TOPSIS优劣解距离法

柔光的暖阳◎ 2023-09-28 14:43 97阅读 0赞

来源：数学建模清风 学习内容所整理

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### 文章目录 ###

*  评价类模型
 *  一、TOPSIS法（优劣解距离法）
 *   *  01 矩阵正向化
     *  02 正向化矩阵标准化
     *  03 计算得分归一化
     *  matlab代码实现
 *  二、基于熵权法的TOPSIS算法
 *   *  01 引入
     *  02 熵权法计算步骤
     *   *  ①标准化
         *  ②计算所占概率
         *  ③计算信息熵归一化得熵权
     *  03 熵权法原理
     *  matlab代码

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数据资料搜索网站 [虫部落-快搜][-] [https://www.chongbuluo.com/][-]

> 搜索优先级：
> 
> > 1.谷歌搜索  
> > 2.微信搜索  
> > 3.知乎搜索

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# 评价类模型 #

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评价类问题中主要分为确定评价指标，形成评价体系，就是对目标打分排序选最优解。

（例如：选择哪种方案最好、哪位运 动员或者员工表现的更优秀）。

> 解决评价类问题先从三个问题入手：
> 
> > **①评价的目标是什么？**
> > 
> > > 从题目要求中获取
> > 
> > **②为了达到目标有哪些可选方案？**
> > 
> > > 题目中所给可执行方案
> > 
> > **③评价的指标是什么？**
> > 
> > > 从背景材料、常识、及网上搜集的参考资料（文献）筛选合适指标

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# 一、TOPSIS法（优劣解距离法） #

**TOPSIS法**：(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，翻译为**逼近理想解序法**，也称**优劣解距离法**。TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

*  基本过程为先将原始数据统一指标类型（一般正向化）处理得到正向化矩阵，再进行标准化处理消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

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## 01 矩阵正向化 ##

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*  **将所有指标类型转化为极大型指标 （就是越大越好，比如考试成绩）**  
    ![在这里插入图片描述][15a69d23109e4d60a4916e197d356a21.png]  
    ![在这里插入图片描述][ce7e92ded49548c688b53098831b986c.png]

![在这里插入图片描述][f152e5fe2de2473484168b86e7139ee9.png]  
![在这里插入图片描述][47cbb7e3bd3c461e8345ffe423ff8606.png]

> **正向化的公式不唯一，可以自行结合数据修改**

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## 02 正向化矩阵标准化 ##

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*  **标准化就是消除不同量纲的影响**

![在这里插入图片描述][80a11aedbcb449228fe5c36140609e92.png]

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## 03 计算得分归一化 ##

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*  **不考虑权重的归一化计算（默认各个指标的权重一致）**

![在这里插入图片描述][4c2c14445dfd474286ac2208ce96cb84.png]

*  **带权重的归一化计算（各个指标所占权重不同）**  
    ![在这里插入图片描述][50da0d9c29634c8bb557cc65e8d40507.png]  
    ![在这里插入图片描述][5121210da16047108697ff3c566b125c.png]

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## matlab代码实现 ##

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*  **先导入自定义函数文件**

> matlab 中不支持自定义函数放主函数中，所以要单独放在一个.m文件中，然后把自定义函数文件和主函数文件放同一个文件夹之下

*  自定义正向化函数

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
    % 函数的中间部分都是函数体
    % 函数的最后要用end结尾
    % 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
    % function [a,b,c]=test(d,e,f)
    %     a=d+e;
    %     b=e+f;
    %     c=f+d;
    % end
    % 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
    
    function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
    % 输入变量有三个：
    % x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
    % type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
        if type == 1  %极小型
            disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
            posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
            disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        elseif type == 2  %中间型
            disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
            best = input('请输入最佳的那一个值： ');
            posit_x = Mid2Max(x,best);
            disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        elseif type == 3  %区间型
            disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
            a = input('请输入区间的下界： ');
            b = input('请输入区间的上界： '); 
            posit_x = Inter2Max(x,a,b);
            disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
            disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
        else
            disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
        end
    end

*  自定义**极小型**指标正向化函数

function [posit_x] = Min2Max(x)
        posit_x = max(x) - x;
         %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
    end

