图论中的算法

小鱼儿 2023-10-12 11:46 20阅读 0赞

**图论的概念**：图论是数学的一个分支，它是以图为研究对象，图论中的图是由若干个给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些实体之间的某种特定的关系，用点代表实体，用连接两点之间的线表示两个实体之间具有某种关系。

#### **图的分类：** ####

*  **无权无向图**

![5858f9f2bf584e8db18ef22dece7bae7.png][]

无向就是可以互相通向，没有进行方向的限制，就好比双向指向：

![b46aa50657604f3bbf503abe02fbfb2e.png][]

*  **无权有向图**

![dcb5727103f8461b8036f5a17cc7ee60.png][]

无权就是好比每条路线占的权重一致，没有区别，故我们可以把无权图假设为每个权重都是1的有权图：

![01e82284d4334cb6b2af212bf473e931.png][]

*  **有权无向图**

![ce19d33d5a5c446a88b2816cc98b0625.png][]

*  **有权有向图**

![3890cd3121b44bc2a266eb507548843b.png][]

#### **BFS和DFS** ####

**我们首先来了解什么是BFS?什么又是DFS?![9f90aae4a3ef47c39a94269441bb2b7c.gif][]**

DFS俗称深度优先算法，有一种不撞南墙不回头的感觉，认准一条路，一致往下走，直到走不通位置，然后再重新返回再重复刚才的操作，直到找到目标节点为止。DFS关键点是递归以及回溯，一般用栈进行操作。在图中我们经常这样：

![1eda4beca66541178d50c2675853876a.png][]

![经典算法题之（知识补充）------ BFS和DFS的感性认识\_ProLayman的博客-CSDN博客][------ BFS_DFS_ProLayman_-CSDN]

BFS俗称广度优先算法，相对于深度优先算法，如果把深度优先算法当成是一个莽夫的话，广度优先算法像是一个文人墨客，广度优先算法在面临一个路口时，把所有的路口记录下来，然后选择其中一个进入，然后再回退再进入另一个路口，直到找到目标节点为止。BFS关键点是状态的选取和标记，一般用队列去解决问题，在图中我们经常这样：

![98039cff62114b499043b793d01125b8.png][]

#### 图的存储结构 ####

*  邻接矩阵

**概念**：所谓邻接矩阵存储结构就是每个顶点用一个一维数组存储边的信息，这样所有点合起来就是用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。所谓矩阵其实就是二维数组。对于有n个顶点的图 G=(V,E) 来说，我们可以用一个 n× n 的矩阵A来表示G中各顶点的相邻关系

![54002ef78cd14eb99bbcac9c27b1f757.png][]

对应的邻接矩阵为：

![4995fef987794857a0cb32713a421e05.png][]

与对应点直接相连为1，不直接相连为0

构建邻接矩阵：

package graphtheory;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /**
     * 图的表示--使用邻接矩阵
     */
    public class Graph01 {
        private char[] V;//顶点上的值
    
        private Vertex[] vertexs;//顶点数组
    
        private int N;
    
    
        //邻接矩阵
        private int[][] adj;
    
        //图的构造函数
        public Graph01(char[] arr) {//{'A','E','F','G','H','P'}
            //拿到数组的长度
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            V = new char[length];
            //arr元素赋值 到V
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
            //构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(i,this.V[i]);//
    
            }
            this.adj = new int[length][length];
        }
    
        //打印邻接矩阵
        public void show() {
            System.out.print("    ");
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%4c", this.V[i]);
            }
            System.out.println();
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%4c",this.V[i]);
                for (int j = 0; j < this.N; j++) {
                    System.out.format("%4s", this.adj[i][j] > 0?(this.adj[i][j]):"-");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
        /**
         * 创建顶点类
         */
        private class Vertex {
            char v;//值
            int index;//索引
    
            public Vertex(int index, char c) {
                this.index = index;
                this.v = v;
            }
    
