拟合算法模型

矫情吗；* 2023-09-28 14:54 142阅读 0赞

来源：数学建模清风学习内容整理

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#### 文章目录 ####

*  拟合算法
 *   *  01 插值和拟合的区别
     *  02 最小二乘法
 *  拟合优度
 *   *  （1）如何评价拟合效果？
     *  （2）如何判断拟合函数为线性函数？
     *  （3）matlab计算拟合优度
 *  ※ matlab曲线拟合工具箱
 *   *  （1）使用图解
     *  （2）示例
     *  （3）优秀论文示范

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## 拟合算法 ##

*  与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟  
    合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所  
    有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

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### 01 插值和拟合的区别 ###

![在这里插入图片描述][98084b2fae7c4474bfbd3daf8df0ace9.png]

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### 02 最小二乘法 ###

![在这里插入图片描述][5b511d7244f34a0797421ba5587f0386.png]![在这里插入图片描述][d36218b4ca3245b98d835b0351a92119.png]  
![在这里插入图片描述][c15baae3c53b4f418cda03f24188f780.png]

clear;clc
    load  data1
    plot(x,y,'o')
    % 给x和y轴加上标签
    xlabel('x的值')
    ylabel('y的值')
    n = size(x,1);
    k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
    b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
    hold on % 继续在之前的图形上来画图形
    grid on % 显示网格线
    
    % % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
    % % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
    % xx = 2.5: 0.1 :7  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
    % yy = k * xx + b  % k和b都是已知值
    % plot(xx,yy,'-')
    
    % 匿名函数的基本用法。
    % handle = @(arglist) anonymous_function
    % 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
    % arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
    % anonymous_function为匿名函数的表达式。
    % 举个小例子
    %  z=@(x,y) x^2+y^2; 
    %  z(1,2) 
    % % ans =  5
    % fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
    % fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =  [xmin xmax] 表示定义域的范围
    
    f=@(x) k*x+b;
    fplot(f,[2.5,7]);
    legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

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## 拟合优度 ##

*  要对拟合的函数  f ( x ) f(x) f(x) 取舍（**保证模型简洁性**），拟合  f ( x ) f(x) f(x) 越简单， R 2 R^2 R2 越接近于1，结果越好
 *  只有拟合函数是线性函数时，才采用拟合优度  R 2 R^2 R2 来对拟合结果评价
 *  线性函数与其他函数（如复杂的指数函数）比较时，采用  S S E SSE SSE 来对拟合好坏评价。

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### （1）如何评价拟合效果？ ###

![在这里插入图片描述][ccad312bd7c64d098316f1af8948002b.png]  
![在这里插入图片描述][9206fff758e54ae3bf403468bad86aa7.png]

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### （2）如何判断拟合函数为线性函数？ ###

![在这里插入图片描述][b3089ffda5834e719954fea5cdf8f50a.png]  
![在这里插入图片描述][659a6b9783794ff285a6ce4acc047273.png]

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### （3）matlab计算拟合优度 ###

![在这里插入图片描述][9ae2d0c8a4724a348a7a02ce3af712df.png]

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
    SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
    SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
    SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
    SST-SSE-SSR   % 5.6843e-14  =   5.6843*10^-14   matlab浮点数计算的一个误差
    R_2 = SSR / SST

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## ※ matlab曲线拟合工具箱 ##

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### （1）使用图解 ###

![在这里插入图片描述][cf9bd9442b084221b0646b35ff7a5253.png]

![在这里插入图片描述][cb113cf77ecb468d8fda2bc17b77dd23.png]

> 进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”  
> （1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；  
> （2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；  
> （3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；  
> （4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，
> 
> --------------------
> 
> 工具箱提供的拟合类型有：  
> **Custom Equations**：用户自定义的函数类型  
> **Exponential**：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)  
> **Fourier**：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)  
> **Gaussian**：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)  
> **Interpolant**：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving  
> **Polynomial**：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~  
> **Power**：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c  
> **Rational**：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型  
> **Smoothing Spline**：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）  
> **Sum of Sin Functions**：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)  
> **Weibull**：只有一种，a*b\*x(b-1)\*exp(-a\*xb)
> 
> --------------------
> 
> 选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：  
> ——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；  
> ——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。  
> 在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b\*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。  
> （5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果。
> 
> --------------------
> 
> 注意：cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a\*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。

