【算法】算法学习六：贪婪算法 | NP完全问题

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2023-10-10 22:06 9阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  一、贪婪算法
 *   *  1.1 理论介绍
     *  1.2 常见问题
     *   *  1.2.1 背包问题
         *  1.2.2 集合覆盖问题
     *  1.3 集合覆盖问题实践
 *  二、NP 完全问题
 *  三、总结

## 一、贪婪算法 ##

### 1.1 理论介绍 ###

贪婪算法（Greedy Algorithm）是一种基于贪心策略的算法设计方法。在每一步选择中，贪婪算法总是选择当前看起来最优的选择，而不考虑整体最优解。虽然贪婪算法不能保证获得全局最优解，但在许多问题中可以得到近似最优解或有效的解决方案。

贪婪算法的一般步骤如下：

1.  定义问题的优化目标，并确定适合的选择标准。
2.  根据选择标准，选择当前最优的解决方案或局部最优解。
3.  检查所选的解决方案是否满足问题的约束条件。
4.  如果满足约束条件，将所选的解决方案作为部分最优解，并继续迭代。
5.  重复步骤2-4，直到达到问题的终止条件。
6.  组合各部分最优解，得到问题的整体解决方案。

贪婪算法的关键在于选择当前最优解决方案的策略。这个策略可以基于多个因素，如最大化收益、最小化成本、最短路径、最大覆盖等。选择的策略应该能够在每一步选择中获得局部最优解，以期望达到全局最优解。

需要注意的是，贪婪算法并不适用于所有问题，因为在某些情况下，贪婪选择可能导致无法达到最优解。因此，在应用贪婪算法时，需要仔细分析问题的性质，并评估算法的适用性和效果。

一些常见的应用贪婪算法的问题包括：最小生成树、最短路径、背包问题、任务调度等。贪婪算法通常具有简单、高效的特点，并且在某些情况下可以提供快速且接近最优解的解决方案。

### 1.2 常见问题 ###

#### 1.2.1 背包问题 ####

背包问题（Knapsack Problem）是一个经典的组合优化问题，也是一个NP完全问题。该问题的基本形式是：给定一个固定容量的背包和一组具有各自价值和重量的物品，如何选择将哪些物品放入背包，以使得背包内物品的总价值最大化。

背包问题有两个常见的变体：

1.  0/1背包问题（0/1 Knapsack Problem）：每个物品要么完全放入背包，要么完全不放入背包。换句话说，每个物品的选择只有两种状态：放入或不放入。
2.  分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）：每个物品可以按照比例被放入背包，可以选择部分物品放入背包。物品可以被分割成更小的部分。

数学表示为：

给定n个物品，每个物品有一个价值vi和重量wi。背包的容量为W。目标是选择哪些物品放入背包，以使得放入背包的物品总价值最大化，同时要求总重量不超过背包的容量W。

解决背包问题的一种常见方法是使用动态规划（Dynamic Programming）算法。动态规划算法通过构建一个二维表格来存储子问题的最优解，并利用子问题之间的关系逐步计算出整体问题的最优解。具体步骤如下：

1.  创建一个二维表格，行表示可选的物品，列表示背包的容量。
2.  初始化表格的第一行和第一列为0。
3.  逐个填充表格的其他单元格，根据以下规则：

如果当前物品的重量大于当前背包容量，将该单元格的值设为上一个单元格的值（即不选择当前物品）。

如果当前物品的重量小于等于当前背包容量，计算选择和不选择当前物品的两种情况下的最大价值，并选择较大的那个值。

1.  最后一个单元格的值即为问题的最优解，即背包内物品的最大总价值。

除了动态规划，背包问题还可以使用贪婪算法、回溯算法、整数线性规划（ILP）等方法进行求解。对于0/1背包问题，动态规划是一种有效且常用的求解方法。对于分数背包问题，贪婪算法可以得到最优解。

背包问题在实际中有许多应用，如资源分配、投资组合优化、货物装载等。根据具体问题的特征和约束条件，可以选择适当的背包问题变体和求解方法来解决。

#### 1.2.2 集合覆盖问题 ####

集合覆盖问题（Set Cover Problem）是一个经典的组合优化问题，属于NP完全问题集合。该问题的目标是选择最少数量的集合，使得这些集合的并集包含了给定的全集。

具体来说，给定一个包含 n 个元素的全集 U，以及一组集合 S1, S2, …, Sm，每个集合Si是全集U的一个子集。集合覆盖问题要求选择最少数量的集合，使得它们的并集与全集U相等，即覆盖了全集U中的所有元素。

数学表示为：

找到一个最小的集合C，其中C⊆\{S1, S2, …, Sm\}，使得⋃(S∈C) S = U。

解决集合覆盖问题的一种常见方法是使用贪婪算法。贪婪算法从一个空集合开始，并重复以下步骤，直到全集U中的所有元素都被覆盖：

1.  在尚未覆盖的元素中，选择一个能够覆盖最多未覆盖元素的集合Si。
2.  将集合Si添加到覆盖集合C中。
3.  从全集U中删除Si中已覆盖的元素。

重复上述步骤，直到全集U中的所有元素都被覆盖。最终得到的集合C就是一个近似最优解，其中包含了最少数量的集合，能够覆盖全集U。

然而，贪婪算法并不能保证获得最优解，因为它只关注当前局部最优选择，并不能考虑全局最优解的可能性。对于集合覆盖问题的精确解决需要使用更复杂的算法，如回溯算法、整数线性规划（ILP）等。这些算法可以找到确切的最优解，但在大规模问题上可能会变得非常耗时。