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P'};
            //构建graph01
            Graph01 graph01 = new Graph01(arr);
            //进行连接
            int[][] adjMatrix = graph01.adj;
            adjMatrix[0][1]=1;
            adjMatrix[0][2]=1;
            adjMatrix[0][3]=1;
    
            adjMatrix[1][0]=1;
            adjMatrix[1][3]=1;
            adjMatrix[1][4]=1;
    
            adjMatrix[2][0]=1;
    
            adjMatrix[3][0]=1;
            adjMatrix[3][1]=1;
            adjMatrix[3][4]=1;
            adjMatrix[3][5]=1;
    
            adjMatrix[4][1]=1;
            adjMatrix[4][3]=1;
            adjMatrix[4][5]=1;
    
            adjMatrix[5][3]=1;
            adjMatrix[5][4]=1;
    
    
            graph01.show();
        }
    }

![573219004cb046b888b45a30ae514d87.png][]

*  邻接表

邻接表的概念：邻接表的思想是，对于图中的每一个顶点，用一个数组来记录这个点和哪些点相连。由于相邻的点会动态的添加，所以对于每个点，我们需要用List来记录。

![54002ef78cd14eb99bbcac9c27b1f757.png][]

对应的邻接表为：

![f663248f2c3d4b9b9950e42c38fe2a49.png][]

package graphtheory;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.List;
    
    /**
     * 图的表示--使用邻接矩阵
     */
    public class Graph02 {
        private char[] V;//顶点上的值
    
        private Vertex[] vertexs;//顶点数组
        private int N;
    
    
        //邻接矩阵
        private List<Integer>[] adj;
    
        //图的构造函数
        public Graph02(char[] arr) {//{'A','E','F','G','H','P'}
            //拿到数组的长度
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            V = new char[length];
            //arr元素赋值 到V
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
            //构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(i, this.V[i]);
    
            }
            this.adj = new List[length];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                this.adj[i]=new ArrayList<>();
            }
        }
    
        //打印邻接矩阵
        public void show() {
            System.out.println("    ");
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%-4c", this.V[i]);
                //拿到邻接表相邻结点的集合
                List<Integer> linkedList = this.adj[i];
                for (int j = 0; j < linkedList.size(); j++) {
                    System.out.print(this.V[linkedList.get(j)] + "---->");
                }
                System.out.println();
                System.out.format("%-4d",vertexs[i].index);
                for (int j = 0; j < linkedList.size(); j++) {
                    System.out.print(vertexs[linkedList.get(j)].index + "---->");
                }
                System.out.println();
    
                }
            }
    
    
    
        /**
         * 创建顶点类
         */
        private class Vertex {
            char v;//值
    
            int index;//索引
    
            int weight;//权值
    
            public Vertex(int index, char c) {
                this.index = index;
                this.v = v;
                this.weight = weight;
            }
    
            public Vertex(int index) {
    
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P'};
            //构建graph01
            Graph02 graph02 = new Graph02(arr);
            //邻接表
            List<Integer>[] adj = graph02.adj;
            adj[0].add(1);
            adj[0].add(2);
            adj[0].add(3);
    
            adj[1].add(0);
            adj[1].add(3);
            adj[1].add(4);
    
            adj[2].add(0);
    
            adj[3].add(0);
            adj[3].add(1);
            adj[3].add(4);
            adj[3].add(5);
    
            adj[4].add(1);
            adj[4].add(3);
            adj[4].add(5);
    
            adj[5].add(3);
            adj[5].add(4);
    
    
            graph02.show();
        }
    }

![a36124a7368a4aa48836bae7bb156872.png][]

#### 使用邻接表求出A--P的所有路径： ####

package graphtheory;
    
    
    import java.util.*;
    
    // 图的表示-- 使用邻接表
    public class Graph03 {
        private char[] V;
        // 顶点数组
        private Vertex[] vertexs;
        private int N;
        // 邻接表
        private List<Integer>[] adj;
    
        public Graph03(char[] arr) { // {'A','E','F','G','H','P'}
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
            // 构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(0, this.V[i]);
            }
            this.adj = new List[length];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                this.adj[i] = new ArrayList<>();
            }
        }
    
