高等数学：微积分（上）

分手后的思念是犯贱 2023-10-14 23:38 12阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  前言
 *  认清极限
 *  导数

## 前言 ##

各位想要看完“作用量”系列的连载文章，不接触一点微积分知识怕是不行。我把之前零零碎碎写过的一些微积分的东西在此汇总，并配合“作用量”系列文章的要求进行了内容扩充。请你放一百个心，为了能让你有信心看下去，零门槛入坑肯定是标配啦。

其实你完全可以摘下有色眼镜去看待微积分，因为它真的不像你想象中的那么难！恰恰相反，微积分的思想及其朴素！如果你现在已经是一位中学生，我相信你看完这篇文章就能很好理解微积分。

准备好了吗？正文开始啦！

初识微积分的思想  
要说微积分的思想会在哪儿冒泡，高中物理云淡风轻地表示它俩算是老相识了。因为你在高中物理里面会面临很多非均匀的过程，虽然不会让你拿出公式吭哧吭哧计算出定量结果，但是你肯定没少受到微积分思想的熏陶。来来来，带你来一波回忆杀。

你在初中的时候只需解决一些均匀过程的问题，比如物体匀速直线运动、物体被恒力拉动了一段距离、电路中的电流是定值等。那么你在计算速度时，对于 v = x t v = \\frac\{x\}\{t\} v=tx不会有啥疑惑；计算力做的功时，对于 W = F ⋅ x W = F \\cdot x W=F⋅x也没啥异议。

可是当物体不再做匀速直线运动，或者作用在物体上的力不再是恒力时，直接用上面这些等式就有问题了。不信的话，你来看看龟兔赛跑的寓言故事——由于兔子轻敌，在中途睡觉而输了比赛。

国外还真有人举办了这么一次比赛  
对于这个寓言故事，我们可以得到一个结论——乌龟比兔子跑得快。你不是已经定义了速度为 v = x t v = \\frac\{x\}\{t\} v=tx么？兔子和乌龟在比赛中的位移一样，但是兔子用时更长，算出来的结果自然就小嘛。

兔子这回可就不服气了，你才跑得慢，你全家都跑得慢！显然这个结论与我们的常识不吻合呀，都说兔子如离弦之箭，乌龟哪跑得过兔子呢？

兔子不服气的关键就在于它不是匀速跑动而是跑跑停停！兔子跑起来的时候肯定快啦，可你用兔子所跑的总位移除以总时间就无法反应出它的真实水平！

怎么办？很简单，咱们就把运动过程切段，刨去兔子不跑的过程，只看兔子跑的时候有多快不就行了么？！当然了，考虑到故事里的兔子轻敌尿性，它跑的时候很有可能也没有正儿八经的全力以赴（非匀速运动），所以为了更精确地确定兔子的速度，就应该把它的运动过程继续切段，切得越细越好！

咱们把切段后的一小段路程记为 Δ x \\Delta x Δx，对应的一小段时间记为 Δ t \\Delta t Δt。计算速度的方法依然没有变化，即 v = Δ x Δ t v = \\frac\{ \{\\Delta x\}\}\{ \{\\Delta t\}\} v=ΔtΔx。显然切段越小，计算出的结果越能反映兔子的真实水平。

用数学的话说就是 Δ t \\Delta t Δt取得越小（无穷小），比值 Δ x Δ t \\frac\{ \{\\Delta x\}\}\{ \{\\Delta t\}\} ΔtΔx越能精确反映出该段过程的运动快慢。看到这里应该毫不费力吧？而这其实就是微分的思想了。

我们再来看另一个问题，这里有一堆相同的苹果，如果告诉你苹果的单价，如何求出苹果的总价？

小学生都能搞定的问题——苹果的单价乘以苹果的数量嘛。

那如果现在把部分苹果换成其他水果，比如说有一堆苹果、一堆梨和一堆橘子，每样水果的单价也知道，怎么算其总价？

稍微麻烦一点，先把这堆水果分类，再分别算出每种水果的总价，最后把各类水果的总价相加就得到了整堆水果的总价。你对这个想法应该已经习以为常了吧？

好啦，最后来点变态的问题——假设现有一个水果发生了超级变异：这个水果长出来后，里面即有苹果的成分又有梨子的成分还有橘子的成分（哈哈哈，想法变态吧）！而且这些成分还是你中有我、我中有你地相互交织在一起！抛开物以稀为贵的因素，依然告诉你苹果、梨子、橘子的单价，要你计算这个“奇异”果的总价！