*  自定义**中间型**指标正向化函数

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
        M = max(abs(x-best));
        posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
    end

*  自定义**区间型**指标正向化函数

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
        r_x = size(x,1);  % row of x 
        M = max([a-min(x),max(x)-b]);
        posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
        % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
        for i = 1: r_x
            if x(i) < a
               posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
            elseif x(i) > b
               posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
            else
               posit_x(i) = 1;
            end
        end
    end

**以上自定义函数都必须单独存放于 .m文件 和 主函数 在同一目录文件夹下，等待被主函数调用**

*  topsis主函数

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X  %导入数据
    % （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
    % （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
    % （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
    % （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
    clear;clc
    load data_xxx.mat
    %% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_xxx.mat'。没有此类文件或目录。
    % 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
    % 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
    % 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
    % 那么我就可以输入命令：
    % cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
    
    %%  第二步：判断是否需要正向化
    [n,m] = size(X);
    disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
    Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);
    
    if Judge == 1
        Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
        disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
        Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
        % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
        for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
            X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
        % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
        % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
        % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
        % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
        % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
        end
        disp('正向化后的矩阵 X =  ')
        disp(X)
    end
    %% 补充：在这里增加是否需要算加权
    % 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
    % （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
    % % 假如原始数据为：
    %   A=[1, 2, 3;
    %        2, 4, 6] 
    % % 权重矩阵为：
    %   B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ] 
    % % 加权后为：
    %   C=A .* B
    %     0.2000    1.0000    0.9000
    %     0.4000    2.0000    1.8000
    % 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
    % 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。
    
    %% 让用户判断是否需要增加权重
    disp('请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0')
    Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
    if Judge == 1
        disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
        weigh = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
        OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
        while OK == 0 
            if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m   % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。
                 OK =1;
            else
                weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
            end
        end
    else
        weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
    end
    
    
    %% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
    Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
    disp('标准化矩阵 Z = ')
    disp(Z)
    
    %% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
    D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
    D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
    S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
    disp('最后的得分为：')
    stand_S = S / sum(S)
    [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
    
    % A = magic(5)  % 幻方矩阵
    % M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
    % sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
    % sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
    % sort(A,dim)
    % dim=1时等效sort(A)
    % dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
    % A = [2,1,3,8]
    % Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
    % 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
    % sA  =  8     3     2     1
    % index =  4     3     1     2
    
    
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

> **代码降重方法：**
> 
> 1.  增加注释（甚至可以每一行都加注释）
> 2.  替换变量名
> 3.  增加恶心字符（emmmm…不作说明）
> 4.  附录代码块变为图片

# 二、基于熵权法的TOPSIS算法 #

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*  是基于熵权法对Topsis模型的修正
 *  加权Topsis算法中用层次分析法确定权重的话过于主观性，可以用熵权法来确定权重

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## 01 引入 ##

![在这里插入图片描述][ea161161f34645459d485ea0cad3e245.png]  
![在这里插入图片描述][9a6f23314ae5422eac270debe6baba2c.png]  
![在这里插入图片描述][39271a58afb74547b9fd2ff41ed23e6f.png]  
![在这里插入图片描述][09c1bff3f0a84d87b9b3a42e671ee8fb.png]  
![在这里插入图片描述][b116a92466cf48ffab358f63fbf7cef2.png]

> 熵越大，信息量越小，概率越大，信息效用值越小，熵权越小

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## 02 熵权法计算步骤 ##

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### ①标准化 ###

![在这里插入图片描述][9f427221810b44549ca317b0c25a51cd.png]

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### ②计算所占概率 ###

![在这里插入图片描述][19223b588b614580bc92f0b157d218d0.png]

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### ③计算信息熵归一化得熵权 ###

![在这里插入图片描述][0d0b0f5fd1fd45deb865f9822a98e8a8.png]

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## 03 熵权法原理 ##

![在这里插入图片描述][8ebc8cb8c40a4edc9c03529a2ed7830d.png]