        // 打印邻接矩阵
        public void show() {
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%-4c", this.V[i]);
                List<Integer> linkedList = this.adj[i];
                for (int j = 0; j < linkedList.size(); j++) {
                    System.out.print(this.V[linkedList.get(j)] + "---->");
                }
                System.out.println();
                System.out.format("%-4c", this.V[i]);
                for (int j = 0; j < linkedList.size(); j++) {
                    System.out.print(linkedList.get(j) + "---->");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
    
        public void bfs(int startIndex){
            boolean visited[] = new boolean[this.N];
            List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
            // 使用队列
            Queue<AbstractMap.SimpleEntry<Integer,Integer>> queue = new LinkedList<>();
            // 将开始顶点入队
            queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(startIndex,0));
            // 设置startIndex已经被访问
            visited[startIndex]=true;
            while(!queue.isEmpty()){
                AbstractMap.SimpleEntry<Integer,Integer> pair =  queue.poll();
                int key = pair.getKey(); //顶点的索引
    
                int val = pair.getValue();// 层
    
                if(result.size() == val){
                    ArrayList list = new ArrayList();
                    result.add(list);
                }
                List<Integer> levelList = result.get(val);
                levelList.add(key);
               // 找和key顶点直接相连的的索引
               List<Integer> list =  this.adj[key];
               for(int i=0;i<list.size();i++){
                   if(!visited[list.get(i)]){
                       queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry(list.get(i),val+1));
                       visited[list.get(i)]=true;
                   }
               }
            }
           for(int i=0;i<result.size();i++){
               System.out.println("level:"+(i+1));
               for(int j=0;j<result.get(i).size();j++){
                   System.out.format("%-4d",result.get(i).get(j));
               }
               System.out.println();
           }
        }
    
    
    
        public void dfs(int startIndex,int endIndex){
            //创建一个数组，用来记录是否已经被访问
            boolean visited[] = new boolean[this.N];
            // 标记开始结点已经被访问过
            LinkedList<Character> path = new LinkedList<>();
            dfs(startIndex,endIndex,visited,path);
        }
    
        // 递归向下去找
        private void dfs(int startIndex,int endIndex,boolean[] visited, LinkedList<Character> path){
            // 递归终止的条件
            if(startIndex == endIndex){
                path.offerLast(this.V[startIndex]);
                System.out.println(path);
                // 从路径的尾部删掉最后的顶点
                path.pollLast();
                return;
            }
            // 将当前顶点加到路径中去
            path.offer(this.V[startIndex]);
            // 标识startIndex已经被访问了
            visited[startIndex]=true;
            //  递归操作
            // 1、先找和startIndex直接连接的顶点有哪些
            List<Integer> list = this.adj[startIndex];
            // 2、处理每一个直接连接的顶点
            for(int i=0;i<list.size();i++){
                if(!visited[list.get(i)]){
                    dfs(list.get(i),endIndex,visited,path);
                }
            }
            visited[startIndex]=false; // 回溯
            path.pollLast();
        }
    
    
        private class Vertex {
            char v;
            int index;
    
            //权值
            int weight;
    
            public Vertex(int index, char v, int weight) {
                this.index = index;
                this.v = v;
                this.weight = weight;
            }
    
            public Vertex(int index, char v) {
                this(index, v, 1);
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P' };
            Graph03 graph03 = new Graph03(arr);
            // 邻接表
            List<Integer>[] adj = graph03.adj;
            adj[0].add(1);
            adj[0].add(2);
            adj[0].add(3);
            adj[1].add(0);
            adj[1].add(3);
            adj[1].add(4);
            adj[2].add(0);
            adj[3].add(0);
            adj[3].add(1);
            adj[3].add(4);
            adj[3].add(5);
            adj[4].add(1);
            adj[4].add(3);
            adj[4].add(5);
            adj[5].add(3);
            adj[5].add(4);
          
            graph03.bfs(5);
        }
    
    }

#### 迪杰斯特拉算法 ####

**概念**：即先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

![54002ef78cd14eb99bbcac9c27b1f757.png][]

假设我们求A点到各点的最短距离

![fefc5a9639d04cdaa30435cd93635bd8.png][] 迪杰斯特拉算法过程（原理）

package graphtheory;
    
    
    import java.util.*;
    