这需要什么生平绝学吗？不需要，小学生也能算。怎么做呀，依然是切段！只不过这一步要很费精力——把苹果的成分、梨子的成分、橘子的成分一一归类，然后分别算出每种成分的总价，最后把各个成分的总价相加就是这个“奇异”果的总价！

你瞧，这和上面的做法是不是如出一辙？小学生都能办到！不过由于几种成分相互交织，所以切段要很细才行！如此算出来的价格才和真实价格相差非常的小！

用数学的话说，就是两者的差为无穷小！于是就可以认为我们算出了真实的价格。这种小学生都能理解的做法便是积分的思想。

说点题外话，这里分开介绍了微分和积分的思想，可为啥现在的术语统称为微积分呢？

因为伟大的牛顿和莱布尼茨发现，微分运算和积分运算居然是互逆运算，类似于加法和减法的关系！然后以他俩名字命名的牛顿-莱布尼茨公式便把微分计算和积分计算紧密团结在了一起，后文有详细介绍哟。

回到这两个例子里面来，无论是微分的思想还是积分的思想，都涉及到一个词——无穷小。它简直就像一个幽灵！凭直觉认为无穷小接近于零；凭直觉，上面的微分求解和积分求解也是合情合理，完全可以实用化。

但是数学的严谨特点决不会让这个幽灵存在。这在数学发展史上有着浓墨重彩的一笔，它引发了第二次数学危机。

我们通过两个简单运算来看看。 假设有两个数，分别用x和y表示，其中 x = 2 n x = \\frac\{2\}\{n\} x=n2， y = 1 n y = \\frac\{1\}\{n\} y=n1。显然，当n取得足够大时，x和y就会足够的小，也就是我们说的无穷小，且接近于0。现在我们用x去除以y，由于分母不能为0，虽然它现在无穷小，但是我们不能把它认为等于0，除法运算才能进行下去。通过化简，可以得到结果：  
 x y = 2 n 1 n = 2 n × n = 2 \\frac\{x\}\{y\} = \\frac\{ \{\\frac\{2\}\{n\}\}\}\{ \{\\frac\{1\}\{n\}\}\} = \\frac\{2\}\{n\} \\times n = 2\\\\ yx=n1n2=n2×n=2  
这个例子说明微分不仅可以计算，而且其结果还可以是个我们常见的值。

再来看看积分运算的例子。假设某个物体的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t的关系为 v = 2 t v = 2t v=2t，现在想计算0~1s内物体走过的路程。

显然，物体的速度是在变化的。1s时物体的速度为2m/s，但是我们不能用2m/s去乘以时间1s来算路程。于是我们只能把1s的时间切成很多段，那么每一小段里的速度变化就很小了，这样才可以近似的用\{v\_i\}乘以\{t\_i\}来表示第i个切段里的路程。

理清了思路，就来开始数学计算（别担心看不懂，高一数学的水平）啦。把0~1s的时间切成n段，于是每一小段的时间都是 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1秒。那么在第一个 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1秒内，速度近似为 2 n m / s \\frac\{2\}\{n\}m/s n2m/s，则经过的路程为 1 n × 2 n \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{2\}\{n\} n1×n2。

在第二个 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1秒内，速度近似为 4 n m / s \\frac\{4\}\{n\}m/s n4m/s，则经过的路程为 1 n × 4 n \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{4\}\{n\} n1×n4。以此类推，在最后一个 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1秒内，速度近似为 2 n n m / s \\frac\{ \{2n\}\}\{n\}m/s n2nm/s（也就是2m/s），则经过的路程为 1 n × 2 n n \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{ \{2n\}\}\{n\} n1×n2n。

