891. 子序列宽度之和 : 逐步分析如何求解对展开式的最终贡献

逃离我推掉我的手 2023-10-03 21:36 5阅读 0赞

### 题目描述 ###

这是 LeetCode 上的 **[891. 子序列宽度之和][891.]** ，难度为 **困难**。

Tag : 「数学」

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 `nums`，返回 `nums` 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109+710^9 + 7109+7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，`[3,6,2,7]` 就是数组 `[0,3,1,6,2,2,7]` 的一个子序列。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
    
    输出：6
    
    解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
    相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
    宽度之和是 6 。
    复制代码

示例 2：

输入：nums = [2]
    
    输出：0
    复制代码

提示：

*  1<=nums.length<=1051 <= nums.length <= 10^51<=nums.length<=105
 *  1<=nums\[i\]<=1051 <= nums\[i\] <= 10^51<=nums\[i\]<=105

### 数学 ###

提示一：每个子序列对答案的贡献

对于某个子序列而言，若其最大值为 aaa，最小值为 bbb，则该子序列对答案的贡献为 (a−b)(a - b)(a−b)。

我们有若干个子序列，即有若干个 (a−b)(a - b)(a−b)，答案为所有 (a−b)(a - b)(a−b) 之和，我们称一个 (a−b)(a - b)(a−b) 为 `item`。

提示二：每个 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 参与了多少个 `item` 的组成，在最终展开式中又是如何

对于每个 (a−b)(a - b)(a−b) 而言，`a` 和 `b` 均必然是具体的 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\]。

同时易知若 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 作为了 kkk 个子序列的最小值，那么在最终表达式展开中，必然有 kkk 个 −nums\[i\]-nums\[i\]−nums\[i\]；同理若 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 作为了 kkk 个子序列的最大值，那么在最终表达式展开中，必然有 kkk 个 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\]。

提示三：统计每个 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 作为最值时，有多少个子序列

先不考虑 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的重复问题。

若 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 作为子序列最小值时，首先 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 必选，小于 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的必不选，而大于 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的可选可不选，组合个数取决于大于 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的数的个数，假设有 kkk 个，那么根据组合数原理，共有 2k2^k2k 个组合，即共有 2k2^k2k 个子序列。此时 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 对答案的贡献为 2k×(−nums\[i\])2^k \\times (-nums\[i\])2k×(−nums\[i\])。

同理，nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 作为子序列最大值时，子序列个数取决于小于 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的数的个数，假设有 kkk 个，此时 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 对答案的贡献为 2k×nums\[i\]2^k \\times nums\[i\]2k×nums\[i\]。

提示四：如何快速得知比 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 大/小 的数的个数

排序。

提示五：nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 的重复问题

无论是将 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 视作最大值还是最小值，我们的组合数均取决于某一侧的数的个数，因此不会答案正确性产生影响。

提示六：2k2^k2k 操作的重复计算问题

将 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 视作最值，我们都需要统计两边数所产生的组合数个数，因此即使对于单个用例都会面临重复计算某个 2k2^k2k 的问题（对称性）。

同时对于跨样例而言，我们仍会重复计算某些 2k2^k2k（尤其是较小的 kkk 值），为避免重复计算，我们可以通过打表预处理的方式算得所有可能要用到 2k2^k2k 结果，在使用的时候直接通过查表取得。

Java 代码：

class Solution {
        static int N = 100010, MOD = (int)1e9+7;
        static long[] p = new long[N];
        static {
            p[0] = 1; 
            for (int i = 1; i < N; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % MOD;
        }
        public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
            int n = nums.length;
            long ans = 0;
            Arrays.sort(nums);
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                ans += (p[i] * nums[i]) % MOD;
                ans %= MOD;
                ans -= (p[n - i - 1] * nums[i]) % MOD;
                ans %= MOD;
            }
            return (int) ans;
        }
    }
    复制代码

TypeScript 代码：

function sumSubseqWidths(nums: number[]): number {
        let n = nums.length, mod = 1000000007, ans = 0
        const p = new Array<number>(n + 10).fill(1)
        for (let i = 1; i <= n; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % mod
        nums.sort((a,b)=>a-b)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            ans += p[i] * nums[i] % mod
            ans %= mod
            ans -= p[n - i - 1] * nums[i] % mod
            ans %= mod
        }
        return ans
    }
    复制代码

Python3 代码：

class Solution:
        def sumSubseqWidths(self, nums: List[int]) -> int:
            n, mod, ans = len(nums), 1000000007, 0
            p = [1] * (n + 10)
            for i in range(1, n + 1):
                p[i] = p[i - 1] * 2 % mod
            nums.sort()
            for i in range(n):
                ans = ans + p[i] * nums[i] % mod
                ans = ans - p[n - i - 1] * nums[i] % mod
            return ans % mod
    复制代码

*  时间复杂度：排序复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\\log\{n\})O(nlogn)；统计答案复杂度为 O(n)O(n)O(n)。整体复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\\log\{n\})O(nlogn)
 *  空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

### 最后 ###

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.891` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：[github.com/SharingSour…][github.com_SharingSour] 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

[891.]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode.cn%2Fproblems%2Fsum-of-subsequence-widths%2Fsolution%2Fby-ac_oier-6tyk%2F
[github.com_SharingSour]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fgithub.com%2FSharingSource%2FLogicStack-LeetCode