣∣⋅∣y∣∣\[x,y\]  
则称  θ \\theta θ为向量  x \\bm x x与  y \\bm y y的夹角。

正交 当  \[ x , y \] = 0 \[\\bm x,\\bm y\]=0 \[x,y\]=0时，称向量  x \\bm x x 与  y \\bm y y正交。

向量  x \\bm x x 与  y \\bm y y 正交时，  θ = 0 \\theta=0 θ=0 .

正交矩阵 如果 n 阶矩阵  A \\bm A A满足  
 A T A = E \\bm A^\\mathrm T\\bm A=\\bm E \\\\ ATA=E  
即  
 A − 1 = A T \\bm A^\{-1\}=\\bm A^\\mathrm T \\\\ A−1=AT  
则称矩阵 \\bm A 为正交矩阵，简称正交阵。

### 5.2 方阵的特征值与特征向量 ###

特征值 设  A \\bm A A 是 n 阶矩阵，如果数  λ \\lambda λ 和 n 维非零列向量  x \\bm x x 使  
 A x = λ x \\bm\{Ax\}=\\lambda\\bm x \\\\ Ax=λx  
成立，则  λ \\lambda λ 称为矩阵  A \\bm A A 的特征值，  x \\bm x x 称为  A \\bm A A的对应于特征值  λ \\lambda λ 的特征向量。

特征方程 方程  A x = λ x \\bm\{Ax\}=\\lambda\\bm x Ax=λx可写成  
 ( A − λ E ) x = 0 (\\bm\{A\}-\\lambda\\bm E)\\bm x=\\bm 0 \\\\ (A−λE)x=0  
它有非零解的充分必要条件是  ∣ A x − λ E ∣ = 0 |\\bm\{Ax\}-\\lambda\\bm E|=0 ∣Ax−λE∣=0 ，即  
 ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = 0 \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\}-\\lambda & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\}-\\lambda & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\}-\\lambda \\\\ \\end\{vmatrix\} = 0 \\\\ a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann−λ=0  
上式称为矩阵  A \\bm A A的特征方程。多项式  f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ f(\\lambda)=|\\bm\{A\}-\\lambda\\bm E| f(λ)=∣A−λE∣称为矩阵  A \\bm A A 的特征多项式。矩阵  A \\bm A A的特征值就是该矩阵特征方程的解。

对于矩阵  A \\bm A A的 n 个特征值，满足：  
 ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \\sum\_\{i=1\}^n\\lambda\_i=\\sum\_\{i=1\}^n a\_\{ii\}\\\\ \\prod\_\{i=1\}^n\\lambda\_i=|\\bm A| i=1∑nλi=i=1∑naiii=1∏nλi=∣A∣

### 5.3 相似矩阵 ###

相似矩阵 设  A \\bm A A 、  B \\bm B B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵  P \\bm P P ，使得  
 P − 1 A P = B \\bm P^\{-1\}\\bm\{AP\}=\\bm B \\\\ P−1AP=B  
则称矩阵  A \\bm A A与  B \\bm B B 相似，对  A \\bm A A 进行  P − 1 A P \\bm P^\{-1\}\\bm\{AP\} P−1AP 运算称为对  A \\bm A A 进行相似变换，可逆矩阵  P \\bm P P 称为把  A \\bm A A 变成  B \\bm B B 的相似变换矩阵。

若矩阵  A \\bm A A 与  B \\bm B B 相似，则  A \\bm A A 与  B \\bm B B的特征多项式相同，进而特征值也相同。

若 n 阶矩阵  A \\bm A A与对角矩阵  
 Λ = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \\bm\\Lambda= \\begin\{pmatrix\} \\lambda\_1\\\\ &\\lambda\_2\\\\ &&\\ddots\\\\ &&&\\lambda\_n\\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ Λ=λ1λ2⋱λn  
相似，则  λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \\lambda\_1,\\lambda\_2,\\cdots,\\lambda\_n λ1,λ2,⋯,λn即是  A \\bm A A的 n 个特征值。

矩阵对角化 寻求相似变换矩阵  P \\bm P P ，使得  P − 1 A P = Λ \\bm P^\{-1\}\\bm\{AP\}=\\bm\\Lambda P−1AP=Λ 为对角矩阵，这样的过程称为矩阵对角化。

n 阶矩阵  A \\bm A A 能对角化的充分必要条件是  A \\bm A A有 n 个线性无关的特征向量。

### 5.4 对称矩阵的对角化 ###

定理 设  A \\bm A A为 n 阶对称矩阵，  λ \\lambda λ是  A \\bm A A的特征方程的 k 重根，则矩阵  A − λ E \\bm A-\\lambda\\bm E A−λE 的秩  R ( A − λ E ) = n − k R(\\bm A-\\lambda\\bm E)=n-k R(A−λE)=n−k ，从而对应特征值  λ \\lambda λ 恰有 k 个线性无关的特征向量。