接下来把每个小段的路程相加就可以了，我们看看能得到什么。记总路程为x，则有  
 x = 1 n × 2 n + 1 n × 4 n + ⋯ + 1 n × 2 n n x = \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{2\}\{n\} + \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{4\}\{n\} + \\cdots + \\frac\{1\}\{n\} \\times \\frac\{ \{2n\}\}\{n\}\\\\ x=n1×n2\+n1×n4\+⋯\+n1×n2n  
经过简单的整理就能得到  
 x = 2 n 2 ( 1 + 2 + ⋯ + n ) x = \\frac\{2\}\{ \{ \{n^2\}\}\}\\left( \{1 + 2 + \\cdots + n\} \\right)\\\\ x=n22(1\+2\+⋯\+n)  
括号里的这一长串求和就是基本的等差数列求和，把求和公式带入后可得  
 x = 2 n 2 × n ( n + 1 ) 2 x = \\frac\{2\}\{ \{ \{n^2\}\}\} \\times \\frac\{ \{n(n + 1)\}\}\{2\}\\\\ x=n22×2n(n\+1)  
约分化简后可得  
 x = 1 + 1 n 。 x = 1 + \\frac\{1\}\{n\}。 x=1\+n1。  
由于切段的时候要求n足够大，所以 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1肯定足够小到无限接近于0。那么我们把这个尾巴丢掉，会很自然地说x的值无限接近1。这个例子说明积分也是可以计算的，其结果也是常见的值。

相信你看完这上述两个例子的数学过程并不费劲，但是会有点懵——你把我无穷小当什么了？想要就要，想丢就丢？那什么时候要而什么时候丢呢？如果这样，数学岂不是变成玄学了？

这就是前面说的无穷小这个幽灵引发的第二次数学危机！要想解决这个危机，该轮到极限上场啦。

## 认清极限 ##

要解决第二次数学危机，就得弄清楚无穷小到底是个啥。无穷小确实无限接近0但又不等于0，只是说它有一个极限位置为0。如此看来，准确理解极限是弄清无穷小的关键。

看到这句话，你的脑海里可能浮现出这样一副场景：一个人从一个点不断朝向0点移动，直到越来越接近0点。也就是说咱们这里想到的极限是一种动态过程：由远及近地逼近某个位置，这个位置便是咱们理解的极限。

很遗憾，这样理解极限是不正确的！你想想，我让你从1倒数到0，由于0~1s之间有无数个数，你数得完吗？既然数不完，那就意味着你永远没法越来越接近于0。这可不是愚公移山，此乃真的是子子孙孙无穷尽也！如果你这样理解极限就会中了著名的芝诺悖论的魔咒！

芝诺悖论：人永远也运动不到旗帜所在的地方，因为无论你身处何处，你和旗帜之间都有无数点；你必须走完一个点才能到达下一个点。可是无穷多的点哪是你能走得完的呢？所以就有人永远也走不到旗帜所在的地方  
为了赶走幽灵般的无穷小，几代数学家做了艰辛的尝试，最终由柯西给出了极限的严格定义：当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小，那么这个固定值就被称为它的极限。

咋一看去，柯西对极限的理解好像也是一种动态过程，你看他不也用了“无限趋近”这样的词嘛？但是请注意，他并没有用“无限趋近”作为极限的评判标准，而是另外制定了新标准：如果它同这个固定值之间的差可以随意的小，那么它就是极限。

评判标准的变化所带来的认知转变可谓是天翻地覆：以前你要证明自己的极限是0，你就得不停地变小，不停地朝0这个地方跑去。但是你和0之间永远隔着无数个点，所以你永远也跑不完，也就永远无法接近0。如此，你敢厚颜无耻地说0是你的极限嘛？

如今主角轮到变量自己，我才不管你随意小的数啥时候上场。反正只要你说出一个很小的数，我和0之间的差值都比你小，这样我就敢拍着胸脯说我的极限就是0。你若想拿无穷小来考验我，你是不是首先得说出无穷小是多少才行呀？你若说不出来一个具体的数，我凭啥让你考验呢？

所以极限在柯西这里是一个“静态”现象，你想确认一下我和极限值的差距，那你就拿一个能说得出的、很小的数来和这个差距进行比较！

如此一来，不仅避开了说不清道不白的无穷小，还反过来让无穷小失去了神秘面纱——它不过是一个极限为0的量，一个只要你说出一个数，咱们就能找到另一个数，使得它和0之间的差距比这个数小的量。

再往后，魏尔斯特拉斯便在柯西的基础上给出如今在数学教材里所写的极限定义，又称为 ε δ \\varepsilon~\\delta εδ极限定义。希望这里说出的专业术语没有吓到你，只要柯西的极限定义在你脑海里深深扎根了，这个 ε δ \\varepsilon~\\delta εδ极限定义就非常容易理解啦。

