树（Tree）和二叉树

电玩女神 2023-09-28 14:38 65阅读 0赞

**目录**

1.树的定义

2.一些树的关键词定义

3.树的存储结构

4.二叉树的定义

5.满二叉树和完全二叉树

6.二叉树的性质

7.二叉树的存储方式

8.二叉树的基本操作

8.1 二叉树的4种遍历方式

8.2 二叉树的基本操作

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## 1.树的定义 ##

> **树是一种非线性的数据结构，它表现的关系是****一对多**
> 
> **它是由n（n>=0）个结点组成的有限集，当n = 0时，称为空树。**
> 
> **在任意一棵非空树中应满足：**
> 
> **1.有且仅有一个特殊的根节点，根节点没有前驱结点**
> 
> **2.每一个非根结点有且只有一个父结点；**
> 
>  **除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树，并且子树是不相交的**
> 
> **3.树是递归定义的**
> 
> **4.一颗N个结点的树有N-1条边**

![82bd67c3697641a395c48f2a071a0eef.png][]

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## 2.一些树的关键词定义 ##

> **结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度**
> 
> **树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度**
> 
> **树的深度：一棵树中节点的最大深度就是树的深度，也称为高度**
> 
> **父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点  
> 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点  
> 节点的层次：从根节点开始，根节点为第一层，根的子节点为第二层，以此类推  
> 兄弟节点：拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点  
> 叶子节点：度为零的节点就是叶子节点  
> 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；  
> 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。  
> 森林：m颗互不相交的树构成的集合就是森林**

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## 3.树的存储结构 ##

> **（1）双亲表示法（2）孩子表示法（3）孩子兄弟表示法**

**（1）双亲表示法**

**在每个节点中，有一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置，**

**使其每个结点，不但知道自己是谁，而且知道双亲位置**

![994b84179fad4a88ac623f2c4f698483.png][]

**（2）孩子表示法**

**将每个结点的孩子结点排序，以单链表存储，则n个结点有n个孩子链表**

**并且如果是叶子结点，这个单链表为空**

**然后将每个单链表的头指针组成一个线性表，顺序存储放入数组中**

![110518a869234806a686321b60da808e.png][]

**（3）孩子兄弟表示法**

**任意一棵树， 它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。 因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。**

**这样也就把这个树变成了二叉树**

![59ea87f52d8649f0a0c1f088ce8cfc61.png][]

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## 4.二叉树的定义 ##

> **二叉树是结点的一个有限集合，该集合为空，或者是由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成。**
> 
> **需要注意的是**
> 
> **（1）每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。  
> （2）二叉树是有序树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。**

![710c24d39ab04b8384f92d294135cb39.png][]

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## **5.满二叉树和完全二叉树** ##

**（1）满二叉树**

> **如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。**

![8caeaa1489ed4093b9ff92732af183b5.png][]

**特点**

> 1.  **满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1 个。**
> 2.  **深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点 ，叶子数为 2k-1。**
> 3.  **满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。**
> 4.  **具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。**

**（2）完全二叉树**

> **如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。**
> 
> **满二叉树是一种特殊的完全二叉树**
> 
> **n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1。**

![bfd858d9dbd144af9b620236672746e0.png][]

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## 6.二叉树的性质 ##

> **（1）在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）**
> 
> ![ef0005bf84ff418cbf2071c18ebe8e0b.png][]
> 
> **（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）**
> 
> **可以看上面的图，深度为4，一共有2^4 -1= 15个结点**
> 
> **（3）对于任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1**
> 
> ![1db50dc50d504cc8b7d08af1487cc3ea.png][]
> 
> **（4）具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）**
> 
> ![87779812382f4c06b01c33f77f98674a.png][]
> 
> **（5）如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为\[log2n\]+1）的结点按层序编号（从 层到\[log2n\]+1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）:  
> 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲，如果i>1,则其双亲结点是结点\[i/2\]  
> 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）否则左孩子是结点2i。  
> 如果2i+1>n,则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1.**  
>