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### （2）示例 ###

*  示例一

![在这里插入图片描述][ad8d83837ab6421da4cd59c2adea4a60.png]

clear;clc
    year = 1790:10:2000;
    population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
    plot(year,population,'o')
    cftool  % 拟合工具箱
    % (1) X data 选择 year
    % (2) Y data 选择 population
    % (3) 拟合方式选择：Custom Equation (自定义方程)
    % (4) 修改下方的方框为：x = f(t) = xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*(t-1790)))
    % (5) 左边的result一栏最上面显示：Fit computation did not converge:即没有找到收敛解，右边的拟合图形也表明拟合结果不理想
    % (6) 点击Fit Options，修改非线性最小二乘估计法拟合的初始值(StartPoint), r修改为0.02，xm修改为500 
    % 有很多同学有疑惑，初始值为什么要这样设置？我们在未来学习微分方程模型和智能算法的课程时再来给大家介绍这里面蕴含的技巧。
    % (7) 此时左边的result一览得到了拟合结果：r = 0.02735, xm = 342.4
    % (8) 依次点击拟合工具箱的菜单栏最左边的文件—Generate Code(导出代码到时候可以放在你的论文附录)，可以得到一个未命名的脚本文件
    % (9) 在这个打开的脚本中按快捷键Ctrl+S，将这个文件保存到当前文件夹。
    % (10) 在现在这个文件中调用这个函数得到参数的拟合值和预测的效果
    [fitresult, gof] = createFit(year, population)
    t = 2001:2030;
    xm = 342.4;   
    r =  0.02735;
    predictions = xm./(1+(xm./3.9-1).*exp(-r.*(t-1790)));  % 计算预测值（注意这里要写成点乘和点除,这样可以保证按照对应元素进行计算）
    figure(2)
    plot(year,population,'o',t,predictions,'.')  % 绘制预测结果图

*  示例二  
    ![在这里插入图片描述][db99ba4efcfb41d1bf43faa55e040ba4.png]

% （1）randi : 产生均匀分布的随机整数（i = int）  
    %产生一个1至10之间的随机整数矩阵，大小为2x5；
    s1 = randi(10,2,5)
    %产生一个-5至5之间的随机整数矩阵，大小为1x10；
    s2 = randi([-5,5],1,10)
    
    %  （2） rand: 产生0至1之间均匀分布的随机数
    %产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
    s3 = rand(1,5)
    %产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5；  % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
    s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)
    
    % （3）normrnd:产生正态分布的随机数
    %产生一个均值为0，标准差（方差开根号）为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
    s5 = normrnd(0,2,3,4)
    
    % （4）roundn—任意位置四舍五入
    % 0个位 1十位  2百位 -1小数点后一位  
    a = 3.1415
    roundn(a,-2)    % ans   =  3.1400
    roundn(a,2)      % ans   =  0
    a =31415
    roundn(a,2)   % ans  = 31400
    roundn(5.5,0)  %6
    roundn(5.5,1) %10

*  示例三  
    ![在这里插入图片描述][56448f69237b4affbb888ac7299c8a20.png]

clear;clc 
    x = rand(30,1) * 10;  % x是0-10之间均匀分布的随机向量（30个样本）
    y = 3 * exp(0.5*x) -5 + normrnd(0,1,30,1);
    % cftool

### （3）优秀论文示范 ###

![在这里插入图片描述][e09788d0f795413a8eecc49151c1f334.png]  
% **因为不是线性函数，所以不看  R 2 R^2 R2 ，而是看 误差平方和  S S E SSE SSE** %![在这里插入图片描述][f3b32b7d4cf542ebb24bf30822eaa24a.png]

*  cftool的额外功能（不推荐使用，因为三维画图有其他办法）  
    ![在这里插入图片描述][d406c8cf6c6d4067b0e1605af9580e91.png]

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