【动手学深度学习v2李沐】学习笔记07：权重衰退、正则化

男娘i 2023-10-09 14:47 53阅读 0赞

[前文回顾：模型选择、欠拟合和过拟合][Link 1]

#### 文章目录 ####

*  一、权重衰退
 *   *  1.1 硬性限制
     *  1.2 柔性限制（正则化）
     *  1.3 参数更新法则
     *  1.4 总结
 *  二、代码实现
 *   *  2.1 从零开始实现
     *   *  2.1.1 人工数据集
         *  2.1.2 模型参数
         *  2.1.3  L 2 L\_2 L2 范数惩罚
         *  2.1.4 训练
     *  2.2 简洁实现

## 一、权重衰退 ##

### 1.1 硬性限制 ###

*  在上一篇文章中，我们讲到了**控制模型容量**的两种方法：
    
     *  使用较小的参数（使得模型变小）
     *  使参数可选择的值比较少
 *  **权重衰退**通过限制参数值的选择范围来控制模型容量。
    
     *  例如，我们可以在最小化损失函数的时候增加一个限制，防止权重过大：  
         min ⁡ l ( w ⃗ , b ) subject to ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ 2 ≤ θ \\min l(\\vec\{w\}, b) \\quad \\text\{subject to\} \\quad ||\\vec\{w\}||^2 \\leq \\theta minl(w,b)subject to∣∣w∣∣2≤θ本例中，我们限制  w ⃗ \\vec\{w\} w 的  L 2 L\_2 L2 损失不大于  θ \\theta θ
     *  我们通常不限制偏移  b b b（限不限制都差不多）
     *  选择一个小的  θ \\theta θ 意味着更强的**正则项**

### 1.2 柔性限制（正则化） ###

我们通常不会采用上一小节中那样的硬性限制，而是通过**正则化**这种柔性限制来控制模型容量。

*   **L 2 L\_2 L2 正则化：**
    
     *  对每个  θ \\theta θ，都可以找到  λ \\lambda λ 使得之前的目标函数等价于下式：  
         min ⁡ l ( w ⃗ , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ 2 \\min\{l(\\vec w,b)\}+\\frac \{\\lambda\}\{2\}||\\vec w||^2 minl(w,b)\+2λ∣∣w∣∣2
     *  可以通过拉格朗日乘子来证明
     *  超参数  λ \\lambda λ 控制了正则项的重要程度
        
         *   λ = 0 \\lambda=0 λ=0 时，正则项不起作用
         *   λ → ∞ \\lambda \\rightarrow \\infty λ→∞ 时， w ⃗ → 0 ⃗ \\vec w \\rightarrow\\vec 0 w→0
 *   **L 1 L\_1 L1 正则化：**
    
     *  使得大部分模型参数的值等于0，已达到模型稀疏化的目的。
     *  其公式为：  
         min ⁡ l ( w ⃗ , b ) + λ ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ 1 \\min\{l(\\vec w,b)\}+\\lambda||\\vec w||\_1 minl(w,b)\+λ∣∣w∣∣1
 *  **演示：**  
    我们以 L 2 L\_2 L2 正则化为例进行演示，下图中：  
     w ⃗ ∗ = arg ⁡ min ⁡ l ( w ˉ , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ˉ ∣ ∣ 2 w ⃗ ~ ∗ = arg ⁡ min ⁡ l ( w ˉ ~ , b ) \\begin\{aligned\}&\\vec w\*=\\arg\\min\{l(\\bar w,b)+\\frac\{\\lambda\}2||\\bar w||^2\} \\\\ &\\tilde\{\\vec w\}\*=\\arg\\min\{l(\\tilde\{\\bar w\},b)\}\\end\{aligned\} w∗=argminl(wˉ,b)\+2λ∣∣wˉ∣∣2w~∗=argminl(wˉ~,b)  
    ![演示][a126699218fc412681177d05d6204ea0.png_pic_center]  
    绿色的曲线为只优化损失值的情况，黄色曲线为加入了正则项的情况。正则项会将权重的值从原本离原点较远的较大值，拉扯到离原点较近的较小值，从而实现对参数大小的控制。

### 1.3 参数更新法则 ###

*  **计算梯度：**  
     ∂ ∂ w ⃗ ( l ( w ⃗ , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ 2 ) = ∂ l ( w ⃗ , b ) ∂ w + λ w ⃗ \\frac\{\\partial\}\{\\partial \\vec w\}\\Big( l(\\vec w,b)+\\frac\{\\lambda\}2||\\vec w||^2 \\Big)=\\frac\{\\partial l(\\vec w, b)\}\{\\partial w\}+\\lambda \\vec w ∂w∂(l(w,b)\+2λ∣∣w∣∣2)=∂w∂l(w,b)\+λw
 *  **更新参数（时间 t）：**  
     w ⃗ t + 1 = ( 1 − η λ ) w ⃗ t − η ∂ l ( w ⃗ t , b t ) ∂ w ⃗ t \\vec w\_\{t+1\}=(1-\\eta \\lambda)\\vec w\_t-\\eta\\frac\{\\partial l(\\vec w\_t, b\_t)\}\{\\partial \\vec w\_t\} wt\+1=(1−ηλ)wt−η∂wt∂l(wt,bt)
    