对于一个函数 f ( x ) f(x) f(x)来说，其自变量x取不同值时其函数值f(x)会发生相应的变化。如果自变量x无限趋近于 x 0 \{x\_0\} x0时，对应的函数值 f ( x ) f(x) f(x)会无限趋近于某个固定值l，这个固定值l便是函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{x\_0\} x0处的极限。

现在只需按照柯西给出的标准来衡量上面所说的无限趋近，那么就是对于任意给出的一个数 ε > 0 \\varepsilon > 0 ε>0，存在 δ > 0 \\delta > 0 δ>0，使得凡是满足 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < \\left| \{x - \{x\_0\}\} \\right| < \\delta 0<∣x−x0∣<δ 的x，都有 0 < ∣ f ( x ) − l ∣ < ε 0 < \\left| \{f(x) - l\} \\right| < \\varepsilon 0<∣f(x)−l∣<ε。

不要觉得这段文字绕口，你仔细看看这两个不等式，是不是体现出了x与 x 0 \{x\_0\} x0的差可以任意小、 f ( x ) f(x) f(x)与l的差任意小？于是咱们就说函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{x\_0\} x0处有极限l，记作  
 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = l 。 \\mathop \{\\lim \}\\limits\_\{x \\to \{x\_0\}\} f(x) = l。 x→x0limf(x)=l。  
到此，咱们对于极限便有了清晰地认识，微积分也就有了稳固的根基！

现在重看微分的话，那就是当 Δ t \\Delta t Δt趋于0时， Δ x Δ t \\frac\{ \{\\Delta x\}\}\{ \{\\Delta t\}\} ΔtΔx的值与某个确定的值A相差得任意小。所以微分其实就是一个极限！

重看积分的话，当我们算出来的位移x与某个确定的值A相差得无限小，那么这个A就是全段位移x的极限。所以积分其实也是一个极限！

好啦，是时候拿起极限这个工具来面对微积分啦。

## 导数 ##

说到微分就必须先提到导数。无论是某些物理量的定义——比如速度 v = Δ x Δ t v = \\frac\{ \{\\Delta x\}\}\{ \{\\Delta t\}\} v=ΔtΔx、加速度 a = Δ v Δ t a = \\frac\{ \{\\Delta v\}\}\{ \{\\Delta t\}\} a=ΔtΔv等，还是几何中为了衡量图线的倾斜程度，最终殊途同归到一个词——变化率，也就是一个量的变化值比上另一个量的变化值。

以形象直观的图形来说，要反映图中倾斜直线的倾斜程度，显然是图中的角度 θ \\theta θ （0到 9 0 ∘ 90^\\circ 90∘ 范围内）越大，直线就越陡峭。而角度 θ \\theta θ 的大小可以由其正切值 tan ⁡ θ = Δ y Δ x \\tan \\theta = \\frac\{ \{\\Delta y\}\}\{ \{\\Delta x\}\} tanθ=ΔxΔy来反映，此值被称为直线的斜率。

倾斜直线与横轴的夹角  
从图中可以发现，对于直线来说，无论哪一段的倾斜程度都是一样的。这很好理解，如同物体始终做匀速直线运动，无论用哪一段的位移除以对应的时间，求出来的速度都是一样的。

但是相比直线，曲线更常见；对于运动来说，变速运动也更常见。如此一来，曲线上不同部位的倾斜程度就不一样了。所以我们就会更关心曲线上每处的倾斜情况如何。

那么问题就来了，过曲线上一点可以画出无数条直线，哪条直线的斜率才是反映该处的倾斜程度呢？

从直线斜率的计算可以看到，要出现\\Delta x和\\Delta y，需要在直线上取两个点才行。所以同样的做法在曲线上来一遍即可，由此得到的直线称为割线AB。

曲线的割线  
但割线的斜率并不是我们需要的，因为取不同的B点就会得到不同的割线，难不成曲线在A点处的斜率会如此调皮？

所以，既要利用B点，又要使得计算结果为曲线在A点处的斜率，只能让B点无限靠近A点，使其两者相差无穷小！现在你再看见无穷小时是不是只会嘴角一撇，云淡风轻地说：“这不就是极限嘛？！”