    // 图的单源最最短路径-迪杰斯特拉算法（从一个顶点到图中各个顶点的最短距离）
    public class Graph04 {
        private char[] V;
        // 顶点数组
        private Vertex[] vertexs;
        private int N;
        // 邻接表
        private List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj; // key:顶点索引，val:权值
    
        public Graph04(char[] arr) { // {'A','E','F','G','H','P'}
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
            // 构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(i, this.V[i]);
            }
            this.adj = new List[length];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                this.adj[i] = new ArrayList<>();
            }
        }
    
    
        public int[] dijkstra(int sourceIndex) {
            // 1、创建距离表
            int[] dist = new int[this.N];
            Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
            // 2、创建一个标识顶点是否被访问的数组
            boolean[] visited = new boolean[this.N];
            // 3、初始化距离表
            // 3-1
            dist[sourceIndex] = 0; // 自身到自身的距离
            visited[sourceIndex] = true;
            // 3-2、找和sourceIndex直接相连的顶点
            List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>> list = this.adj[sourceIndex];
            for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
                AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer> vertex = list.get(i);
                int key = vertex.getKey();//顶点索引
                int val = vertex.getValue();//权值
                // 3-3  更新距离表
                dist[key] = val;
            }
    
            for (int k = 1; k < this.N; k++) {
                //4、在上述的最短路径dist[]中，从未被访问的顶点中选一条最短的路径长度
                int minDist = Integer.MAX_VALUE;
                int minDistIndex = -1;
                for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                    if (!visited[i] && dist[i] != Integer.MAX_VALUE && dist[i] < minDist) {
                        minDist = dist[i];
                        minDistIndex = i;
                    }
                }
    
                // 最最短的路径长度所在的顶点与其它顶点都没有相连
                if (minDistIndex == -1) {
                    break;
                }
    
                //5、更新距离表()
                // 5-1 将最最短的路径长度所在的顶点设置成已访问
                visited[minDistIndex] = true;
                // 5-2 找到和最短路径长度所在顶点直接相连的顶点
                List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>> list2 = this.adj[minDistIndex];
                // 5-3 minDist+权值与距离表中的数据进行比较
                for (int i = 0; i < list2.size(); i++) {
                    AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer> vertex = list2.get(i);
                    int key = vertex.getKey();//顶点索引
                    int val = vertex.getValue();//权值
                    int newVal = minDist + val;
                    if (!visited[key] && newVal < dist[key]) {
                        dist[key] = newVal;
                    }
                }
            }
            return dist;
        }
    
    
        private class Vertex {
            char v;
            int index;
    
            public Vertex(int index, char v) {
                this.index = index;
                this.v = v;
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P'};
            Graph04 graph04 = new Graph04(arr);
            // 邻接表
            List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj = graph04.adj;
    
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 5));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(2, 4));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
    
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 5));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 1));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
    
            adj[2].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 4));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 4));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 3));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 3));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 1));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 4));
    
            int[] dist = graph04.dijkstra(0);
            System.out.println(Arrays.toString(dist));
        }
    
    }

怎么样才能求出我们距离最短的路径呢？

我们这里需要一个前置顶点表进行记录：

![7201ab7e59f54d8fbb9a9ba6f777d453.png][]

分图：

![92069148ab954ab09c485a94374f131e.png][]

![5de6ee6d68e746f3b1612e53dc6b3346.png][]

package graphtheory;
    
    
    import java.util.*;
    
    // 图的单源最最短路径-迪杰斯特拉算法（从一个顶点到图中各个顶点的最短距离）
    public class Graph04 {
        private char[] V;
        // 顶点数组
        private Vertex[] vertexs;
        private int N;
        // 邻接表
        private List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj; // key:顶点索引，val:权值
    