     *  通常  η λ < 1 \\eta \\lambda<1 ηλ<1，在深度学习中通常叫作权重衰退。这意味着每次更新参数时，现将原本的参数值缩小一些，再沿着梯度方向更新。

### 1.4 总结 ###

*  权重衰退通过  L 2 L\_2 L2 正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度。
 *  正则项权重是控制模型复杂度的超参数。

## 二、代码实现 ##

### 2.1 从零开始实现 ###

#### 2.1.1 人工数据集 ####

权重衰退是最广泛使用的正则化的技术之一。

import torch
    from torch import nn
    from d2l import torch as d2l

生成人工数据集：  
 y = 0.05 + ∑ i = 1 d 0.01 x i + ϵ where ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) y=0.05+\\sum\_\{i=1\}^d0.01x\_i + \\epsilon \\quad \\text\{where\} \\quad \\epsilon\\sim \\mathcal\{N\}(0, 0.01^2) y=0.05\+i=1∑d0.01xi\+ϵwhereϵ∼N(0,0.012)

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
    true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
    train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
    train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size, is_train=True)
    test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
    test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

#### 2.1.2 模型参数 ####

初始化模型参数

# 初始化模型参数
    def init_params():
        w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
        b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
        return [w, b]

#### 2.1.3  L 2 L\_2 L2 范数惩罚 ####

定义  L 2 L\_2 L2 范数惩罚

# 定义L2范数惩罚
    def l2_penalty(w):
        return torch.sum(w.pow(2)) / 2

#### 2.1.4 训练 ####

本次的训练函数和之前训练函数的最大区别是：增加了输入参数`lambd`。我们用超参数`lambd`来控制正则项的重要程度。当`lambd`等于0时，相当于没有正则化；当`lambd`趋近于无穷时，相当于权重趋近于0.

# 训练函数
    def train(lambd):
        w, b = init_params()
        net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
        num_epochs, lr = 100, 0.003
        animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                                xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
        for epoch in range(num_epochs):
            for X, y in train_iter:
                # with torch.enable_grad():
                l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
                l.sum().backward()
                d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
            if (epoch + 1) % 5 == 0:
                animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                         d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
        d2l.plt.show()
        print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

首先，我们令`lambd=0`，忽视正则化直接进行训练。

train(lambd=0)

此时发生了严重的过拟合，训练误差不断减小，但测试误差一直很高。结果如下图所示：  
![忽略正则化][ac37817e44ae426281eac4788bf321f5.png_pic_center]  
使用权重衰减后，解决了过拟合的问题。

train(lambd=3)

![权重衰减][2cc33372b94248009ee3f0fef96436af.png_pic_center]

### 2.2 简洁实现 ###

L 2 L\_2 L2 正则化可以写在目标函数中，也可以写在训练算法里面  
在简洁实现中，我们将权重衰减写在训练算法中

def train_concise(wd):
        net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
        for param in net.parameters():
            param.data.normal_()
        loss = nn.MSELoss(reduction='none')
        num_epochs, lr = 100, 0.003
        trainer = torch.optim.SGD([{
        
            "params": net[0].weight,
            "weight_decay": wd}, {
        
            "params": net[0].bias }], lr=lr)
        animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                                xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
        for epoch in range(num_epochs):
            for X, y in train_iter:
                # with torch.enable_grad():
                trainer.zero_grad()
                l = loss(net(X), y)
                l.mean().backward()
                trainer.step()
            if (epoch + 1) % 5 == 0:
                animator.add(epoch + 1,
                             (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                              d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
            print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
        d2l.plt.show()

类似从零开始实现，我们也分别在不使用和使用正则化的情况下进行训练。

train_concise(0)
    train_concise(3)

不使用正则化的结果如下图所示：  
![简洁无正则][153f0b6133f544b58c6fd2e4f2faa7da.png_pic_center]

使用正则化的结果如下图所示：  
![简洁正则][0ec6ff637ac84d688f8970faf0792ace.png_pic_center]  
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[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_45800258/article/details/126961485?spm=1001.2014.3001.5501
[a126699218fc412681177d05d6204ea0.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/a126699218fc412681177d05d6204ea0.png#pic_center
[ac37817e44ae426281eac4788bf321f5.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/ac37817e44ae426281eac4788bf321f5.png#pic_center
[2cc33372b94248009ee3f0fef96436af.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/2cc33372b94248009ee3f0fef96436af.png#pic_center
[153f0b6133f544b58c6fd2e4f2faa7da.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/153f0b6133f544b58c6fd2e4f2faa7da.png#pic_center
[0ec6ff637ac84d688f8970faf0792ace.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/0ec6ff637ac84d688f8970faf0792ace.png#pic_center
[v2_08]: https://blog.csdn.net/weixin_45800258/article/details/127113463