Latent Factor Models求解方法

怼烎@ 2023-10-08 21:07 12阅读 0赞

L a t e n t F a c t o r M o d e l s Latent Factor Models LatentFactorModels 是一种统计模型，其目的是通过分解观测数据中的相关性来揭示数据背后的潜在因素或者隐藏变量。该模型假设每个观测值可以由多个因子或者隐藏变量共同决定，并且这些因子之间相互独立。

在因子载荷矩阵的转置乘以因子载荷矩阵是单位阵的约束下和潜在因子矩阵的转置乘以潜在因子矩阵是对角阵的约束下，我们可以将 L a t e n t F a c t o r M o d e l s Latent Factor Models LatentFactorModels 的数学表达式转化为以下形式：

X = L F + ε X = LF + ε X=LF\+ε

其中， X X X 是观测数据矩阵， L L L 是因子载荷矩阵， F F F 是潜在因子矩阵， ε ε ε 是误差项或者噪声。我们可以通过最小化误差平方和来求解  L L L 和  F F F：

m i n ( ∣ ∣ X − L F ∣ ∣ 2 ) min(||X - LF||^2) min(∣∣X−LF∣∣2)

使用最小二乘法来求解上述问题时，我们需要将目标函数对  L L L 和  F F F 分别求导，然后令导数等于 0，从而得到  L L L 和  F F F 的解析解。通过代入约束条件，我们可以推导出因子载荷矩阵由特征向量组成的结果。具体而言，如果我们将  X X X 中心化，那么我们可以得到以下的解析解：

L = ( X ′ X ) ( − 1 / 2 ) V L = (X'X)^\{(-1/2)\} V L=(X′X)(−1/2)V

F = ( X ′ X ) ( − 1 / 2 ) U F = (X'X)^\{(-1/2)\} U F=(X′X)(−1/2)U

其中， V V V 和  U U U 分别是  X ′ X X'X X′X 的特征向量和对应的特征值的平方根。由于 ( X ′ X ) ( − 1 / 2 ) (X'X)^\{(-1/2)\} (X′X)(−1/2) 可以被看作是 V 和 U 组成的矩阵，因此我们可以将因子载荷矩阵表示为 V V V 矩阵的前  k k k 列，其中  k k k 是因子的数量。同样地，我们也可以将潜在因子矩阵表示为  U U U 矩阵的前  k k k 列。在实际应用中，我们通常需要通过交叉验证等方法来确定因子的数量  k k k。