### 5.5 二次型及其标准型 ###

二次型 含有 n 个变量  x 1 , x 2 , ⋯   , x n x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n x1,x2,⋯,xn的二次齐次函数  
 f = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j f=f(x\_1,x\_2,\\cdots,x\_n)=\\sum\_\{i,j=1\}^\{n\}a\_\{ij\}x\_ix\_j \\\\ f=f(x1,x2,⋯,xn)=i,j=1∑naijxixj  
称为二次型。特别地，当  a i j a\_\{ij\} aij为复数时， f 称为复二次型；当  a i j a\_\{ij\} aij 为实数时， f 称为实二次型。

标准型 对于二次型，若有可逆的线性变换  
 x i = ∑ k = 1 n c i k y k , 1 ≤ k ∈ Z ≤ n x\_i=\\sum\_\{k=1\}^nc\_\{ik\}y\_k,~~1\\leq k\\in\\mathbb Z\\leq n \\\\ xi=k=1∑ncikyk,1≤k∈Z≤n  
使二次型只含平方项，也就是说  
 f = ∑ i = 1 n k i y i 2 f=\\sum\_\{i=1\}^nk\_iy\_i^2 \\\\ f=i=1∑nkiyi2  
成立。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）。

规范型 如果标准型的系数  k i k\_i ki 满足  
 k i ∈ \{ − 1 , 0 , 1 \} k\_i\\in\\\{-1,0,1\\\} \\\\ ki∈\{ −1,0,1\}  
，则该标准型称为二次型的规范型。

二次型的矩阵 二次型  
 f = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j f=\\sum\_\{i,j=1\}^\{n\}a\_\{ij\}x\_ix\_j \\\\ f=i,j=1∑naijxixj  
可写成  
 f = ( x 1 x 2 ⋯ x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) f= \\begin\{pmatrix\} x1 & x2 & \\cdots & x\_n \\\\ \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} x1 \\\\ x2 \\\\ \\vdots \\\\ x\_n \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ f=(x1x2⋯xn)a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮annx1x2⋮xn  
记  
 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \\bm A= \\begin\{pmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{pmatrix\},~~ \\bm x= \\begin\{pmatrix\} x1 \\\\ x2 \\\\ \\vdots \\\\ x\_n \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann,x=x1x2⋮xn  
则二次型 f 可记作  
 f = x T A x f=\\bm x^\\mathrm T\\bm A\\bm x \\\\ f=xTAx  
其中，对称矩阵  A \\bm A A 称为二次型 f 的矩阵，二次型 f 称为对称矩阵  A \\bm A A 的二次型。

合同 设  A \\bm A A和  B \\bm B B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵  C \\bm C C ，使  B = C T A C \\bm B=\\bm C^\\mathrm T\\bm\{AC\} B=CTAC ，则称矩阵  A \\bm A A与  B \\bm B B 合同。

### 5.6 正定二次型 ###

惯性定理 设二次型  f = x T A x f=\\bm x^\\mathrm T\\bm A\\bm x f=xTAx的秩为 r ，且有两个可逆变换  x = C y \\bm x=\\bm\{Cy\} x=Cy 及  x = P z \\bm x=\\bm\{Pz\} x=Pz使  
 f = ∑ i = 1 r k i y i 2 , k i ≠ 0 f=\\sum\_\{i=1\}^rk\_iy\_i^2,~~k\_i\\ne0 \\\\ f=i=1∑rkiyi2,ki=0  
及  
 f = ∑ i = 1 r λ i z i 2 , λ i ≠ 0 f=\\sum\_\{i=1\}^r\\lambda\_iz\_i^2,~~\\lambda\_i\\ne0 \\\\ f=i=1∑rλizi2,λi=0  
则  k 1 , ⋯   , k r k\_1,\\cdots,k\_r k1,⋯,kr中正数的个数与  λ 1 , ⋯   , λ r \\lambda\_1,\\cdots,\\lambda\_r λ1,⋯,λr中正数的个数相等。

正定二次型 设二次型  f ( x ) = x T A x f(\\bm x)=\\bm x^\\mathrm T\\bm A\\bm x f(x)=xTAx ，如果对  ∀ x ≠ 0 \\forall \\bm x\\ne\\bm 0 ∀x=0 ，都有  f ( x ) > 0 f(\\bm x)>0 f(x)>0，则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵  A \\bm A A是正定的；如果对  ∀ x ≠ 0 \\forall \\bm x\\ne\\bm 0 ∀x=0 ，都有  f ( x ) < 0 f(\\bm x)<0 f(x)<0，则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵  A \\bm A A 是负定的。