**下面看几个练习题**

> **1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ）** 
> 
> **A n** 
> 
> **B n+1** 
> 
> **C n-1** 
> 
> **D n/2**
> 
> **一共有2n个结点 也就是偶数个结点，那么一定存在一个度为1的结点**
> 
> **所以就有 2n = n0+n2+1 n0 = n2+1**
> 
> **所以就有 2n = n0+n0-1+1 --->n = n0**
> 
> **2. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）** 
> 
> **A 不存在这样的二叉树** 
> 
> **B 200** 
> 
> **C 198** 
> 
> **D 199** 
> 
>  **n2 = 199 n0=n2+1=200**
> 
> **3.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ B ）** 
> 
> **A 11** 
> 
> **B 10** 
> 
> **C 8** 
> 
> **D 12** 
> 
>  **k=log2 531 +1 取10**
> 
> **4.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ B ）** 
> 
> **A 383** 
> 
> **B 384** 
> 
> **C 385** 
> 
> **D 386**
> 
> **767个结点 是奇数，那么度为1的结点没有**
> 
>  **所以就是 767 = n0+n2 n0 = n2+1**
> 
> **所以就有767 = n0+n0-1 n0 = 384**

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## 7.二叉树的存储方式 ##

**二叉树的存储方式有 顺序存储和****类似于链表的链式存储**

**二叉树的类似于链式存储是，一个一个节点引用起来的，这两种具体结构前面树已经提过了**

**（1）孩子表示法**

class Node { 
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
    }

**（2）孩子双亲表示法**

class Node { 
    int val; // 数据域 
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
    Node parent; // 当前节点的根节点 
    }

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## 8.二叉树的基本操作 ##

### 8.1 二叉树的4种遍历方式 ###

![7b2215ef2ac240e18d4a80deeabc0167.png][]

用代码将上面的这个二叉树结构穷举一遍

static class TreeNode {
            public char val;
            public TreeNode left;
            public TreeNode right;
    
            public TreeNode(char val) {
                this.val = val;
            }
        }
        //二叉数的根节点
        public TreeNode root;
    
        public void createTree() {
            TreeNode A = new TreeNode('A');
            TreeNode B = new TreeNode('B');
            TreeNode C = new TreeNode('C');
            TreeNode D = new TreeNode('D');
            TreeNode E = new TreeNode('E');
            TreeNode F = new TreeNode('F');
            TreeNode G = new TreeNode('G');
            TreeNode H = new TreeNode('H');
    
            A.left = B;
            A.right = C;
            B.left = D;
            B.right = E;
            C.left = F;
            C.right = G;
            E.right = H;
            this.root = A;
        }

**（1）前序遍历****（根-->左-->右）**

> **先访问一棵树的根节点，再访问左子树，最后访问右子树。**
> 
> **上面的遍历次序就是 A -> B -> D -> E -> H -> C -> F -> G**

void preOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) return;
            System.out.print(root.val + " ");
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
        }

**（2）中序遍历（左-->根-->右）**

> **先访问一棵树的左子树，再访问根节点，最后访问右子树。**
> 
> **上面的遍历次序就是 D -> B -> E -> H -> A -> F -> C -> G**

void inOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) return;
            inOrder(root.left);
            System.out.print(root.val + " ");
            inOrder(root.right);
        }

**（3）后序遍历（左-->右-->根）**

> **先访问一棵树的左子树，再访问右子树，最后访问根节点。**
> 
> **上面的遍历次序就是 D -> H -> E -> B -> F -> G -> C -> A**

void postOrde(TreeNode root) {
            if (root == null) return;
            postOrde(root.left);
            postOrde(root.right);
            System.out.print(root.val + " ");
        }