        // 1、创建距离表
        private int[] dist;
        private int[] pre;
        public Graph04(char[] arr) { // {'A','E','F','G','H','P'}
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
    
            this.dist = new int[this.N];
            Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
            // 创建最短路径的前驱顶点表(为了表示最短路径)
            this.pre=new int[this.N];
            Arrays.fill(this.pre,-1);
            // 构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(0, this.V[i]);
            }
            this.adj = new List[length];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                this.adj[i] = new ArrayList<>();
            }
        }
    
    
        public void dijkstra(int sourceIndex) {
    
    
            // 2、创建一个标识顶点是否被访问的数组
            boolean[] visited = new boolean[this.N];
            // 3、初始化距离表
            // 3-1
            dist[sourceIndex] = 0; // 自身到自身的距离
            visited[sourceIndex] = true;
            // 3-2、找和sourceIndex直接相连的顶点
            List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>> list = this.adj[sourceIndex];
            for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
                AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer> vertex = list.get(i);
                int key = vertex.getKey();//顶点索引
                int val = vertex.getValue();//权值
                // 3-3  更新距离表
                this.dist[key] = val;
                // 更新前驱顶点表
                this.pre[key]=sourceIndex;
            }
    
            for (int k = 1; k < this.N; k++) {
                //4、在上述的最短路径dist[]中，从未被访问的顶点中选一条最短的路径长度
                int minDist = Integer.MAX_VALUE;
                int minDistIndex = -1;
                for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                    if (!visited[i] && dist[i] != Integer.MAX_VALUE && dist[i] < minDist) {
                        minDist = dist[i];
                        minDistIndex = i;
                    }
                }
    
                // 最最短的路径长度所在的顶点与其它顶点都没有相连
                if (minDistIndex == -1) {
                    break;
                }
    
                //5、更新距离表()
                // 5-1 将最最短的路径长度所在的顶点设置成已访问
                visited[minDistIndex] = true;
                // 5-2 找到和最短路径长度所在顶点直接相连的顶点
                List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>> list2 = this.adj[minDistIndex];
                // 5-3 minDist+权值与距离表中的数据进行比较
                for (int i = 0; i < list2.size(); i++) {
                    AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer> vertex = list2.get(i);
                    int key = vertex.getKey();//顶点索引
                    int val = vertex.getValue();//权值
                    int newVal = minDist + val;
                    if (!visited[key] && newVal < dist[key]) {
                        this.dist[key] = newVal;
                        // 更新前驱顶点表
                        this.pre[key] = minDistIndex;
                    }
                }
            }
        }
    
        public void showDist(){
            System.out.println(Arrays.toString(this.dist));
        }
    
        public void getMinDist(int sourceIndex ,int targetIndex){
            Stack<Integer> stack = new Stack<>();
            stack.push(targetIndex);
            int preIndex = this.pre[targetIndex];
            while(preIndex !=-1 && preIndex!=sourceIndex){
                stack.push(preIndex);
                preIndex = this.pre[preIndex];
            }
            // 将 sourceIndex放入栈
            if(preIndex !=-1){
                stack.push(sourceIndex);
            }
    
            // 出栈
            StringBuilder res = new StringBuilder();
            while(!stack.isEmpty()){
                res.append(this.V[stack.pop()]+"-->");
            }
            System.out.println(res);
        }
    
    
        private class Vertex {
            char v;
            int index;
    
            public Vertex(int index, char v) {
                this.index = index;
                this.v = v;
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P'};
            Graph04 graph04 = new Graph04(arr);
            // 邻接表
            List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj = graph04.adj;
    
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 5));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(2, 4));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
    
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 5));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 1));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
    
            adj[2].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 4));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 4));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 3));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 3));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 1));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 4));
    
            int sourceIndex = 5;
            graph04.dijkstra(sourceIndex);
            graph04.showDist();
    
            int targetIndex = 3;
            // 求从源到目标顶点的最短路径
            graph04.getMinDist(sourceIndex,targetIndex);
        }
    
    }

#### 弗洛伊德算法 ####

**具体思想**：邻接矩阵dist储存路径，同时最终状态代表点点的最短路径。如果没有直接相连的两点那么默认为一个很大的值，而自身到自身的长度为0.

![f89134e41bde4aadae0c6da3d948a1f2.png][]

A和B不认识，所以A找不到B,但是这时候A的朋友D来了，说他可以介绍B给A认识，所以A就通过D找到了B

![782f6bf43dc442c0b62c1b0ba0baa6ed.png][]

