奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用（附带例题讲解）（纯理论）

傷城~ 2023-09-28 17:34 69阅读 0赞

奇异值分解（Singular Value Decomposition），以下简称SVD，是在机器学习领域广泛应用的算法，它不仅可以用于降维算法的特征分解，还可以用于推荐系统以及自然语言处理等领域。

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论一下在PCA降维算法中如何运用SVD的。

### 回顾特征值和特征向量 ###

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：  A x = λ x Ax=\\lambda x Ax=λx

其中 A A A是一个 n × n n\\times n n×n的实对称矩阵， x x x是一个 n n n维向量，则我们说 λ \\lambda λ是矩阵 A A A的一个特征值，而 x x x是矩阵 A A A的特征值 λ \\lambda λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以讲矩阵 A A A特征分解。

如果我们求出了矩阵 A A A的 n n n个特征值 λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n \\lambda\_1 \\leq \\lambda\_2 \\leq \\cdots\\leq \\lambda\_n λ1≤λ2≤⋯≤λn以及这 n n n个特征值所对应的特征向量 \{ ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω n \} \\\{\\omega\_1,\\omega\_2,\\cdots,\\omega\_n\\\} \{ ω1,ω2,⋯,ωn\}，如果这 n n n个特征向量线性无关，那么矩阵 A A A就可以用下式的特征分解表示：  
 A = W Σ W − 1 A=W \\Sigma W^\{-1\} A=WΣW−1

其中 W W W是这 n n n个特征向量所张成的 n × n n\\times n n×n维矩阵，而 Σ \\Sigma Σ为这 n n n个特征值为主对角线的 n × n n\\times n n×n维矩阵。

一般我们会把 W W W的这 n n n个特征向量标准化，即满足 ∣ ∣ ω i ∣ ∣ 2 = 1 ||\\omega\_i||\_2=1 ∣∣ωi∣∣2=1，或者说 ω i T ω i = 1 \\omega\_i^T\\omega\_i=1 ωiTωi=1，此时 W W W的这 n n n个特征向量为标准正交基，满足 W T W = 1 W^TW=1 WTW=1，即 W T = W − 1 W^T=W^\{-1\} WT=W−1。

这样我们的特征分解表达式可以写成：  A = W Σ W T A=W\\Sigma W^T A=WΣWT

注意到要进行特征分解，**矩阵 A A A必须为方阵**。那么如果 A A A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

### 2.SVD的定义 ###

**SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。**

假设我们的矩阵 A A A是一个 m × n m\\times n m×n的矩阵，那么我们定义矩阵 A A A的SVD为：  
 A = U Σ V T A=U\\Sigma V^T A=UΣVT

其中 U U U是一个 m × n m\\times n m×n的矩阵， Σ \\Sigma Σ是一个 m × n m\\times n m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， V V V是一个 n × n n\\times n n×n的矩阵。

U U U和 V V V都满足:  U T U = 1    ,    V T V = 1 U^TU=1\\;,\\;V^TV=1 UTU=1,VTV=1

下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

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那么我们如何求出SVD分解后的 U    ,    Σ    ,    V U\\;,\\;\\Sigma\\;,\\;V U,Σ,V这三个矩阵呢？

如果我们将 A A A的转置和 A A A做矩阵乘法，那么会得到 n × n n\\times n n×n的一个方阵 A T A A^TA ATA。既然 A T A A^TA ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：  
 ( A T A ) v i = λ i v i (A^TA)v\_i=\\lambda\_iv\_i (ATA)vi=λivi

这样我们就可以得到矩阵 A T A A^TA ATA的 n n n个特征值和对应的 n n n个特征向量 v v v了。将 A T A A^TA ATA的所有特征向量张成一个 n × n n\\times n n×n的矩阵 V V V，就是我们SVD公式里面的 V V V矩阵了。一般我们将 V V V中的每个特征向量叫做 A A A的右奇异向量。

如果我们将 A A A和 A A A的转置做矩阵乘法，那么会得到 m × n m\\times n m×n的一个方阵 A T A A^TA ATA。既然 A T A A^TA ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：  
 ( A T A ) μ i = λ i μ i (A^TA)\\mu\_i=\\lambda\_i\\mu\_i (ATA)μi=λiμi