曲线的切线是割线的极限情形  
这么一来，我们就发现割线变成了曲线在A点处的切线，而曲线在A点处的斜率就由该切线的斜率来反映。此时，切线的斜率就得写成  
 Δ y Δ x ( Δ x → 0 ) \\frac\{ \{\\Delta y\}\}\{ \{\\Delta x\}\}(\\Delta x \\to 0) ΔxΔy(Δx→0)  
由于曲线都有对应的函数来表示，而数学里又习惯把函数写成 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，所以有  
 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \\Delta y = f(x + \\Delta x) - f(x)\\\\ Δy=f(x\+Δx)−f(x)  
于是切线的斜率被写成如下的形式，并获得了一个新名字——函数的导数，记为：  
 f ′ = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f' = \\mathop \{\\lim \}\\limits\_\{\\Delta x \\to 0\} \\frac\{ \{f(x + \\Delta x) - f(x)\}\}\{ \{\\Delta x\}\}\\\\ f′=Δx→0limΔxf(x\+Δx)−f(x)  
别怕哈，这一坨表达式看起来好吓人，其实很简单——函数的导数就是该函数曲线在某点处的切线斜率，只要你知道啥是斜率，看懂这个表达式肯定不在话下。

不过咱要啰嗦几句，记作f’非常简洁，但是容易忘记f是对自变量x求导数。所以为了强调是对x求导，就弄了另外一个符号：  
 d d x f \\frac\{d\}\{ \{dx\}\}f\\\\ dxdf  
f前面的这一块东西作用在其身上就表示f对x求导。有时候为了书写方便，就写成  
 d f d x \\frac\{ \{df\}\}\{ \{dx\}\}\\\\ dxdf  
请注意，不是df与dx相除哟！捋清这一点至关重要，不然你往后看的时候肯定会糊。

有了导数的概念，咱们就能根据其定义得到几个重要的结论。这些结论在数学教材里都有严格的证明（都很简单明了），大伙自己去看书也挺香的。悦理君就当给大家留个练习哈。

常数C的导数为零，记为  
 C ′ = 0 C' = 0 C′=0  
两个函数相加减的结果，其导数等于每个函数的导数相加减，即  
 ( f ± g ) ′ = f ′ ± g ′ (f \\pm g)' = f' \\pm g'\\\\ (f±g)′=f′±g′  
两个函数相乘的结果，其导数为：  
 ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ (f \\cdot g)' = f' \\cdot g + f \\cdot g'\\\\ (f⋅g)′=f′⋅g\+f⋅g′  
这个结果记起来稍微要费点脑子：你可以想象自己一个人带着两个娃，现在得给娃脱衣睡觉，你是不是得挨个来？先给第一个娃脱衣服，让第二个娃一边呆着（ f ′ ⋅ g f' \\cdot g f′⋅g）；然后是第一个娃一边玩去，给第二个娃脱衣服（ f ⋅ g ′ f \\cdot g' f⋅g′）。两个娃的衣服都脱完了才算完事，即  
 f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ f' \\cdot g + f \\cdot g' f′⋅g\+f⋅g′

至于两个函数相的导数就不写了，后面的物理问题里暂时用不上。毕竟这个系列的文章主角是物理，数学工具够用就行。

另外，还有一个重要的结论就是复合函数的导数。复合函数你可以想象成是套娃，函数 f ( u ) f(u) f(u)的变量u只是个中间角色，它是自变量x的函数，即 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x)。所以函数f应该写成 f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))，自变量为x。

那么求f的导数是指函数f对自变量x求导数，其结果为  
 f ′ ( g ( x ) ) = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) f'(g(x)) = f'(u) \\cdot g'(x)\\\\ f′(g(x))=f′(u)⋅g′(x)  
详细严格的证明过程请自行阅读数学教材。

这个结论的识记也好理解，相当于你的娃现在穿了两件衣服，你是不是得一件一件的脱？而且是先脱外层的衣服f’(u)，再脱里面的衣服g’(x)，两件都脱完了才算完事，即  
 f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) f'(u) \\cdot g'(x) f′(u)⋅g′(x)  
此乃大名鼎鼎的复合函数求导的链式法则，后续的物理文章中会多次用到哟。