弗洛伊德算法就是用了这样的思想

![daac81fad51f4db18a7e0b066f57d92d.png][]![30a436ca3a814e4db3bfc1f94f7d09bc.png][]

*  把第1个到第n个点依次加入图中。每个点加入进行试探是否有路径长度被更改。
 *  而上述试探具体方法为遍历图中每一个点(i,j双重循环)，判断每一个点对距离，是否因为加入的点而发生最小距离变化。如果发生改变，那么两点(i,j)距离就更改。 
 *  转移方程：:dp\[i\]\[j\]=min(dp\[i\]\[j\],dp\[i\]\[k\]+dp\[k\]\[j\])

![792e1ff85d17446bab075834714ed296.png][]

![b7716d962e6a4f56bbfadc1b1d1024b1.png][]

![baa8aa4054a54d8d8fed38b8a8f4efb4.png][]

package graphtheory;
    
    
    import java.util.*;
    
    // 图的多源最最短路径-弗洛伊德算法Floyd（从任意顶点到图中各个顶点的最短距离）
    public class Graph05 {
        private char[] V;
        // 顶点数组
        private Vertex[] vertexs;
        private int N;
        // 邻接表
        private List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj; // key:顶点索引，val:权值
    
        private int[][] dists;
    
        public Graph05(char[] arr) { // {'A','E','F','G','H','P'}
            int length = arr.length;
            this.N = length;
            this.V = Arrays.copyOf(arr, length);
            // 构建图中的结点
            vertexs = new Vertex[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                vertexs[i] = new Vertex(0, this.V[i]);
            }
            this.adj = new List[length];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                this.adj[i] = new ArrayList<>();
            }
            this.dists = new int[this.N][this.N];
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                for (int j = 0; j < this.N; j++) {
                    if (i == j) {
                        this.dists[i][j] = 0;
                    } else {
                        this.dists[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                    }
                }
            }
        }
    
    
        private class Vertex {
            char v;
            int index;
    
            public Vertex(int index, char v) {
                this.index = index;
                this.v = v;
            }
        }
    
        public void floyd() {
            // 对dists进一步初始化
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>> list = this.adj[i];
                for (int j = 0; j < list.size(); j++) {
                    AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer> pair = list.get(j);
                    int key = pair.getKey();
                    int val = pair.getValue();
                    this.dists[i][key] = val;
                }
            }
    
            // 将每个顶点加到二维数组中（是给每个二维数组中的每个元素都加） 相当于矩阵，给每个元素进行相同的操作
            for (int i = 0; i < this.N; i++) { // 表示的添加顶点的索引
                for (int m = 0; m < this.N; m++) {
                    //同行不用进行操作
                    if (m == i) {
                        continue;
                    }
                    for (int n = 0; n < this.N; n++) {
                    //距离无穷大也不用进行操作
                        if (this.dists[m][i] != Integer.MAX_VALUE && this.dists[i][n] != Integer.MAX_VALUE) {
                            this.dists[m][n] = Math.min(this.dists[m][n], this.dists[m][i] + this.dists[i][n]);
                        }
                    }
                }
            }
            show();
        }
    
        private void show() {
            System.out.format("%-4s", " ");
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%-4s", this.V[i]);
            }
            System.out.println();
            for (int i = 0; i < this.N; i++) {
                System.out.format("%-4s", this.V[i]);
                for (int j = 0; j < this.N; j++) {
                    System.out.format("%-4s", this.dists[i][j] == Integer.MAX_VALUE ? "-" : this.dists[i][j] + "");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            char arr[] = {'A', 'E', 'F', 'G', 'H', 'P'};
            Graph05 graph05 = new Graph05(arr);
            // 邻接表
            List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, Integer>>[] adj = graph05.adj;
    
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 5));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(2, 4));
            adj[0].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
    
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 5));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 1));
            adj[1].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
    
            adj[2].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 4));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 3));
            adj[3].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 4));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 3));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(5, 2));
            adj[4].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 3));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(0, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(1, 1));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(4, 2));
            adj[5].add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(3, 4));
    
            graph05.floyd();
            int sourceIndex = 1;
            int targetIndex = 3;
    
        }
    
    }

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