**（4）层序遍历**

> **先访问第一层的根结点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着访问第三层的结点。**

--------------------

### **8.2 二叉树的基本操作** ###

**（1）获取树中结点的个数size()**

**两种思路**

**子问题：先遍历左边的树，再遍历右边的树，不为null就++**

**遍历递归思路：只要不为null就给sizeNode++**

//1.子问题思路
         int size(TreeNode root) {
            if(root == null) return 0;
            return size(root.left) + size(root.right) + 1;
        }
        //2.遍历递归思路
        public static int sizeNode;
        void size2(TreeNode root){
            if(root == null) return;
            sizeNode++;
            size2(root.left);
            size2(root.right);
        }

**（2）获取叶子结点的个数getLeafNodeCount()**

**还是两种思路**

**子问题：左树的叶子+右树的叶子 = 整棵树的叶子**

**遍历递归思路：遍历到叶子就++**

**判断是不是叶子的条件是root.left == null && root.right == nul**

//1.子问题
        int getLeafNodeCount(TreeNode root){
            if(root == null) return 0;
    
            if (root.left == null && root.right == null) {
                return 1;
            }
            return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
        }
        //2.遍历递归
        public static int leafSize;
        void getLeafNodeCount2(TreeNode root){
            if(root == null) return ;
            if (root.left == null && root.right == null) {
                leafSize++;
            }
            getLeafNodeCount2(root.left);
            getLeafNodeCount2(root.right);
        }

**（3）获取第K层结点的个数getKLevelNodeCount()**

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
            if(root == null) return 0;
            if (k == 1) {
                return 1;
            }
            return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
        }

**（4）获取二叉树的高度getHeight()\\**

**二叉树的高度--》左树高度和右树高度最大值+1**

int getHeight(TreeNode root) {
            if(root == null) return 0;
            int leftHight = getHeight(root.left);
            int rightHight = getHeight(root.right);
            return (leftHight > rightHight ?
                    leftHight + 1 :
                    rightHight + 1);
        }

**时间复杂度O（N）**

**（5）检测值为value的元素是否存在fifind()**

**先看根是不是要找到元素，如果不是在左子树找，还不是就右子树找**

TreeNode find(TreeNode root, int val) {
            if(root == null) return null;
            if(root.val == val) {
                return root;
            }
            TreeNode ret1 = find(root.left,val);
            if (ret1 != null) {
                return ret1;
            }
            TreeNode ret2 = find(root.right,val);
            if (ret2 != null) {
                return ret2;
            }
            return null;
        }

**（6）层序遍历levelOrder()**

![d11e4b0434004f02850346c0c52a9600.png][]

void levelOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) return;
            Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
            //现将根节点放进队列中
            queue.offer(root);
            while(!queue.isEmpty()) {
                TreeNode cur = queue.poll();
                System.out.print(cur.val + " ");
                //只要子树的左右节点不为null就给队列里面放
                if (cur.left != null) {
                    queue.offer(cur.left);
                }
                if (cur.right != null) {
                    queue.offer(cur.right);
                }
            }
            System.out.println();
        }

**（7）判断一颗树是不是完全二叉树isCompleteTree()**

**在判断一颗树是不是完全二叉树前，先要明白，给队列中放元素放null**

**此时这个队列不为null**

![cd771e4c68074e52834f1cd9d4d288b5.png][]

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
            if (root == null) return true;
    
            Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
            queue.offer(root);
    
            while(!queue.isEmpty()) {
                TreeNode cur = queue.poll();
    
                if (cur != null) {
                    queue.offer(cur.left);
                    queue.offer(cur.right);
                }else {
                    break;
                }
            }
            while(!queue.isEmpty()) {
                TreeNode cur = queue.peek();
                if (cur != null) {
                    return false;
                }else {
                    queue.poll();
                }
            }
            return true;
        }

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[994b84179fad4a88ac623f2c4f698483.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/994b84179fad4a88ac623f2c4f698483.png
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[ef0005bf84ff418cbf2071c18ebe8e0b.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/ef0005bf84ff418cbf2071c18ebe8e0b.png
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[d11e4b0434004f02850346c0c52a9600.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/d11e4b0434004f02850346c0c52a9600.png
[cd771e4c68074e52834f1cd9d4d288b5.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/cd771e4c68074e52834f1cd9d4d288b5.png