集合覆盖问题在实际中有广泛的应用，例如广播台选择问题、课程安排问题等，这些问题可以转化为集合覆盖问题，并利用相应的算法求解。

### 1.3 集合覆盖问题实践 ###

state_needed = set(['mt', 'wa', 'or', 'id', 'nv', 'ut', 'ca', 'az'])
    stations = {
        }
    stations['kone'] = set(['id', 'nv', 'ut'])
    stations['ktwo'] = set(['wa', 'id', 'mt'])
    stations['kthree'] = set(['or', 'nv', 'ca'])
    stations['kfour'] = set(['nv', 'ut'])
    stations['kfive'] = set(['ca', 'az'])
    final_stations = set()
    while state_needed:
        best_station = None
        station_covered = set()
        for station, states_for_station in stations.items():
            covered = state_needed & states_for_station
            if len(covered) > len(station_covered):
                best_station = station
                station_covered = covered
        state_needed -= station_covered
        final_stations.add(best_station)

这段代码使用贪心算法来解决一个集合覆盖问题。给定一组需要覆盖的州（state\_needed），以及一组广播站和它们能够覆盖的州（stations），代码的目标是找到最少的广播站集合（final\_stations），使得它们能够覆盖所有需要覆盖的州。

代码的执行逻辑如下：

1.  初始化最终广播站集合（final\_stations）为空集。
2.  当仍然存在需要覆盖的州（state\_needed）时，继续执行循环。
3.  在每次循环迭代中，遍历每个广播站（station）以及它们能够覆盖的州（states\_for\_station）。
4.  计算需要覆盖的州和当前广播站能够覆盖的州之间的交集，即已经覆盖的州（covered）。
5.  如果当前广播站的覆盖州数量（len(covered)）大于已经选择的最佳广播站的覆盖州数量（len(station\_covered)），则更新最佳广播站（best\_station）和已经覆盖的州（station\_covered）。
6.  从需要覆盖的州（state\_needed）中去除已经覆盖的州（station\_covered）。
7.  将最佳广播站（best\_station）添加到最终广播站集合（final\_stations）中。
8.  重复步骤2-7，直到所有州都被覆盖。

最终，代码将找到一组最少的广播站集合（final\_stations），这些广播站能够覆盖所有需要覆盖的州（state\_needed）。

请注意，这段代码中使用了Python的集合（set）和字典（dictionary）数据结构来表示需要覆盖的州、广播站及其覆盖的州。代码逻辑可以应用于其他编程语言，但可能需要根据语言特性进行一些修改。

最终结果为：

final_stations

{
        'kfive', 'kone', 'kthree', 'ktwo'}

结果符合我们的预期吗？选择的广播台可能是3、3、4、5，而不是我们预期的1、2、3、5。

## 二、NP 完全问题 ##

NP完全问题（NP-Complete Problems）是一类计算复杂性理论中的问题集合。这些问题具有两个关键特征：其一是它们属于NP问题集合，其二是它们具有NP-hard性质。

1.  NP问题集合：NP（Nondeterministic Polynomial）问题集合包括那些可以在多项式时间内验证解的问题。也就是说，如果给定一个解，可以在多项式时间内验证该解是否正确。但在一般情况下，找到这些问题的解需要非确定性多项式时间，即暴力穷举所有可能的解。NP问题集合包括许多重要问题，如旅行商问题（TSP）、图的着色问题、子集和问题等。
2.  NP-hard性质：NP-hard（Nondeterministic Polynomial-hard）是一个更广泛的概念，用于描述那些在多项式时间内无法求解的问题。NP-hard问题是一类具有极高计算复杂性的问题，其解决方案要么需要非常高的计算资源，要么需要超过多项式时间的算法。如果一个问题是NP-hard的，意味着它至少和NP完全问题一样难以求解。

NP完全问题是NP问题集合中最困难的问题，它们既属于NP问题集合，又具有NP-hard性质。这意味着，如果找到了一个多项式时间内求解任何NP完全问题的算法，那么就可以在多项式时间内求解NP问题集合中的所有问题。因此，NP完全问题的解决方案目前尚未找到高效的多项式时间算法，但可以通过尝试所有可能的解来验证给定的解是否正确。

一些著名的NP完全问题包括旅行商问题（TSP）、图的着色问题、布尔可满足性问题（SAT）等。这些问题的困难性使得它们在实际应用中往往需要使用近似算法、启发式算法或其他近似解决方案来求解。研究NP完全问题及其性质是计算理论和算法设计中重要的研究领域。

识别一个问题是否是NP完全问题是一个关键的计算理论问题。由于NP完全问题的困难性质，不存在多项式时间的算法可以准确地判断一个问题是否是NP完全问题。然而，有几种常用的方法和线索可以用于判断一个问题的可能性。

1.  元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢；
2.  涉及“所有集合”的问题通常是NP完全问题；
3.  不能将问题分为小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题；
4.  如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题；
5.  如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题；
6.  如果问题可以转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

## 三、总结 ##

1.  贪婪算法寻找局部最优解，企图以这种方式获得全局最优解；
2.  对于NP完全问题，还没有找到快速解决的方案；
3.  面临NP完全问题时，最佳的做法是使用近似算法；
4.  贪婪算法易于实现、运行速度快，是不错的近似算法。