动态规划——509. 斐波那契数

约定不等于承诺〃 2023-10-08 16:16 39阅读 0赞

## 1 题目描述 ##

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1  
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1  
给定 n ，请计算 F(n) 。

来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number

## 2 题目示例 ##

示例 1：  
输入：n = 2  
输出：1  
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：  
输入：n = 3  
输出：2  
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：  
输入：n = 4  
输出：3  
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

## 3 题目提示 ##

0 <= n <= 30

## 4 思路 ##

斐波那契数的边界条件是F(0)=0和F(1)=1。当n >1时，每—项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系:  
F(n)= F(n- 1)＋F(n -2)

由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为F(0)和F(1)。  
根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是O(n)的实现。由于F(nz)只和F(n—1)与F(n ―2)有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。

复杂度分析  
时间复杂度:O(n)。·  
空间复杂度:O(1)。

方法二:矩阵快速幂  
方法—的时间复杂度是o(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。  
首先我们可以构建这样一个递推关系:  
![在这里插入图片描述][fe8d8d3856b2432496519f5810d549ab.png]  
因此只要我们能快速计算矩阵M的n次幂，就可以得到F(n)的值。如果直接求取Mn，时间复杂度是O(n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里Mn的求取。

## 5 我的答案 ##

class Solution {
        
        public int fib(int n) {
        
            if (n < 2) {
        
                return n;
            }
            int p = 0, q = 0, r = 1;
            for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        
                p = q; 
                q = r; 
                r = p + q;
            }
            return r;
        }
    }

方法二：

class Solution {
        
        public int fib(int n) {
        
            if (n < 2) {
        
                return n;
            }
            int[][] q = {
        {
        1, 1}, {
        1, 0}};
            int[][] res = pow(q, n - 1);
            return res[0][0];
        }
    
        public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        
            int[][] ret = {
        {
        1, 0}, {
        0, 1}};
            while (n > 0) {
        
                if ((n & 1) == 1) {
        
                    ret = multiply(ret, a);
                }
                n >>= 1;
                a = multiply(a, a);
            }
            return ret;
        }
    
        public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        
            int[][] c = new int[2][2];
            for (int i = 0; i < 2; i++) {
        
                for (int j = 0; j < 2; j++) {
        
                    c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
                }
            }
            return c;
        }
    }

[fe8d8d3856b2432496519f5810d549ab.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/fe8d8d3856b2432496519f5810d549ab.png