这样我们就可以得到矩阵 A T A A^TA ATA的 m m m个特征值和对应的 m m m个特征向量 μ \\mu μ了。将 A T A A^TA ATA的所有特征向量张成一个 m × m m\\times m m×m的矩阵 U U U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 Σ \\Sigma Σ没有求出了。由于 Σ \\Sigma Σ了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 δ \\delta δ就可以了。

我们注意到:  A = U Σ V T ⇒ A V = U Σ V T V ⇒ A V = U Σ ⇒ A v i = δ i μ i ⇒ δ i = A v i / μ i \\begin\{split\} A=U\\Sigma V^T&\\Rightarrow AV=U\\Sigma V^T V \\\\ &\\Rightarrow AV=U\\Sigma\\\\ &\\Rightarrow Av\_i=\\delta\_i\\mu\_i\\\\ &\\Rightarrow \\delta\_i=Av\_i / \\mu\_i \\end\{split\} A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi=δiμi⇒δi=Avi/μi

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 Σ \\Sigma Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 A T A A^TA ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而 A T A A^TA ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例:  
 A = U Σ V T ⇒ A T = V Σ T U T ⇒ A T A = V Σ T U T U Σ V T = V Σ 2 V T \\begin\{split\} A=U\\Sigma V^T&\\Rightarrow A^T=V\\Sigma^T U^T \\\\ &\\Rightarrow A^TA=V\\Sigma^TU^TU\\Sigma V^T=V\\Sigma^2V^T \\end\{split\} A=UΣVT⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT

上式证明使用了:  U T U = 1    ,    Σ T Σ = Σ 2 U^TU=1\\;,\\;\\Sigma^T\\Sigma=\\Sigma^2 UTU=1,ΣTΣ=Σ2

可以看出 A T A A^TA ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 A T A A^TA ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：  
 δ i = λ i \\delta\_i=\\sqrt\{\\lambda\_i\} δi=λi

这样也就是说，我们可以不用 δ i = A v i / μ i \\delta\_i=Av\_i/\\mu\_i δi=Avi/μi来计算奇异值，也可以通过求出 A T A A^TA ATA的特征值取平方根来求奇异值。

### 3.SVD计算举例 ###

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：  
 A = ( 0 1 1 1 1 0 ) A= \\begin\{pmatrix\} 0 & 1\\\\ 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} A=⎝⎛011110⎠⎞

我们首先求出 A T A A^TA ATA和 A A T AA^T AAT:  
 A T A = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 2 1 1 2 ) A^TA= \\begin\{pmatrix\} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 1\\\\ 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} =\\begin\{pmatrix\} 2 & 1\\\\ 1 & 2 \\end\{pmatrix\} ATA=(011110)⎝⎛011110⎠⎞=(2112)

A A T = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ) AA^T= \\begin\{pmatrix\} 0 & 1\\\\ 1 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \\end\{pmatrix\} =\\begin\{pmatrix\} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \\end\{pmatrix\} AAT=⎝⎛011110⎠⎞(011110)=⎝⎛110121011⎠⎞

进而求出 A A T AA^T AAT的特征值和特征向量:  λ 1 = 3    ,    μ 1 = ( 1 / 6 2 / 6 1 / 6 ) λ 2 = 1    ,    μ 2 = ( 1 / 2 0 − 1 / 2 ) λ 3 = 0    ,    μ 3 = ( 1 / 3 − 1 / 3 1 / 3 ) \\begin\{split\} &\\lambda\_1=3\\;,\\; \\mu\_1= \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{6\}\\\\ 2/\\sqrt\{6\}\\\\ 1/\\sqrt\{6\} \\end\{pmatrix\}\\\\ &\\lambda\_2=1\\;,\\; \\mu\_2= \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{2\}\\\\ 0\\\\ -1/\\sqrt\{2\} \\end\{pmatrix\}\\\\ &\\lambda\_3=0\\;,\\; \\mu\_3= \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{3\}\\\\ -1/\\sqrt\{3\}\\\\ 1/\\sqrt\{3\} \\end\{pmatrix\} \\end\{split\} λ1=3,μ1=⎝⎛1/62/61/6⎠⎞λ2=1,μ2=⎝⎛1/20−1/2⎠⎞λ3=0,μ3=⎝⎛1/3−1/31/3⎠⎞