%  code_Monre_Carle.m
    %% 蒙特卡洛模拟：指标的标准差和信息熵成反比
    n = 30;  % 样本个数
    N = 100; % 试验的次数
    result = zeros(N,2);  % 初始化用来保存信息熵和标准差的矩阵，横坐标表示信息熵，纵坐标表示标准差
    for i = 1:N
        x = rand(n,1);  % 随机生成n个位于区间[0,1]上面的样本 
        p = x / sum(x);
        e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
        sd = std(x);  % 计算标准差
        result(i,1) = e;
        result(i,2) = sd;
    end
    
    plot(result(:,1),result(:,2),'o')   %画图
    xlabel('信息熵')
    ylabel('标准差')
    [r,p] = corrcoef(result(:,1),result(:,2)) % 计算相关系数和对应的p值

> ![在这里插入图片描述][7131e946b4164f7e82ab9c85b6bca593.png]  
> ：来自清风数学建模

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## matlab代码 ##

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*  因为该模型为Topsis模型的优化，故调用的自定义函数代码未变可看上述Topsis模型中代码

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*  **增加的熵权法代码**

function [W] = Entropy_Method(Z)
    % 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
    % 输入
    % Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
    % 输出
    % W：熵权，m*1的行向量
    
    %% 计算熵权
        [n,m] = size(Z);
        D = zeros(1,m);  % 初始化保存信息效用值的行向量
        for i = 1:m
            x = Z(:,i);  % 取出第i列的指标
            p = x / sum(x);
            % 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
            e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
            D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
        end
        W = D ./ sum(D);  % 将信息效用值归一化，得到权重    
    end
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

*  被调用函数 mylog

% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
    function [lnp] =  mylog(p)
    n = length(p);   % 向量的长度
    lnp = zeros(n,1);   % 初始化最后的结果
        for i = 1:n   % 开始循环
            if p(i) == 0   % 如果第i个元素为0
                lnp(i) = 0;  % 那么返回的第i个结果也为0
            else
                lnp(i) = log(p(i));  
            end
        end
    end

*  **基于熵权法topsis算法主函数**  
    （需要调用的自定义函数在第二部分Topsis算法代码中有）

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
    % （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
    % （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
    % （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
    % （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦。
    clear;clc
    load data_water_quality.mat
    
    %%  第二步：判断是否需要正向化
    [n,m] = size(X);
    disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
    Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);
    
    if Judge == 1
        Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
        disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
        Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
        % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
        for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
            X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
        % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
        % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
        % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
        % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
        % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
        end
        disp('正向化后的矩阵 X =  ')
        disp(X)
    end
    %% 注意：在这里增加是否需要算加权
    % 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
    % （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
    % % 假如原始数据为：
    %   A=[1, 2, 3;
    %        2, 4, 6] 
    % % 权重矩阵为：
    %   B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ] 
    % % 加权后为：
    %   C=A .* B
    %     0.2000    1.0000    0.9000
    %     0.4000    2.0000    1.8000
    % 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
    % 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。
    
    
    %% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
    Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
    disp('标准化矩阵 Z = ')
    disp(Z)
    
    
    %% 让用户判断是否需要增加权重
    disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
    Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
    if Judge == 1
        Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');
        if Judge == 1
            if sum(sum(Z<0)) >0   % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化
                disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')
                for i = 1:n
                    for j = 1:m
                        Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];
                    end
                end
                disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:  ')
                disp(Z)
            end
            weight = Entropy_Method(Z);
            disp('熵权法确定的权重为：')
            disp(weight)
        else
            disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
            weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
            OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
            while OK == 0 
                if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心
                    OK =1;
                else
                    weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
                end
            end
        end
    else
        weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
    end
    
    
    %% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
    D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
    D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
    S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
    disp('最后的得分为：')
    stand_S = S / sum(S)
    [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
    
    % A = magic(5)  % 幻方矩阵
    % M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
    % sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
    % sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
    % sort(A,dim)
    % dim=1时等效sort(A)
    % dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
    % A = [2,1,3,8]
    % Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
    % 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
    % sA  =  8     3     2     1
    % index =  4     3     1     2
    
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

> **代码降重方法：**
> 
> 1.  增加注释（甚至可以每一行都加注释）
> 2.  替换变量名
> 3.  增加恶心字符（emmmm…不作说明）
> 4.  附录代码块变为图片

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