利用 A v i = δ i μ i    ,    i = 1 , 2 Av\_i=\\delta\_i\\mu\_i\\;,\\;i=1,2 Avi=δiμi,i=1,2求奇异值：  ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 1 / 2 1 / 2 ) = δ 1 ( 1 / 6 2 / 6 1 / 6 ) ⇒ δ 1 = 3 ( 0 1 1 1 1 0 ) ( − 1 / 2 1 / 2 ) = δ 2 ( 1 / 2 0 − 1 / 2 ) ⇒ δ 2 = 1 \\begin\{split\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 1\\\\ 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{2\}\\\\ 1/\\sqrt\{2\} \\end\{pmatrix\} =\\delta\_1 \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{6\}\\\\ 2/\\sqrt\{6\}\\\\ 1/\\sqrt\{6\} \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\delta\_1=\\sqrt\{3\}\\\\ \\begin\{pmatrix\} 0 & 1\\\\ 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} -1/\\sqrt\{2\}\\\\ 1/\\sqrt\{2\} \\end\{pmatrix\} =\\delta\_2 \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{2\}\\\\ 0\\\\ -1/\\sqrt\{2\} \\end\{pmatrix\} \\Rightarrow \\delta\_2=1 \\end\{split\} ⎝⎛011110⎠⎞(1/21/2)=δ1⎝⎛1/62/61/6⎠⎞⇒δ1=3⎝⎛011110⎠⎞(−1/21/2)=δ2⎝⎛1/20−1/2⎠⎞⇒δ2=1

当然，我们也可以用 δ i = λ i \\delta\_i=\\sqrt\{\\lambda\_i\} δi=λi直接求出奇异值为 3 \\sqrt\{3\} 3和1。

最终得到A的奇异值分解为:  A = U Σ V T = ( 1 / 6 1 / 2 1 / 3 2 / 6 0 − 1 / 3 1 / 6 − 1 / 2 1 / 3 ) ( 3 0 0 1 0 0 ) ( 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ) A=U\\Sigma V^T= \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{6\} & 1/\\sqrt\{2\} & 1/\\sqrt\{3\}\\\\ 2/\\sqrt\{6\} & 0 & -1/\\sqrt\{3\}\\\\ 1/\\sqrt\{6\} & -1/\\sqrt\{2\} & 1/\\sqrt\{3\} \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} \\sqrt\{3\} & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 1/\\sqrt\{2\} & 1/\\sqrt\{2\}\\\\ -1/\\sqrt\{2\} & 1/\\sqrt\{2\} \\end\{pmatrix\} A=UΣVT=⎝⎛1/62/61/61/20−1/21/3−1/31/3⎠⎞⎝⎛300010⎠⎞(1/2−1/21/21/2)

### 4.SVD的一些性质 ###

SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:  
 A m × n = U m × m Σ m × n V n × n T ≈ U m × k Σ k × k V k × n T A\_\{m\\times n\}=U\_\{m\\times m\}\\Sigma\_\{m\\times n\}V\_\{n\\times n\}^T\\approx U\_\{m\\times k\}\\Sigma\_\{k\\times k\}V\_\{k\\times n\}^T Am×n=Um×mΣm×nVn×nT≈Um×kΣk×kVk×nT

其中 k k k要比 n n n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 U m × k    ,    Σ k × k    ,    V k × n T U\_\{m\\times k\}\\;,\\;\\Sigma\_\{k\\times k\}\\;,\\;V\_\{k\\times n\}^T Um×k,Σk×k,Vk×nT来表示。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。

### 5.SVD用于PCA ###

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 X T X X^TX XTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 X T X X^TX XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 X T X X^TX XTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 X T X X^TX XTX，也能求出我们的右奇异矩阵 V V V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是 m × n m\\times n m×n的矩阵 X X X，如果我们通过SVD找到了矩阵  
 X T X X^TX XTX最大的d个特征向量张成的 m × d m\\times d m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：  
 X d × n ′ = U d × m T X m × n X\_\{d\\times n\}^\{'\}=U\_\{d\\times m\}^TX\_\{m\\times n\} Xd×n′=Ud×mTXm×n

可以得到一个 d × n d\\times n d×n的矩阵 X ′ X^\{'\} X′,这个矩阵和我们原来的 m × d m\\times d m×d维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。  
最大的d个特征向量张成的 m × d m\\times d m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：  
 X d × n ′ = U d × m T X m × n X\_\{d\\times n\}^\{'\}=U\_\{d\\times m\}^TX\_\{m\\times n\} Xd×n′=Ud×mTXm×n

可以得到一个 d × n d\\times n d×n的矩阵 X ′ X^\{'\} X′,这个矩阵和我们原来的 m × d m\\times d m×d维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

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